Matice Linerna vektorov algebra Pojem matica tto truktru
Matice Lineárna (vektorová) algebra
Pojem matica • túto štruktúru nazývame matica (v programovaní dvojrozmerné pole). • m, n sú prirodzené čísla – matica typu m x n • štruktúra sa skladá z jednoznačného umiestnenia prvkov v riadku a stĺpci • označenie: A, B, C, . . . • všeobecný zápis:
Prvok matice index riadku index stĺpca každý prvok má presnú a jednoznačnú polohu v matici
Definícia
Špeciálne matice • štvorcová matica: rovnaký počet riadkov a stĺpcov • nulová matica: všetky prvky sú nuly • jednotková matica: matica, ktorá má prvky nuly okrem diagonály, kde sú jednotky
Operácie s maticami Pre každé matice A, B a reálnu konštantu d platí 1. Súčet matíc C=A+B= 2. Rozdiel matíc C=A–B= 3. Násobok konštanty a matice C = d. A =
Príklad 1
Príklad 2
Súčin matíc
Príklad 3
Riadková ekvivalencia (elementárne transformácie) • vzájomná výmena dvoch riadkov matice • vynásobenie niektorého riadku nenulovým číslom • prirátanie ľubovoľného násobku niektorého riadku matice k inému riadku
Hodnosť matice • je počet lineárne nezávislých riadkov matice • postup určenia: – vynulujeme prvky pod diagonálou – ak v tomto tvare nie sú riadky jeden násobkom druhého, počet nenulových riadkov je hodnosť matice • označenie: h(A)
3 x 1. riadok 2 x 2. riadok Príklad 4 Súčet 1. r +Vymeníme 3. r 1. r a 3. r vydelíme 2 Súčet 2. r + 3. r vydelíme 3 Súčet 1. r + 2. r (-1)x 2. riadok h(A) = 3
Príklad 5 h(A) = 3
Cvičenie h(A) = 2 h(B) = 2
Inverzná matica Nech A je štvorcová matica. Matica A-1 sa nazýva inverznou k matici A, ak pre ňu platí: A-1. A = E = A. A-1 E – jednotková matica Regulárna matica – hodnosť sa rovná počtu riadkov Singulárna – nie je regulárna
Algoritmus hľadania inverznej matice • maticu rozšírime o jednotkovú maticu • riadkovou ekvivalenciou upravíme tak, aby sme na začiatku mali jednotkovú maticu • matica za jednotkovou je inverzná k pôvodnej
Príklad 6 inverzná matica
Cvičenie
Sústava rovníc prepíšeme na ime mi vý riadko i rieš m a v a úpr
prepíšeme späť do rovníc vyjad rím áme n z e en
Príklad 7 0 = 12
Príklad 8
Koniec
- Slides: 24