Mathmatiques CST Gomtrie des figures planes Transformations dans

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes Transformations dans le plan cartésien A) Translation On note t(a, b) la translation qui applique un déplacement de : a unités horizontalement b unités verticalement Donc pour chaque point P (x, y) , l’image devient P’ (x + a, y + b) pour une translation t(a, b). t (a, b) : P (x, y) P’ (x + a, y + b)

Exemple #1 : t(2. 5) 2 unités horizontalement (vers la droite) 5 unités verticalement (vers le haut) O’ (2, 5) A’ (-3, 3) + 5 1 + 2 1 O (0, 0) A (-5, -2) O’ est l’image de O. O (0, 0) A’ est l’image de A. A (-5, -2) O’ (0 + 2, 0 + 5) A’ (-5 + 2, -2 + 5) O’ (2, 5) A’ (-3, 3)

Exemple #2 : Où se retrouve le triangle ABC suite à la translation t(-3, 2) ? A’ (-5, 6) + 2 A (-2, 4) - 3 1 B’ (-5, 0) + 2 - 3 + 2 B (-2, -2) t (-3, 2) : A (-2, 4) B (-2, -2) C (3, -2) C’ (0, 0) 1 - 3 C (3, -2) A’ (-2 – 3, 4 + 2) B’ (-2 – 3, -2 + 2) C’ (3 – 3, -2 + 2) A’ (-5, 6) B’ (-5, 0) C’ (0, 0)

Exemple #3 : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une translation t(7, -5). A (3, 5) + 7 B (4, 2) 1 D (-2, -2) + 7 - 5 A’ (10, 0) - 5 1 + 7 B’ (11, -3) + 7 - 5 C (3, -4) D’ (5, -7) - 5 C’ (10, -9) t (7, -5) : A (3, 5) B (4, 2) C (3, -4) D (-2, -2) A’ (3 + 7, 5 – 5) B’ (4 + 7, 2 – 5) C’ (3 + 7, 4 – 5) D’ (-2 + 7, -2 – 5) A’ (10, 0) B’ (11, -3) C’ (10, -9) D’ (5, -7)

Exemple #4 : Le triangle A’B’C’ a subi une translation t(-3, -2). Quelles étaient les coordonnées du triangle ABC ? A (-2, 4) A’ (-5, 2) + 2 + 3 1 1 B (-2, -2) + 3 B’ (-5, -4) t-1(3, 2) : A’ (-5, 2) B’ (-5, -4) C’ (0, -4) + 2 + 3 C (3, -2) + 2 C’ (0, -4) A (-5 + 3, 2 + 2) B (-5 + 3, -4 + 2) C (0 + 3, -4 + 2) A (-2, 4) B (-2, -2) C (3, -2)

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes B) Réflexion (ou symétrie) On note sx la réflexion par rapport à l’axe des abscisses (ou « x » ). Pour chaque point P (x, y) , l’image par sx devient P’ (x, - y). sx : P (x, y) P’ (x, - y)

Exemple : sx A (2, 3) 1 1 A’ (2, -3) sx : A (2, 3) A’ (2, -3)

On note sy la réflexion par rapport à l’axe des ordonnées (ou « y » ). Pour chaque point P (x, y) , l’image par sy devient P’ (- x, y). sy : P (x, y) P’ (- x, y) Exemple : sy sy : A (2, 3) A’ (-2, 3) A (2, 3) 1 1

Exemple : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une réflexion sy. B’ B A’ A C’ C D’ D 1 1 sy : A (-2, 6) B (2, 9) C (6, 4) D (5, 1) A’ (2, 6) B’ (-2, 9) C’ (-6, 4) D’ (-5, 1)

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes C) Homothétie On note h(O, k) l’homothétie de centrée à l’origine O et de rapport k. Pour chaque point P (x, y) , l’image par h(O, k) devient P’ (kx, ky). h(O, k) P (x, y) P’ (kx, ky) (O, k) :

Exemple #1 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une homothétie h(O, 2). B’ B A’ 1 A C C’ 1 h(O, 2) : A (2, 1) B (2, 5) C (4, 1) A’ (2 x 2, 2 x 1) B’ (2 x 2, 2 x 5) C’ (2 x 4, 2 x 1) A’ (4, 2) B’ (4, 10) C’ (8, 2)

Exemple #2 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une homothétie h(O, ½). B B’ 1 A A’ 1 C’ C h(O, ½) : A (-8, -2) B (-2, 10) C (6, -6) A’ (½ x -8, ½ x -2) B’ (½ x -2, ½ x 10) C’ (½ x 6, ½ x -6) A’ (-4, -1) B’ (-1, 5) C’ (3, -3)

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes D) Rotations (autour de l’origine O) Rotation de 90 o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 90 o) devient P’ (- y, x). r(O, 90 o) : P (x, y) P’ (- y, x) Rotation de 180 o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 180 o) devient P’ (- x, - y). r(O, 180 o) : P (x, y) P’ (- x, - y) Rotation de 270 o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 270 o) devient P’ (y, - x). r(O, 270 o) : P (x, y) P’ (y, - x)

Rotation de 90 o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 90 o) devient P’ (- y, x). r(O, 90 o) : P (x, y) P’ (- y, x) Exemple : r(O, 90 o) B r(O, 90 o) : A (3, 2) B (3, 10) C (7, 2) C’ A’ (-2, 3) B’ (-10, 3) C’ (-2, 7) B’ A’ 1 90 o A 1 C

Rotation de 180 o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 180 o) devient P’ (- x, - y). r(O, 180 o) : P (x, y) P’ (- x, - y) Exemple : r(O, 180 o) B r(O, 180 o) : A (3, 2) B (3, 10) C (7, 2) C’ A’ (-3, -2) B’ (-3, -10) C’ (-7, -2) B’ A’ 180 o A 1 C’ A’ B’ 1 C

Rotation de 270 o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 270 o) devient P’ (y, - x). r(O, 270 o) : P (x, y) P’ (y, - x) Exemple : r(O, 270 o) B r(O, 270 o) : A (3, 2) B (3, 10) C (7, 2) C’ A’ (2, -3) B’ (10, -3) C’ (2, -7) B’ A A’ 270 o 1 C’ A’ 1 A’ C’ B’ C B’

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes E) Dilatation ou contraction Dilatation : Figure étirée horizontalement ou verticalement. Contraction : Figure rétrécie horizontalement ou verticalement. Pour chaque point P (x, y) , l’image par une contraction ou une dilatation devient P’ (ax, by). P (x, y) P’ (ax, by) Si a = b, alors on a une homothétie. où a ≠ 0 et b ≠ 0.

Exemple #1 : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique la règle (x, y) (x, 2 y) de transformation suivante : B’ C’est une dilatation verticale ! B A’ A 1 C C’ 1 D D’ A (-4, 1) B (0, 4) C (4, -1) D (3, -4) A’ (-4, 2 x 1) B’ (0, 2 x 4) C’ (4, 2 x -1) D’ (3, 2 x -4) A’ (-4, 2) B’ (0, 8) C’ (4, -2) D’ (3, -8)

Exemple #2 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique la règle de (x, y) (½ x , y) transformation suivante : B B’ C’est une contraction horizontale ! 1 A A’ 1 C’ A (-8, -2) B (-2, 10) C (6, -6) A’ (½ x -8, -2) B’ (½ x -2, 10) C’ (½ x 6, -6) C A’ (-4, -2) B’ (-1, 10) C’ (3, -6)

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes F) Compositions de transformations On utilise le symbole , qui se lit « rond » , pour lier une série de transformations consécutives. On lit les transformations de DROITE à GAUCHE. Ex. : sx h(O, 2) t(2, -5) À l’objet initial, on applique : t(2, -5) h(O, 2) sx

Exemple : Trouver l’image du triangle ABC suite à la composition de h(O, ⅓) sy t(4, -7) transformations suivante : t (4, -7) : A (-10, 16) B (-7, 22) C (-4, 19) A’ (-10 + 4, 16 – 7) B’ (-7 + 4, 22 – 7) C’ (-4 + 4, 19 – 7) A’ (-6, 9) B’ (-3, 15) C’ (0, 12) A sy : A’ (-6, 9) B’ (-3, 15) C’ (0, 12) C B’ C’ A’ A’’ (6, 9) B’’ (3, 15) C’’ (0, 12) A’’’(⅓ x 6, ⅓ x 9) B’’’ (⅓ x 3, ⅓ x 15) C’’’ (⅓ x 0, ⅓ x 12) B’’ C’’ B’’’ C’’’ 2 A’’’ 2 h(O, ⅓) : A’’ (6, 9) B’’ (3, 15) C’’ (0, 12) B A’’’ (2, 3) B’’’ (1, 5) C’’’ (0, 4) A’’

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes G) Isométries et similitudes ISOMÉTRIES Conserve les distances. La figure reste inchangée (angles et segments). Translations, réflexions, rotations. SIMILITUDES La figure change de dimension. Seulement les angles restent inchangés. Homothéties