MATRICES U D 2 2 BCS Angel Prieto
MATRICES U. D. 2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 1
APLICACIONES U. D. 2. 8 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 2
Fabricando estanterías • 1. - Una empresa fabricó tres tipos de estanterías: A, B y C. Para ello se utilizaron unidades de madera, plástico y aluminio, tal como figura en la siguiente tabla: • TIPOS MADERA PLÁSTICO ALUMINIO • A • B • C 1 unidad 1 unidad 2 unidades 3 unidades 5 unidades • La empresa tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de aluminio. Sabiendo que utilizó todas sus existencias, calcular cuántas estanterías de cada tipo fabricó. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 3
• RESOLUCIÓN: • Llamemos x, y, z al número de estanterías de tipo A, B y C respectivamente. • El sistema de ecuaciones quedará así: • x • 2 x +y +y + 3 y +z +2 z + 5 z = 400 = 600 = 1500 • Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes: • 1 • 2 1 1 3 @ Angel Prieto Benito 1 2 5 400 600 1500 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 4
• Aplicando el método de Gauss: • • A la tercera fila o ecuación la resto dos veces la primera fila o ecuación. F 3 = F 3 – 2 F 1 A la segunda fila o ecuación la resto la primera fila o ecuación. F 2 = F 2 - F 1 • Permutamos las dos últimas filas: • • • 1 0 0 • Vemos que el sistema ha quedado escalonado. 1 0 0 1 1 1 0 @ Angel Prieto Benito 1 1 3 1 400 200 700 400 700 200 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 5
• Aplicando el método de Jordan: • • A la primera fila o ecuación la resto la tercera fila o ecuación. F 1 = F 1 – F 3 A la segunda fila o ecuación la resto tres veces la tercera fila o ecuación. F 2 = F 2 – 3. F 3 • • Por último a la primera fila la resto la segunda. F 1 = F 1 – F 2 • • • 1 0 0 • Vemos que x = 100, y = 100 , z = 200 1 0 @ Angel Prieto Benito 0 0 1 200 100 100 200 x Apuntes 2º Bachillerato C. S. y = 100 z = 200 6
Buscando el número • 2. - La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las centenas y la de las decenas suman la de las unidades. Si invertimos el orden de las cifras el número aumenta en 396 unidades. ¿De qué número se trata? . • Resolución: • • Sea N = zyx el número pedido Sea x = la cifra de las unidades. Sea y = la cifra de las decenas. Sea z = la cifra de las centenas. • • Tenemos: x+y+z = 14 z+y=x xyz=zyx+396 @ Angel Prieto Benito x + y + z = 14 x – y – z = 0 100. x+10. y+z = 100. z + 10. y + x + 396 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 7
• El sistema de ecuaciones quedará así: • • • x + y + z x – y – z 99. x – 99. z • Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes: • • • 1 1 99 • Aplicando el método de Gauss: • • • F 3 = F 3 – 99 F 1 1 0 0 1 -1 0 1 – 2 – 99 @ Angel Prieto Benito = 14 = 0 = 396 1 -1 -99 14 0 396 y 1 – 2 – 198 F 2 = F 2 - F 1 14 – 990 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 8
• Dividiendo entre - 2 la segunda y entre – 99 la tercera, queda: • • • 1 0 0 • • • A la tercera fila o ecuación la resto la segunda fila o ecuación. F 3 = F 3 – F 2 • • Aplicando el método de Jordan: A la primera fila la resto la segunda y a la segunda la resto la primera: • • • 1 0 0 • Solución: N = 347 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 @ Angel Prieto Benito 1 1 2 1 1 1 0 0 1 14 7 10 14 7 3 7 4 3 Apuntes 2º Bachillerato C. S. x=7 y=4 z=3 9
Holding empresarial • En numerosas situaciones del mundo económico se presentan casos en los que aparece: 1. Una serie de elementos de un colectivo (por ejemplo, un holding empresarial). 2. Unos recursos o beneficios obtenidos por cada elemento (cada empresa del holding, por ejemplo) 3. Una normativa que obliga a que cada elemento transfiera a los demás parte de sus recursos o beneficios. • • La normativa puede ser representada por una matriz de transferencia M, que se formará poniendo en cada columna los porcentajes que obligan a cada elemento. Recursos Tendremos así: M. = Iniciales Finales @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 10
Economía familiar • En una familia el padre (P), la madre (M) y el hijo (H) ganan 1. 600 €, 1. 100 € y 900 € al mes respectivamente. El padre da el 50% a la madre, el 30% al hijo y el resto se lo queda él. La madre se queda la mitad y la otra mitad se lo da al hijo. El hijo por su parte se queda con un 70% de lo que gana y el resto se lo da a la madre. • ¿Qué cantidad de dinero corresponderá a cada uno al mes ? . • RESOLUCIÓN • Sabiendo que • P M • 0, 2 0 • 0, 5 • 0, 3 0, 5 480+550+630 H M. (RI) = (RF) H 0 1600 0, 3 1100 0, 7 900 = 320 800+550+270 • corresponde a cada uno ( P, M e H, en € ) • Al padre 320 € , a la madre 1620 € y al hijo 1660 € @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. P M 11
Beneficios empresariales • • • • Una empresa fabrica cuatro tipos de artículos: A, B, C y D. Los precios de coste de cada unidad son 6, 9, 14 y 20 € respectivamente. Los precios de venta de cada unidad son 18, 28, 40 y 52 € respectivamente. El número de unidades vendidas anualmente es de 2240, 1625, 842 y 530 respectivamente. . Hallar los beneficios. Resolución: Las matrices de costes, ingresos y ventas son: COSTES INGRESOS 6 0 0 0 18 0 0 28 0 0 40 0 0 52 0 0 0 9 0 0 0 14 0 0 0 20 @ Angel Prieto Benito VENTAS 2240 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 1625 842 530 12
• • • … Resolución: Sabemos que: BENEFICIOS = INGRESOS - COSTES = V. I – V. C V. I. – V. C = V. (I – C) 2240 18 842 530. [ 0 0 0 1625 = 2240 1625 842 530 0 28 0 0 0 40 0 0 15 12 0 0 19 0 0 – 0 0 26 0 0 – 5 6 0 0 9 0 0 0 14 0 0 20 = • = 12. 2240 • = 26 880 • Total de beneficios: 26 880 + 30 875 + 21 892 – 2 650 = 76 997 € 19. 1625 30 875 @ Angel Prieto Benito 26. 842 21 892 - 5. 530 ] = = - 2 650 , de beneficios por artículos. Apuntes 2º Bachillerato C. S. 13
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