MATLAB Outline Indipendenza lineare basi sottospazi l Vettori

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Outline Indipendenza lineare, basi, sottospazi l Vettori ortogonali l Autovalori, autovettori l Esercizi vari l

Vettori l. i. I sono linearmenti indipendenti (l. i. ) se Una combinazione lineare dei vettori è nulla se e solo se sono nulli tutti i coefficienti

Vettori l. i. II se m=n e i vettori sono l. i. => formano una base di R n

Esempio 1 v 1 = [1 0 2]’; v 2 = [2 1 1]’; v 3 = [1 2 0]’; A = [v 1 v 2 v 3] rank(A) il rango è 3 => i vettori sono l. i. e formano una base per R 3

Esempio 2 Dopo aver verificato che i vettori una base di R 3 esprimere come c. l. dei v 1 = [1 1 0]’; v 2 = [0 1 1]’; v 3 = [1 0 1]’; v = [1 1 1]’; A = [v 1 v 2 v 3] rank(A) sono il rango è 3 => i vettori sono l. i. i coefficienti lineari della combinazione si trovano: k=Av

…ricapitolando… l l costruiamo la matrice A le cui colonne sono le componenti dei vettori sono l. i. rank(A)=m (m<=n) l l l se sono l. d. => i coefficienti di una loro combinazione lineare non nulla si trovano risolvendo il sistema Ak=0 Per esprimere un vettore w come c. l. dei vettori della base, si risolve il sistema Ak=w W = span(v 1, v 2, …, vm) l l dim W = rank(A) una base BW di W è costituita dai vettori l. i. di A

Esercizo 1 Scrivere una funzione di n (n>0) che crei la matrice A: l per n=7 sia W=span(c 1, c 2, c 3, c 4) l 1. 2. dim(W)=? scrivere una base di W dire quali dei seguenti vettori appartiene a W ed eventualmente scriverne le coordinate rispetto alla base di W trovata: w 1=(0 1 2 3) w 2=(1 2 1 2 1)

Dato W = span(w 1, w 2, w 3) ∩ Esercizio 2 R con: w 1=(1 1 0 4), w 2=(3 1 2 0), w 3=(1 1 1 1), trovare dim. W Dimostrare che i vettori: w 1=(1 1 0), w 2=(0 1 1), w 3=(1 2 1), sono l. d. e scrivere una c. l. nulla con coefficienti non nulli (hint: usare il comando rref ) Dopo aver dimostrato che: w 1=(1 2 5), w 2=(2 2 4), w 3=(1 1 4), formano una base di R 3, esprimere w=(3 3 3) come c. l. dei 3 vettori

Vettori ortogonali l l I vettori si dicono ortogonali se: non nulli I vettori non nulli si dicono ortonormali se sono ortogonali e inoltre l Se m=n si dice che tali vettori ortonormali formano una base canonica (ortonormale) di Rn

Matrici ortogonali l Una matrice si dice ortogonale se le sue colonne formano vettori fra loro ortonormali l l le colonne (le righe) di A formano una b. c. di Rn

Vettori ortogonali in MATLAB l Per verificare, mediante MATLAB, se 2 vettori colonna v 1, v 2 sono ortogonali v 1’*v 2==0 l l Se il prodotto del vettore riga v 1’ col vettore colonna v 2 e’ 0 => i vettori sono ortogonali Per calcolare la norma di un vettore norm(v)

Autovalori e autovettori Per trovare gli autovalori e autovettori di A ava -> vettore colonna degli autovalori di A ava= eig(A) [V D] = eig(A) D -> matrice diagonale contenente gli autovalori di A V -> matrice le cui colonne sono gli autovettori di A relativi agli autovalori in D

Esempio [V D] = eig(A) V*V’ V’*V diagonalizzabile => l l esiste una base di Rn formata da autovettori di A l A simmetrica => A diagonalizzabile l l in questo caso eig restituisce una matrice V ortogonale

Esercizi 3 e 4 Richiamare la matrice A (Esercizio 1), costruire la matrice A*A’ l 1. 2. 3. l dire se è diagonalizzabile trovare la matrix P che la diagonalizza scrivere una base o. n. di R 7 La seguente matrice A è diagonalizzabile?