Matice Linerna vektorov algebra Pojem matica tto truktru

Matice Lineárna (vektorová) algebra

Pojem matica • túto štruktúru nazývame matica (v programovaní dvojrozmerné pole). • m, n sú prirodzené čísla – matica typu m x n • štruktúra sa skladá z jednoznačného umiestnenia prvkov v riadku a stĺpci • označenie: A, B, C, . . . • všeobecný zápis:

Prvok matice index riadku index stĺpca každý prvok má presnú a jednoznačnú polohu v matici

Definícia

Špeciálne matice • štvorcová matica: rovnaký počet riadkov a stĺpcov • nulová matica: všetky prvky sú nuly • jednotková matica: matica, ktorá má prvky nuly okrem diagonály, kde sú jednotky

Operácie s maticami Pre každé matice A, B a reálnu konštantu d platí 1. Súčet matíc C=A+B= 2. Rozdiel matíc C=A–B= 3. Násobok konštanty a matice C = d. A =

Príklad 1

Príklad 2

Súčin matíc

Príklad 3

Riadková ekvivalencia (elementárne transformácie) • vzájomná výmena dvoch riadkov matice • vynásobenie niektorého riadku nenulovým číslom • prirátanie ľubovoľného násobku niektorého riadku matice k inému riadku

Hodnosť matice • je počet lineárne nezávislých riadkov matice • postup určenia: – vynulujeme prvky pod diagonálou – ak v tomto tvare nie sú riadky jeden násobkom druhého, počet nenulových riadkov je hodnosť matice • označenie: h(A)

3 x 1. riadok 2 x 2. riadok Príklad 4 Súčet 1. r +Vymeníme 3. r 1. r a 3. r vydelíme 2 Súčet 2. r + 3. r vydelíme 3 Súčet 1. r + 2. r (-1)x 2. riadok h(A) = 3

Príklad 5 h(A) = 3

Cvičenie h(A) = 2 h(B) = 2

Inverzná matica Nech A je štvorcová matica. Matica A-1 sa nazýva inverznou k matici A, ak pre ňu platí: A-1. A = E = A. A-1 E – jednotková matica Regulárna matica – hodnosť sa rovná počtu riadkov Singulárna – nie je regulárna

Algoritmus hľadania inverznej matice • maticu rozšírime o jednotkovú maticu • riadkovou ekvivalenciou upravíme tak, aby sme na začiatku mali jednotkovú maticu • matica za jednotkovou je inverzná k pôvodnej

Príklad 6 inverzná matica

Cvičenie

Sústava rovníc prepíšeme na ime mi vý riadko i rieš m a v a úpr

prepíšeme späť do rovníc vyjad rím áme n z e en

Príklad 7 0 = 12

Príklad 8

Koniec