Mathmatiques 9 Lalgbre Vocabulaire Expressions algbriques Dfinition Une

Mathématiques 9: L’algèbre

Vocabulaire Expressions algébriques • Définition : Une expression algébrique est un ensemble de lettres et de nombres et entre eux il y a un signe qui nous dit quelle est l’opération à effectuer. • Exemple : - 4 x+6 - 2 xy+6 xy

Variable • Définition : Une variable est la lettre dans le terme algébrique. Exemple : 3 x la variable est x. : 2 a la variable est a.

Coefficient • Définition : Un coefficient est le chiffre qui se retrouve devant une variable dans une expression algébrique. Exemple : 3 x+4 y les coefficients sont 3 et 4

Terme algébrique • Définition : Un terme algébrique est un monôme qui est constitué d’un coefficient et d’un groupe variable. Exemple : 8 x² coefficient variable x exposant ² 8

Terme constant • Définition : Un terme constant est un terme formé avec qu’un seul nombre. Il faut indiquer si ce nombre est positif ou négatif. Exemple : 2 x + 1 le + 1 est le terme constant.

Termes semblables • Définition : Un terme semblable doit avoir les mêmes variables soulevées à la même puissance Exemple : 45 y et 2 y (semblables) 4 y et 3 y 2 (pas semblables)

Les polynômes : - Monôme - Binôme - Trinôme

Les monômes • Définition : Un monôme est une expression formée d’un seul terme. Ce terme peut inclure un coefficient, une ou plusieurs variables et des exposants. Un monôme est un produit de tous ces composants. • Exemple : 4 a 3 b 2

Les binômes • Définition : Un binôme est une expression formée de deux termes. Un binôme est une somme ou une différence de deux monômes. Exemple : 4 ab 2 + a 2 b

Les trinômes • Définition : C’est une expression formée de trois termes non semblables. Exemple : 4 a² + 6 ab² - 4 b²

Quel est le degré du monôme? le degré d’un monôme est la somme de ses exposants. Les exposants pour chaque variable sont 4 et 2. 4+2 = 6. Ce monôme est de degré 6.

Les polynômes • Définition : Un polynôme est une expression qui inclut la somme ou la différence de plusieurs termes algébriques et peut inclure un terme constant. • Les termes sont organisés en ordre alphabétique et en ordre décroissant des exposants. • Exemple : 2 x² + 3 y² - 6 x + 4 y +1

Le degré d’un polynôme est le plus haut degré dans un de ces termes. Il faut déterminer le degré de chaque terme dans le polynôme, et puis le plus ‘puissant’ est le degré du polynôme. Un terme constant : pas de variable. Un monôme de degré 0. Ce binôme et de dégré 1. La variable x est à la puissance de 1. Les expressions polynomiales de degré un sont linéaires. Ce trinôme est de degré 2. Des polynômes de degré 2 sont quadratiques. Ce polynôme est de 3 e degré. Des polynômes de degré 3 sont cubiques.

Polynôme Degré Classification par degré Classification par # de termes a. Zéro Constant Monôme b. 1 Linéaire Binôme c. 2 Quadratique Binôme d. 3 Cubique Trinôme

*Les termes sont organisé en ordre décroissant des exposants. *Le premier terme est positif. Le premier terme doit être positif. Pour changer le signe du premier terme, multiplie tout le polynôme par – 1 (utilise la distributivité).

a) Réécris les polynômes en forme standarde b) Identifie-les par le degré et par le nombre de termes. c) Identifie le terme constant. 1. 2.

Addition des polynômes Démarche: L’addition de 2 polynômes se fait en additionnant les termes de chaque polynôme qui sont semblables et réduire l’expression algébrique obtenue. On obtient un nouveau polynôme correspondant à la somme recherchée. Exemple: 3 y 2+6 y 7+y+9 et y 2+2 y 7+3 y+12 3 y 2 + 6 y 7 + y + 9 + y 2 + 2 y 7 + 3 y + 12 4 y 2 + 8 y 7 + 4 y + 21 Ce polynôme correspond à la somme recherchée.

Soustraction des polynômes Démarche: La soustraction des polynômes équivaut à additionner l’opposé de chacun des termes deuxième polynôme au premier et à réduire l’expression algébrique obtenue. On obtient un nouveau polynôme correspondant à la différence recherchée. Exemple: -3 x 2 - 6 x + 7 Soustrait de 5 x 2 + 10 x - 12. (5 x 2 + 10 x – 12) – (-3 x 2 – 6 x + 7) = (5 x 2 + 10 x – 12) + 3 x 2 + 6 x + (– 7) = 5 x 2 + 3 x 2 + 10 x + 6 x + (-12) + (-7) = 8 x 2 + 16 x + (-19) ou 8 x 2 + 16 x – 19 Ce polynôme correspond à la différence recherchée.

Les propriétés des exposants Règles: Ex: 32 x 33 = 32+3 = 35 =243 (am)n = amn Ex: (32)4 = 32 x 4 =38 am ÷ an = am-n Ex: 28 ÷ 25 = 28 -5 =23 (ab)n = an x bn Ex: (34)2 = 32 x 42 =9 x 16 am x an = am+n n √a n √ a 0 =1 Ex: 5 3 af 1 4 4 = Ex: 34 = √ 5 4 √ 33 Ex: 1800=1 =6561 =8 =8, 9 =20, 78 =1 =144

Multiplication de monômes (a 3 b 4)(a 5 b 2) Regrouper les bases semblables Quel propriété? (a 3 a 5)(b 4 b 2) La commutativité solution: a 8 b 6 Pour multiplier des monômes, additionne les exposants.

Multiplie (5 a 4 b 3)(2 a 6 b 5)

À toi! 1. (a 2 b 3)(a 9 b) Solution: a 11 b 4 2. (3 a 12 b 4)(-5 ab 2)(a 3 b 8) Solution: -15 a 16 b 14

Multiplication d’un polynôme par un monôme Démarche: Distribuer--- il faut multiplier chacun des termes du polynôme par le monôme. Exemple: (7 ab) (5 a 2 + 6 b + 12) = (7 ab × 5 a 2) + (7 ab × 6 b) + (7 ab × 12) = 35 a 3 b + 42 ab 2 + 84 ab

Division des monômes a 7 b 5 a 4 b Regrouper les bases semblables Pour diviser, Soustrais les exposants a 7 a 4 • b 5 b 1 (a 7 - 4)(b 5 - 1) solution: a 3 b 4

Division des monômes -30 x 3 y 4 -5 xy 3 Divise les coefficients. Regroupe les bases -30 (x 3 - 1)(y 4 - 3) -5 solution: 6 x 2 y

Divise 2 m 5 n 4 -3 m 4 n 2 Divise les coefficients et soustrais les exposants 2 -3 Solution: 2 -3 (m 5 - 4)(n 4 - 2) mn 2 = 2 mn 2 -3

À toi! 1. m 8 n 5 m 4 n 2 (m 8 - 4)(n 5 - 2) Solution: m 4 n 3 2. - 3 x 10 y 7 6 x 9 y 2 - 3 (x 10 - 9)(y 7 - 2) 6 Solution: -1 2 xy 5 = - xy 5 2

• La division d’un polynôme par un monôme. • Définition : Il faut diviser chacun des termes par le monôme. • Exemple :

Simplifier une puissance ayant une base monomiale (ab)2 (ab)3 (ab) (aa)(bb) a 2 b 2 (ab)(ab) (aaa)(bbb) a 3 b 3 Règle : (xy)n = xnyn

Simplifier une puissance ayant une base monomiale: Puissance d’une puissance (a 9 b 5)3 (a 9 • 3)(b 5 • 3) Solution: a 27 b 15 (4 m 11 n 20)2 (41 • 2)(m 11 • 2)(n 20 • 2) Solution: 16 m 22 n 40 Règle: (xayb)n = xanybn

À toi! 1. (2 a 4)3 2. (4 xy 5 z 2)4 (21 a 4)3 (41 x 1 y 5 z 2)4 (21 • 3)(a 4 • 3) Solution: 8 a 12 (41 • 4)(x 1 • 4)(y 5 • 4)(z 2 • 4) Solution: 256 x 4 y 20 z 8 Règle: (xayb)n = xanybn