Matice Pednka 4 Definice Soubor prvk nazvme matic

Matice Přednáška č. 4

Definice: Soubor prvků nazýváme maticí typu i-tý řádek j-tý sloupec prvky matice

Různé druhy matic ¡ ¡ Čtvercová matice řádu n Obdélníková matice typu Jednotková matice I (E) (Hlavní) diagonála matice ¡ Diagonální matice Nulová matice…. všechny prvky=0 ¡ Horní(dolní)trojúhelníková matice: A čtvercová ¡ Horní(dolní) lichoběžníková matice: A obdélníková ¡

Operace s maticemi ¡ ¡ Součet matic r-násobek matice A, rovnost matic ¡ součin matic : Buď a matice. Součinem ¡ AB těchto matic (v tomto pořadí) rozumíme matici , kde Mocniny matice ¡

příklad ¡ Vypočtěte

Příklad pokračování

Vlastnosti matic Vlastnost: Buď a , a matice a . Pak platí ¡ 1) , ¡ 2) 3) ¡

Hodnost matice Definice: Řekneme, že matice je v Gaussově tvaru, jestliže žádný řádek matice se neskládá ze samých nul a první nenulové číslo každého řádku je zároveň poslední nenulové číslo příslušného sloupce ¡ Definice: Nechť A je matice typu (m, n). Hodností h(A) matice A budeme rozumět počet řádků matice v Gaussově tvaru. ¡

Další vlastnosti matic ¡ ¡ ¡ Vlastnost: Hodnost matice A se nezmění, jestliže v matici A 1) vynásobíme nějaký řádek (sloupec) nenulovým číslem 2) přičteme-li b-násobek nějakého řádku (sloupce) k jinému řádku (sloupci). 3) přehodíme-li dva řádky (sloupce) 4) vynecháme-li řádek (sloupec), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců). Důsledek: Hodnost trojúhelníkové matice je rovna počtu jejích nenulových řádků (sloupců).

Příklad- Určete hodnost matice

Příklad- pokračování

Regulární a singulární matice ¡ ¡ Definice: Čtvercová matice A se nazývá regulární, jestliže její hodnost je rovna jejímu řádu. Každá jiná matice se nazývá singulární. Vlastnost: Součin regulárních matic téhož řádu je zase regulární matice. Vlastnost: Jestliže A, B jsou matice, pro které existuje součin AB, potom h(AB)=nim(h(A), h(B)) Definice: Lineární kombinací řádků a 1, …, ak matice A je vektor u, kde u=α 1 a 1+ α 2 a 2+…+ αk ak, , kde α 1 , α 2 , …, αk jsou reálná čísla

Transponovaná matice ¡ Definice: Nechť A je matice typu (m, n). Matice AT je typu (n, m) se nazývá transponovaná matice k matici A, jestliže ¡ Vlastnosti: ¡

Příklad

Symetrická, antisymetrická, inverzní matice ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ A je symetrická matice, jestliže A je antisymetrická matice, jestliže Definice: Nechť A je matice. Matice A-1, pro kterou platí A-1 A=AA-1=I se nazývá inverzní matice k matici A. Vlastnosti: 1) inverzní matice k matici A existuje právě tehdy, když A je regulární matice 2) 3) 4) je regulární a Výpočet inverzní matice-Gaussova metoda – za matici za čáru připíšeme jednotkovou matici a upravujeme povolenými úpravami tak, abychom před čarou dostali jednotkovou matici. Matice za čarou bude inverzní matice k zadané matici.

Příklad

Příklad-nalezněte inverzní matici k matici

Příklad-pokračování

zkouška ¡ A-1 A=I

Maticové rovnice Rovnice, ve kterých koeficienty i neznámá jsou matice. ¡ Příklad: Vyjádřete matici X z rovnice ¡ AX-B=C, kde A, B, C jsou matice odpovídajících rozměrů ¡ AX=C+B ¡ X=A-1(C+B) ¡

Maticové rovnice Z rovnice AX+C=D vyjádřete matici X ¡ AX=D-C ¡ A-1| AX=D-C ¡ A-1 AX=A-1 (D-C) ¡ IX=A-1 (D-C) ¡

Maticové rovnice ¡ Z maticové rovnice XA=B vypočtěte matici X, kde ¡ X=B A-1

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy homogenních lineárních rovnic ¡ ¡ Definice: Buď a Homogenní soustavou m rovnic o n neznámých rozumíme rovnici . Matice A se nazývá matice soustavy a vektor , pro který , nazýváme řešením této soustavy.

Vlastnosti soustav homogenních lineárních rovnic ¡ Hodností soustavy rozumíme hodnost matice A ¡ Soustava homogenních rovnic je vždy řešitelná. Pokud hodnost matice soustavy je rovna počtu neznámých, má soustava pouze triviální řešení (tedy jediné)(triviální řešení -všechny složky nulové). Pokud hodnost matice soustavy je menší, než počet neznámých, pak má soustava nekonečně mnoho řešení, které vyjádříme pomocí n-h parametrů. ¡

Definice: Buď A matice typu a B matice typu . Homogenní soustavy rovnic a se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejné množiny řešení, tj. . ¡ Vlastnost: Buď A matice typu a B matice typu . Pak soustavy a jsou ekvivalentní matice A a B se dají pomocí úprav zachovávajících hodnost matice převést na stejné matice v Gaussově tvaru. ¡

Příklad ¡ Nalezněte řešení soustavy rovnic

Soustavy nehomogenních lineárních rovnic ¡ Definice: Buď A matice typu , nehomogenní soustavu m lineárních rovnic o n neznámých rozumíme rovnici . ¡ vektor řešení ¡ vektor pravých stran

Vlastnosti soustav nehomogenních lineárních rovnic ¡ Matici nazýváme rozšířenou maticí soustavy …. . homogenní soustava příslušná soustavě .

Řešitelnost soustavy nehomogenních lineárních rovnic ¡ ¡ Věta: (Frobenius) Nehomogenní soustava lineárních rovnic je řešitelná hodnost h matice soustavy A je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy. Soustava nemá řešení, jestliže má jediné řešení má nekonečně mnoho řešení

Vlastnosti Vlastnost: Nechť je řešení soustavy lineárních rovnic . Pak vektory , kde je libovolné řešení příslušné homogenní soustavy , tvoří právě všechna řešení soustavy . ¡ Definice: Buď A matice typu a B matice typu . Nehomogenní soustavy rovnic a se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejné množiny řešení, tj. . ¡

¡ ¡ Vlastnost: Buď A matice typu a B matice typu . Pak soustavy a jsou ekvivalentní matice a matice se dají pomocí úprav zachovávajících hodnost matice převést na stejné matice v Gaussově tvaru . Gaussova eliminační metoda- převádí matici soustavy na matici v Gaussově tvaru. A řešení nalezneme ze soustavy s touto maticí soustavy.

Příklad ¡ Nalezněte všechna řešení soustavy lineárních rovnic

Příklad-pokračování

Příklad ¡ Nalezněte všechna řešení soustavy lineárních rovnic

Příklad-pokračování