Matric teorija 2013 09 04 Matric teorija Matricos

Matricų teorija 2013 -09 -04

Matricų teorija • Matricos ir vektoriaus sąvokos • Veiksmai su matricomis • Dauginės regresijos įverčių skaičiavimas pasitelkiant matricas

mxn matavimų stačiakampe matrica, vadiname aibę skaičių, sudėliotų stačiakampe forma, turinčia m eilučių ir n stulpelių a 11 A= a 21. . . am 1 a 12 a 13. . . a 1 n a 22 a 23. . . a 2 n … … am 2 am 3. . . amn 1 xn matavimų matrica vadinama vektoriumi- eilute mx 1 matavimų matrica vadinama vektoriumi- stulpeliu Vektorius žymime mažąja raide pvz. a

Matricų rūšys • • Nulinė Kvadratinė Diagonalinė Skaliarinė Vienetinė Simetriška Sub-matrica

Vienetinė matrica Kvadratinę nxn matavimų matricą, kurios pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs 1, o visi likę elementai yra lygūs 0 vadiname vienetine matrica ir žymine raide I 1 I= 0. . . 0 0 1 0 0 0. . . 0 . . . 1

Veiksmai su matricomis • • • Sudėtis Atimtis Daugyba Dalyba Diferencijavimas

Matricų suma mxn matavimų dviejų matricų A ir B suma A+B yra lygi mxn matavimų matricai C, kurios elementai cij yra lygūs A ir B matricų atitinkamų elementų sumai aij + bij. a 11 a 12 a 13. . . a 1 n A= a 21 a 22 a 23… a 2 n. . . am 1 am 2 am 3. . . amn b 11 b 12 b 13. . . b 1 n B= b 21 b 22 b 23 … b 2 n. . . bm 1 bm 2 bm 3. . . bmn

mxn C=A+B, kur kiekvienam i, j cij = aij + bij. c 11 c 12 c 13 C= c 21 c 22 c 23 cm 1 cm 2 cm 3 c 1 n c 2 n cmn = a 11+b 11 a 12+b 12 a 13+b 13 … a 1 n+b 1 n a 21+b 21 a 22+b 22 a 23+b 23 … a 2 n+b 2 n am 1+bm 1 am 2+bm 2 am 3+bm 3 … amn+bmn

Matricų atimtis mxn matavimų dviejų matricų A ir B skirtumas A-B yra lygus mxn matavimų matricai C, kurios elementai cij yra lygūs A ir B matricų atitinkamų elementų skirtumui aij - bij. a 11 a 12 a 13. . . a 1 n A= a 21 a 22 a 23… a 2 n. . . am 1 am 2 am 3. . . amn b 11 b 12 b 13. . . b 1 n B= b 21 b 22 b 23 … b 2 n. . . bm 1 bm 2 bm 3. . . bmn

nxm C=A-B, kur kiekvienam i, j cij = aij - bij. c 11 C= c 21 … cm 1 c 12 c 13 … c 1 n c 22 c 23 … c 2 n … … cm 2 cm 3 cmn = a 11 --b 11 a 21 -b 21 … am 1 -bm 1 a 12 -b 12 a 13 -b 13 … a 1 n-b 1 n a 22 -b 22 a 23 -b 23 … a 2 n-b 2 n …. … … … am 2 -bm 2 am 3 -bm 3 … amn-bmn

Matricų daugyba • Matricos daugyba iš konstantos • Matricos daugyba iš vektoriaus • Matricos daugyba iš matricos

Matricos daugyba iš konstantos A=k. A mxn matavimų matricą padauginus iš bet kokio skaičiaus k, gauname naują mxn matavimų matricą k. A, kurios elementai yra lygūs matricos A atitinkamiems elementams, padaugintiems iš skaičiaus k. a 11 a 12 a 13. . . a 1 n A= a 21 a 22 a 23… a 2 n. . . am 1 am 2 am 3. . . amn ka 11 ka 12 ka 13. . . ka 1 n k. A= ka 21 ka 22 ka 23… ka 2 n. . . kam 1 kam 2 kam 3. . . kamn

Sąvokos: • Suderinamos matricos • Matricų transponavimas

Suderinamos matricos Dauginti galima tik suderinamas matricas A ir B matricos yra suderinamos jeigu matricos A stulpelių skaičius yra lygus matricos B eilučių skaičiui a 11 a 12 a 13 a 14 A= a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 3 x 4 ? b 11 b 12 b 13 b 14 B= b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34 3 x 4

Ar suderinamos matricos? a 11 a 12 a 13 a 14 A= a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 b 11 B= b 21 b 31 b 41 b 12 b 22 b 32 b 42 b 13 b 23 b 33 b 43 b 14 b 24 b 34 b 44 b 11 B= b 21 b 31 b 41 ? ? b 12 b 22 b 32 b 42 b 13 b 23 b 33 b 43 b 14 b 24 b 34 b 44 a 11 a 12 a 13 a 14 A= a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34

Matricų transponavimas Matricą A (mxn) transponuojame sukeisdami stulpelius ir eilutes vietomis. Transponuota matrica žymima A’ a 11 a 12 a 13. . . a 1 n A= a 21 a 22 a 23… a 2 n. . . am 1 am 2 am 3. . . amn mxn a 11 a 21 a 31. . . am 1 A’= a 12 a 22 a 32… am 2. . . a 1 n a 2 n a 3 n. . . amn nxm

Matricų daugybos principas Tarkim turim matricą A (mxp) matavimų ir B (pxn) j- stulpelis i eilutė cij= ai 1 b 1 j+ ai 2 b 2 j + ai 3 b 3 j +. . . aipbpj

Dviejų vektorių daugyba Tarkim a yra vektorius- eilutė (1 xn) matavimų , o b vektorius - stulpelis (nx 1) Vektorių a ir b sandauga bus lygi skaičiui c, t. y. , a x b = c, kur skaičius c apskaičiuojamas pagal formulę: c= a 11 b 11+ a 12 b 21 + a 13 b 31 +. . . a 1 nbn 1 a = [a 11 a 12 a 13. . . a 1 n] b= b 11 b 21 b 31. . . bn 1 a x b= a 11 b 11+ a 12 b 21 + a 13 b 31 +. . . a 1 nbn 1=c

Matricų daugyba C=AB Tarkim turime dvi matricas A (mxp) ir B(pxn) Matricos A ir B sandauga yra lygi matricai C (mxn), kurios elementai cij yra apskaičiuojami pagal formulę: cij= ai 1 b 1 j+ ai 2 b 2 j + ai 3 b 3 j +. . . aipbpj Kai i=1, 2…m ir j=1, 2…n

Matricų sandaugos savybės • • • Dauginti galima tik suderinamas matricas AB BA A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC IA=AI=A

Determinanto sąvoka Tik kvadratinės matricos! Kvadratinės matricos determinantas - tai skaičius, kuris yra lygus visų galimų elementų, priklausančių skirtingoms eilutėms ir stulpeliams sandaugų, padaugintų iš (-1)f , sumai a 11 a 12 a 13. . . a 1 n IAI= a 21 a 22 a 23… a 2 n. . . an 1 an 2 an 3. . . ann f- inversijų skaičius

Determinanto sąvoka |A| Perstatiniu vadinama skaičių kombinacija J=[j 1, j 2 j 3. . . jn], sudaryta iš dauginamų matricos elementų stulpelių numerių ir žymima J. Inversija vadinama perstatinio dviejų skaičių pora, kurioje pirmasis skaičius yra didesnis už antrąjį. f- inversijų skaičius

Matricos determinantas Tik kvadratinės matricos!!! Antros eilės matricos determinantu vadinsime tokį skaičių: a 11 a 12 [A]= a 21 a 22 = a 11 a 22 – a 12 a 21 Pvz. : 1 2 3 4 = 4 – 6 = -2

Trečios eilės matricos determinantu vadinsime tokį skaičių : a 11 a 12 a 13 [A]= a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 [A] = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – (a 13 a 22 a 31 + a 21 a 12 a 33 + a 11 a 23 a 32) Pvz. : 2 3 4 0 5 6 = 2× 5× 1+3× 6× 7+4× 0× 8–(4× 5× 7 + 0× 3× 1 + 2× 6× 8) =-100 7 8 1

N – tos eilės matricos determinanto apskaičiavimas Determinanto skleidimas eilute a 11 a 12. . . a 1 n a 21 a 22. . . a 2 n. . … ai 1 ai 2. . . ain. . … an 1 an 2. . . ann = ai 1 Ai 1+ ai 2 Ai 2+. . . + ain. A in Aij – matricos A elemento aij adjunktas. Aij= (-1)i+j Mij - minoras –

N – tos eilės matricos determinanto apskaičiavimas Determinanto skleidimas stulpeliu a 11 a 12. . . a 1 n a 21 a 22. . . a 2 n. . … ai 1 ai 2. . . ain. . … =a 1 j. A 1 j+ a 2 j. A 2 j+. . . + anj. Anj an 1 an 2. . . ann Aij – matricos A elemento aij adjunktas. Aij= (-1)i+j Mij - minoras –

Adjunkto ir minoro sąvokos Minoro sąvoka Pasirenkame A matricoje aij elementą. Išbraukiame i- eilutę ir j- stulpelį. Lieka n -1 matavimų matrica, kurios determinantas yra vadinamas elemento aij minoru ir žymime raide Mij Adjunkto sąvoka aij elemento adjunktas žymimas Aij ir yra lygus Aij=(-1)i+j Mij

Pvz. : Det. skaičiavimas skleidžiant stulpeliu 2 3 4 0 6 2 4 0 5 6 = - 3 A 12 + 5 A 22 - 8 A 32 = -3 7 1 + 5 7 1 - 8 0 6 = 7 8 1 =-3(0× 1 -6× 7) + 5 (2× 1 -7× 4) – 8 (2× 6 – 4× 0)= 126 – 130 – 96 = -100

Determinantų savybės 1. Jei matricos kurios nors eilutės arba stulpelio visi elementai yra lygūs 0, tai ir determinantas yra lygus 0 2. Jeigu dvi matricos eilutes sukeičiame vietomis, tai jų determinantų absoliučios reikšmės yra tos pačios, skiriasi tik ženklas

Determinantų savybės 3. Jeigu visi matricos A kurios nors eilutės elementai turi bendrą daugiklį, tai jį galima iškelti už determinanto ženklo, t. y D’=k. D a 11 a 12 a 13. . . a 1 n D= a 21 a 22 a 23… a 2 n. . . an 1 an 2 an 3. . . ann a 11 a 12 a 13. . . a 1 n D’= ka 21 ka 22 ka 23… ka 2 n. . . an 1 an 2 an 3. . . ann

Determinantų savybės 4. Matricos, kurios dvi eilutės yra vienodos, determinantas yra lygus 0 5. Matricos determinantas nepasikeis, jeigu prie vienos eilutės pridėsime kitą eilutę, padaugintą iš bet kokio skaičiaus nelygaus 0

Atvirkštinė matrica Skaičiai Matricos

Atvirkštinė matrica Tik kvadratinės matricos! Kvadratinės n matavimų matricos A atvirkštine matrica vadiname tokią kvadratinę n matavimų matricą A-1, kurios sandauga su A matrica yra lygi vienetinei n matavimų matricai E AA-1=A-1 A=I

Atvirkštinė matrica A 11 A 21 A 31. . . An 1 A-1 = 1/|A| A 12 A 22 A 32… An 2. . . A 1 n A 2 n A 3 n. . . Ann |A| - matricos A determinantas Aij- matricos elemento- aij- adjunktas

Lygčių sistemos sprendimas taikant matricų veiksmus a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 =b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 =b 3 AX=B X=A-1 B

Matricos rangas r(A) a 11 a 12 a 13. . . a 1 n A= a 21 a 22 a 23… a 2 n. . . am 1 am 2 am 3. . . amn A(mxn) matricos rangas r(A) – tai maksimalus tiesiškai nepriklausomų A matricos stulpelių ir eilučių skaičius Matricos A rangas r(A) yra nustatomas, randant didžiausios kvadratinės submatricos, kurios determinantas nelygus nuliui, matavimų eilę

Matricos rangas r(A) Jeigu A(mxn) matricos rangas r(A) =k , tai, • visi k+1 eilės minorai yra lygūs nuliui • bent vienas k eilės minoras nėra lygus nuliui Jeigu turime dvi matricas A(mxn) ir B(nxk), tai sandaugos AB matricos rangas neviršija mažesnį rangą turinčios matricos rango Lygčių sistema Ax=b turės sprendinį, tik tuo atveju, jeigu matricos A(nxn) rangas r(A) yra lygus n

Matricų diferencijavimas a= a 1 a 2 a 31. . . an x= x 1 x 2 x 3. . . xn a’x= a 1 x 1+ a 2 x 2 + a 3 x 3 +. . . anxn

Matricų diferencijavimas a 11 a 21 a 31. . . an 1 a 12 a 22 a 32… an 2 x’A’x= [x 1, x 2, x 3, . . . xn]. . . a 1 n a 2 n a 3 n. . . ann x’A’x= x 1 x 2 x 3. . . xn a 11 x 12 + 2 a 12 x 1 x 2 + 2 a 13 x 1 x 3 +. . . +2 a 1 n x 1 xn + a 22 x 22 + 2 a 23 x 2 x 3 +. . . +2 a 2 n x 2 xn + a 33 x 32 +. . . +2 a 3 n x 2 xn. . . + ann xn 2

Matricų diferencijavimas . . .

Dauginės regresijos įverčių skaičiavimas pasitelkiant matricas • Įverčių skaičiavimas

Įverčių skaičiavimas • Duomenis pateikiame vektorių ir matricų forma Y= Y 1 Y 2 X= Y 3. . . Yn 1 X 12 X 13. . . X 1 m 1 X 22 X 23… X 2 m. . . 1 Xn 2 Xn 3. . . Xnm Y=Xβ+u β 1 β= β 2 β 3. . . βm u 1 u 2 u= u 3. . . un

Įverčių skaičiavimas MKM

Įverčių skaičiavimas MKM

Įverčių skaičiavimas MKM x, y –duomenys pateikti nuokrypiais nuo vidurkio

Matricų x’x ir x’y struktūra x’x= x’y= Σx 22 Σx 2 x 3 Σ x 2 x 4. . . Σx 3 x 2 Σx 23 Σx 3 x 4 …. . . Σxmx 2 Σ xm x 3 Σxm x 4 … Σx 2 y Σx 3 y. . . Σxmy Σx 2 xm Σx 3 xm Σx 2 m