Matrice 1 MATRICE matrica tipa m x n

Matrice 1

MATRICE ¨ matrica tipa m x n. ¨ Brojevi su elementi matrice ili komponente matrice. ¨ i -ti redak ¨ j-ti stupac ¨ Dijagonala matrice 2

Matrice ¨ Ako je m=n kažemo da je A kvadratna matrica reda n. ¨ Ako je m=1 kažemo da je A retčana matrica (ima samo jedan redak), ¨ Ako je n=1 kažemo da je A stupčana matrica. ¨ Retčane i stupčane matrice se još zovu vektori. 3

Matrice ¨ Matrice A i B su jednake ako su istog tipa i ako je aij=bij za sve parove indeksa i, j 4

Zbrajanje matrica ¨ Mogu se zbrajati samo matrice istog tipa. Ako su matrice A i B istog tipa, tada je matrica ¨ C=A+B ¨ istog tipa kao i matrice A i B i vrijedi cij=aij+bij ¨ Dakle, matrice se zbrajaju član po član. ¨ Svojstva zbrajanja su : ¨ ¨ A+B=B+A (komutativnost) ¨ (A+B)+C=A+(B+C) (asocijativnost) 5

Množenje matrica sa skalarom ¨ Matrica se množi s nekim skalarom (brojem) tako da se svaki element matrice pomnoži s tim brojem. ¨ Drugim riječima, elementi matrice B=λA su bij=λaij ¨ Svojstva ove operacije proizlaze direktno iz svojstava množenja brojeva: ¨ λ(A+B)=λA+λB ¨ (λ+μ)A=λA+ μA ¨ λ(μA)=(λμ)A 6

Množenje matrica ¨ Definicija množenja matrica je na prvi pogled neobična, ali upravo nam ona omogućava jednostvno zapisivanje sustava linearnih jednadžbi. ¨ Matrice A i B možemo pomnožiti samo ako su ulančane, odnosno ako A ima onoliko stupaca koliko Bima redaka. Matrica C=A*B ima redaka koliko A i stupaca koliko B. Neka je, dakle, A tipa m x k i B tipa k x n. Tada je matrica C tipa m x n i vrijedi: 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 * 1 4 7 2 5 8 3 6 9 = 1*1+2*2+3*3=14 14 32 50 32 77 122 50 122 194 8

Množenje matrica Element (2, 3) se izračunava: ¨ množenje matrica općenito nije komutativno. ¨ vrijedi: ¨ (i) (AB)C=A(BC) (asocijativnost), ¨ (ii) A(B+C)=AB+AC(distributivnost), ¨ (iii) (A+B)C=AC+BC(distributivnost), ¨ (iv) λ(AB)=(λ A)B=A(λ B) 9

Nul matrica i jedinična matrica ¨ Kod zbrajanja brojeva broj 0 je neutralni element s obzirom na zbrajanje ¨ Analogija kod matrica je nul-matrica koja ima sve elemente jednake nuli. Nul-matricu označavamo s O, odnosno Omn kada želimo naglasiti o kojem tipu se radi. ¨ Kod množenja brojeva broj je neutralni element s obzirom na množenje, odnosno ¨ Analogija kod matrica je jedinična matrica. Ukoliko matrica nije kvadratna, jedinične matrice u odnosu na množenje slijeva i zdesna su različitog reda. 10

Nul matrica i jedinična matrica 11

Transponirana matrica ¨ Transponirana matrice A je matrica AT koja je definirana sa ¨ [AT]ij=Aji ¨ Ako je A tipa m x n , AT je tima n x m ¨ Očito je (AT) T ¨ Vrijedi : – (A+B)T = AT +BT – (μA)T =μAT – (AB)T =AT BT ¨ Matrica za koju je AT =A je simetrična matrica. 12

Operacije s matricama ¨ Promatrati ćemo samo realne matrice, odnosno dvodimenzionalna polja podataka, i vektore, tj. jednodimenzionalna polja podataka. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 13

Formiranje matrica >> A=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] A= 123 456 789 >> B=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] B= 123 456 789 14

Formiranje matrica ¨ Moguće je i automatizirano formiranje vektora >> x=(0: 0. 1: 1) x = Columns 1 through 7 0 0. 1000 0. 2000 0. 3000 0. 4000 0. 5000 0. 6000 Columns 8 through 11 0. 7000 0. 8000 0. 9000 1. 0000 >> y=linspace(0, 1, 11) y = Columns 1 through 7 0 0. 1000 0. 2000 0. 3000 0. 4000 0. 5000 0. 6000 Columns 8 through 11 0. 7000 0. 8000 0. 9000 1. 0000 15

Formiranje matrica ¨ Kreiranje matrica čiji su elementi slučajni brojevi ¨ Rand(m, n) – kreira matricu dimenzija m x m čiji su elementi slučajno generirani brojevi između 0 i 1 ¨ Rand(m)-kreira kvadratnu matricu dimenzija m x m čiji su elementi slučajno generirani brojevi između 0 i 1 ¨ Ukoliko želimo brojeve 0 -10 moramo cijelu matricu pomnožit s 10 ¨ A=fix(rand(3)*10) A= 420 866 583 16

Formiranje matrica ¨ U MATLABu postoje funkcije kojima se mogu definirati matrice čiji elementi su jednaki jedinici i nuli (nul matrica) >> P=ones(3) P= 111 111 >> Q=zeros(3) Q= 000 000 >>R=eye(3) R= 100 010 001 17

Pristupanje dijelu matrice ¨ Pojedini element matrice možemo ispisati definiranjem njegova retka i stupca (npr. element matrice A u prvom retku i drugom stupcu) >> A(1, 2) ans = 2 ¨ Ukoliko želimo vidjeti prva dva retka matrice A >> A(1: 2, : ) ans = 1 2 3 456 18

Pristupanje dijelu matrice ¨ Moguća je korekcija pojedinih elemenata >> r=[101 102 103]; >> A(3, : )=r A= 123 456 101 102 103 19

Pristupanje dijelu matrice ¨ Moguća je nadopuna matrice (npr. želimo matricu B proširiti s dodatnim redom jednakim vektoru-retku r) >> B=[B; r] B= 123 456 789 101 102 103 20

Pristupanje dijelu matrice ¨ Ukoliko bi kod matrice A definirali element u drugom redu i šestom stupcu matrica se proširuje na portebnu dimenziju dodavajući na novodefiniranim mjestima nule. >> A(2, 6)=1 A= 123000 456001 102 103 0 0 0 21

Pristupanje dijelu matrice ¨ Ukoliko dio matrice izjednačimo s praznom matricom [ ] isti dio se briše čime se početna matrica svodi na ostatak: >> A(: , 4: 5)=[ ] A= 1 2 3 0 4 5 6 1 102 103 0 22

Osnovne matematičke operacije s matricama ¨ Operacije skalar - matrica ¨ Operacije matrica - matrica ¨ Operacije na elementima matrica 23

Operacije skalar - matrica ¨ Matrici možemo dodati i/ili oduzeti skalar pri čemu rezultat zadržava orginalnu dimenziju >> A=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; >> A-1 ans = 012 345 678 >> 2*A-1 ans = 135 7 9 11 13 15 17 24

Operacije skalar - matrica ¨ Također je definirana operacija potenciranja matrice sa skalarom >> A. ^2 ans = 1 4 9 16 25 36 49 64 81 Pri tome korišteno je '. ^' da označi operaciju potenciranja koja se odnosi na elemente. 25

Operacije matrica - matrica ¨ Transponirana matrica >> A=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] A= 123 456 789 >> B=A' B= 147 258 369 26

Operacije matrica - matrica ¨ Za matrice jednake dimenzije moguće je definirati operaciju zbrajanja >> A+B ans = 2 6 10 14 18 >> 2*A-B ans = 1 0 -1 654 11 10 9 27

Operacije matrica - matrica ¨ Ukoliko matrice imaju odgovarajuće dimenzije (ako je broj stupaca prve jednak broju redaka druge) moguće je izvršiti i operaciju množenja ¨ >> A*B ¨ ans = ¨ 14 32 50 ¨ 32 77 122 ¨ 50 122 194 28

Operacije matrica - matrica >> C=[1 1; 2 2; 3 3] C= >> D=[1 1 1; 2 2 2] D= 11 22 33 >> D*A >> A*C ans = 14 14 32 32 50 50 111 222 12 15 18 24 30 36 29

Operacije matrica - matrica ¨ Potenciranje koje bi se odnosilo na cijelu matricu je >> A^2 ans = 30 36 42 66 81 96 102 126 150 ¨ što je zapravo A*A 30

Operacije na elementima matrica ¨ operacije koje se provode po odgovarajućim elementima matrica. ¨ Ukoliko su matrice jednakih dimenzija moguće je primjeniti operacije – množenja ('. *'), – djeljenja ('. /' s desne i '. ' s lijeve strane) – i potenciranja ('. ^') po elementima 31

Operacije na elementima matrica >> A. *D ans = 123 8 10 12 21 24 27 >> A. /D ans = 1. 0000 2. 0000 3. 0000 2. 5000 3. 0000 2. 3333 2. 6667 3. 0000 32

>> D. /A ans = 1. 0000 0. 5000 0. 3333 0. 5000 0. 4000 0. 3333 0. 4286 0. 3750 0. 3333 >> A. D ans = 1. 0000 0. 5000 0. 3333 0. 5000 0. 4000 0. 3333 0. 4286 0. 3750 0. 3333 >> A. ^D ans = 123 16 25 36 343 512 729 33

Neke posebne funkcije ¨ Diag(A) – izdvaja glavnu dijagonalu matrice ¨ sum(A) – vraća vektor čiji su elementi sume stupaca matrice A ¨ prod(A) - vraća vektor čiji su elementi umnošci elemenata stupaca matrice A ¨ det(A) – računa determinatnu matrice ¨ inv(A) – računa inverznu matrice A ¨ size(A) - daje nam dimenzije matrice 34