Mathematik und Industrie eine Beziehung zum gegenseitigen Nutzen

Mathematik und Industrie eine Beziehung zum gegenseitigen Nutzen Heinz W. Engl Institut für Industriemathematik Johannes Kepler Universität Linz und Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics der Österreichischen Akademie der Wissenschaften Innsbruck, Februar 2003

„Einteilung der Mathematik“ • Reine Mathematik • Angewandte Mathematik * Applicable * Applied • Industriemathematik: Mathematik, die durch Anwendungsprobleme aus der Industrie motiviert ist. Unterschiede nur in der Motivation, nicht in der Methode (mathematische Strenge; Beweis!): Idealfall. Anwendungsprobleme sind oft zu komplex dafür, diesen Anspruch zu genügen: Kompromiß: mathematische Strenge (z. B. Konvergenzbeweis) zumindest für Modellprobleme. --> „wissenschaftliches Rechnen“ („Scientific Computing“)

Vorgehen bei Anwendungsproblemen • Übersetzung in ein „mathematisches Modell“ (viele mathematische Fragen, wie „welche Terme sind wichtig? “ => asymptotische Analysis; Kompromiss zwischen Einfachheit und Genauigkeit) • Entwicklung effizienter Lösungsmethoden (analytisch / numerisch / symbolisch /. . . ) • Effiziente Implementierung • Rückinterpretation der Ergebnisse Oft sind dazu mehrere Iterationen notwendig!

Historische Entwicklung der Mathematik „Wellenbewegung“ zwischen Betonung von Theorie/Grundlagen Anwendungsbezug. ~ 1960: „Bourbakismus“ Felix Klein: „Göttinger Vereinigung für angewandte Physik und Mathematik“: • Pflege und Förderung der Mathematik in wissenschaftlicher, technischer und wirtschaftlicher Beziehung • Wechselwirkung zwischen Wissenschaft und Technik • Motivation: wissenschaftliche Anregungen, „Zusammenführung zwischen Geist und Industrie“

Vor 1. Weltkrieg: über 50 industrielle Mitglieder (z. B. Generaldirektoren von Krupp, Siemens, AEG) Prandtl: „Klein versuchte, die große Kluft, die reine Wissenschaft von der werktätigken Welt trennte, zu überbrücken“. Technomathematik/Industriemathematik: Versuch dieses Brückenschlags in Lehre und Forschung im Geiste Felix Kleins („Felix-Klein-Preis“ der EMS)

Mathematik als Querschnittswissenschaft Unterschiedliche reale Probleme können auf eng verwandte mathematische Modelle führen und daher mit ähnlichen Methoden behandelt werden. Beispiele: • amerikanische Optionen - Schmelzen von Stahl • Wärmeleitung - Diffusion in porösen Medien • Gasdynamik - Halbleitermodelle - Modelle für den Straßenverkehr • Reaktions-Diffusionsgleichungen - Ausbreitung von Epidemien

Was tun wir? Grundlagenforschung auf dem Gebiet der inversen Probleme Anwendungsorientierte Forschung: Anwendung moderner mathematischer Methoden auf Problemstellungen aus Industrie und Wirtschaft; Modellierung und numerische Simulation Entwicklung von Individualsoftware Consulting

Inverse Probleme Definition Was sind inverse Probleme? Probleme, bei denen aus BEOBACHTETEN WIRKUNGEN oder aus BEABSICHTIGTEN WIRKUNGEN die URSACHEN (INPUTS oder SYSTEMPARAMETER) berechnet werden sollen

Inverse Probleme Beispiel 1 Wo treten inverse Probleme auf? • Differenzieren! • Computertomographie: Welche Dichteverteilung im Patienten bewirkt die gemessene Verteilung der Absorption von Röntgenstrahlen? Ähnlich: zerstörungsfreie Materialprüfung, Impedanztomographie (Johann Radon). • Inverse Wärmeleitungsprobleme: Wie ist die Sekundärkühlung einer Stranggußanlage einzustellen, sodaß ein beabsichtigter Erstarrungsverlauf des vergossenen Stahls erzielt wird? • Inverse Streuprobleme: Wo liegen Armierungseisen in Beton, die gemessene Streuung eines zeitlich veränderlichen Magnetfelds hervorrufen?

Inverse Probleme Beispiel 2 Weitere Beispiele • Parameteridentifikation: Berechne die temperaturabhängige Wärmeleitfähigkeit von Sand für Gußformen aus Messungen des zeitlichen Temperaturverlaufs in einigen Thermoelementen • Zerstörungsfreie Materialprüfung: Bestimme die Dicke der Hochofenausmauerung aus Temperaturmessungen in Thermoelementen an der Außenwand • Inverse Probleme in der Optik: Welche Gestalt eines Freiformflächenreflektors liefert eine gewünschte Beleuchtungsstärkeverteilung auf der zu beleuchtenden Wand?

Inverse Probleme (In)korrekt gestellt Hadamards Fragen (1923) • Existiert für alle Daten eine Lösung? • Falls es eine Lösung gibt, ist sie eindeutig? • Hängt die Lösung stetig von den Daten ab? Falls 3 x JA: Problem heißt „korrekt gestellt“: „korrekte Modellierung eines relevanten Problems“ Inverse Probleme sind typischerweise inkorrekt gestellt; erstes Auftauchen: Geophysik (Lagerstättensuche), Tikhonov

Inverse Probleme Rückwärts-Wärmeleitung Ein inverses Wärmeleitungsproblem Bestimme in einem seitlich isolierten Stab die Anfangstemperatur, wenn die Endtemperatur gegeben ist: Gesucht:

Inverse Probleme Rückwärts-Wärmeleitung Das direkte Problem Berechne die Endtemperatur, wenn die Anfangstemperatur gegeben ist. Lösung: • Entwicklung in Cosinus-Fourier-Reihe Die Temperaturverteilung ist dann gegeben als: Anteile der Frequenz n werden mit exp(-n 2 t) gedämpft, Vorwärtsproblem glättet!

Inverse Probleme Rückwärts-Wärmeleitung Das inverse Problem Ist nun die Endtemperatur gegeben (und in Cosinus-Fourier -Reihe entwickelt): so ergibt sich für die Anfangstemperatur als Anteile der Frequenz n werden mit exp(n 2 T) verstärkt!!! Hochfrequentes Rauschen in der Endtemperatur hat enorme Auswirkungen auf das Ergebnis.

Optimales Design: CAD von Freiformflächenreflektoren Aufgabenstellung - Konstruktion eines 3 D-Freiformflächenreflektors mit beliebig vorgebbarer Beleuchtungsstärkeverteilung - Einbindung in vorhandenes CAD-System Anwendungsbeispiel - gleichmäßige Ausleuchtung eines langen Fluchtwegs mit einem einzigen Reflektor

Optimales Reflektordesign

Optimierung Strukturoptimierung Gestaltoptimierung mechanischer Bauteile Ziele: • Reduktion des Gewichts von Bauteilen unter Einhaltung von Grenzen an die Maximalspannung ODER • Reduktion von Spannungsspitzen bei gleichem Gewicht ODER • Erreichen einer möglichst gleichmäßigen Spannungsverteilung zur Erhöhung der Lebensdauer

Optimierung Strukturoptimierung Methodische Ähnlichkeiten zu inversen Problemen • Effiziente Kombination von Optimierungsverfahren mit „direkten Lösern“ (z. B. FEM) nötig • Zahlreiche Projekte in diesem Bereich, von Motorbauteilen bis zu Bäckereisilos

Optimierung Strukturoptimierung Ergebnisse: Dickenoptimierung - Kipphebel Ausgangsdesign: Optimiertes Design:

Mechanische Auslegung von Füßen für Bäckereisilos Partnerfirma: hb technik Die mechanische Belastung in den Standfüßen von Mehlsilos (bis 30 t Fassungsvermögen) soll berechnet werden. Von Mises Spannungsverteilung an der Silobasis

Inverse Probleme Anwendungen Bestimmung der Hochofenwandstärke aus Temperaturmessungen Problemstellung: • durch chemische und physikalische (Reibung) Reaktionen wird im Laufe der Zeit die Hochofenausmauerung immer dünner Aufgabenstellung: • bestimme die Dicke der Hochofenausmauerung durch Temperaturmessungen an der Außenmauer Lösung: • Parameteridentifikationsproblem • stabile Lösung nur mit Regularisierungsverfahren möglich

Inverse Problems Anwendungen Hochofenausmauerung: Ergebnisse Ohne Regularisierung: Mit Regularisierung:

Transiente Temperaturfeldberechnung Erwärmung von Bremsen für Windkraftwerke Aufgabenstellung - Bei Windkraftwerken ist in Störfällen ein Bremsung der Schwungmassen notwendig. Gesucht ist der transiente Temperaturverlauf in der Bremse um Aussagen über den Verschleiß treffen zu können Modellierung und Lösungsmethode - Wärmeleitungsgleichungen für Scheibe, Reibbelag und Trägerplatte - stabile numerische Lösung durch voll implizites Diskretisierungsverfahren

Temperaturverteilung in Bremsscheibe /Bremsbelag / Trägerplatte im Verlauf einer Notbremsung Quelle : Math. Consult Gmb. H

Transiente Temperaturfeldberechnung Temperaturverteilung in Fensterprofilen Aufgabenstellung - Fensterrahmen werden mittels Extrusionstechnik hergestellt. Nach Verlassen der Form durchlaufen die Profile noch 4 Kalibratoren. Gesucht ist die Temperaturverteilung im Rahmen nach dem letzten Kalibrator. Modellierung und Lösungsmethode - Berücksichtigung von Wärmeleitung und Wärmestrahlung - Finite Elemente Methode, voll implizit in der Zeit

Fensterprofil + Kalibrator Berechnungsgitter Profil Kalibator Kühllöcher

Temperaturverteilung in Profil und Kalibrator nach 10 Sekunden

Temperaturverlauf im Fensterprofil Anfangstemperatur 200 °C Quelle : Math. Consult Gmb. H

Transiente Temperaturfeldberechnung in Elektromotoren Aufgabenstellung - Prototyp einer Temperaturfeldberechnung Modellierung und Lösungsmethode - Wärmeleitung - Konstanter Wärmefluss aus den Bohrungen - Abgabe von Wärme an die Umgebung durch Strahlung - Finite Elemente Methode

Temperaturverteilung nach 0. 1 s 10 s 2 s 28 s Stationärer Zustand erreicht Max. Temperatur 416 °C

Numerische Simulation des Hochofenprozesses Ziel: Entwicklung eines kinetischen Hochofen-Simulationsmodells Berechnet werden sollen: • Strömung der Schüttung und des Windes, Druckverteilung • Temperaturverteilung • Chemische Zusammensetzung als Funktion des Ortes unter Berücksichtigung der Reaktionskinetik

Mathematische Modellbildung Potentialströmung für den Feststoff Wind: Strömung durch geschichtetes poröses Medium Energiebilanz: Diffusion, Konvektion, Wärmequellen und -senken durch chemische Reaktionen Reaktionskinetik für gut 30 Verbindungen ergibt ein System von ca. 40 gekoppelten nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen

Numerische Realisierung Modularer, objektorientierter Aufbau Problemangepaßte Finite-Elemente in den einzelnen Modulen Iterative Kopplung der einzelnen Module Einbindung in größeres Automatisierungspaket

Modularer Aufbau

Ergebnisse Druckverteilung (Einfärbung) Gasströmung (Pfeile)

Ergebnisse: Kohlenstoffgehalt im Unterofen oben: 2%, unten: 4. 5 %

Kompetenzzentrum Industriemathematik Numerische Simulation des COREX®-Prozesses • COREX® = neue Technologie zur Produktion von Roheisen • statt Koks wird Kohle verwendet (keine Kokerei notwendig; daher geringere Kosten), billigere Erze verwendbar, umweltfreundlicher Prozeß aufgeteilt in zwei Reaktoren: • Reduktionsschacht: Reduktion des Eisenerzes • Einschmelzvergaser: Abschmelzen des im Schacht produzierten Eisenschwamms, Produktion des im Schacht verwendeten Reduktionsgases

Kompetenzzentrum Industriemathematik COREX®-Prozess - Komplexität Modellierung und Berechnung • der Strömung des Erzes (spezielles Materialgesetz) und des Reduktionsgases im Schacht, • der chemischen Reaktionen, • der Temperaturverteilung vom Erz und Gas, • der Ablagerung des im Gas befindlichen Staubes 3 dimensionales Modell gekoppeltes System von ca. 35 nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen

Kompetenzzentrum Industriemathematik Geschwindigkeitsverteilung im Feststoff

Kompetenzzentrum Industriemathematik Geschwindigkeitsverteilung im Feststoff Fe 0 -Anteil

Warmwalzen von Stahl Problembeschreibung - Das Warmwalzen von Stahl führt zu großen plastischen Umformungen und Spannungsunterschieden im Material - Experimentelle Untersuchungen sehr kostenintensiv und im wesentlichen auf Oberflächenverformungen beschränkt Komplexität - Große plastische Verformungen mit starren Zonen - Auftreten eines neutralen Punktes im Walzspalt - Kontaktproblem mit Reibung - Vertikalverschiebung im Kontaktbereich Walze - Bramme für Walzenverformung von spezieller Bedeutung

Numerische Realisierung - Gemischt Euler-Lagrangesche Beschreibung der Geschwindigkeit und der Vertikalverschiebung mit Druckkoppelung - Erstellung eines auf dieser Beschreibung basierenden Finite. Elemente Programmpaketes zur Lösung des komplexen, nichtlinearen Problems - Verwendung spezieller Löser für große, dünnbesetzte Matrizen - Einsatz spezieller Techniken zur • Lösung des Kontaktproblems, • Berücksichtigung des neutralen Punktes und • Handhabung der starren Zone.

Warmwalzen von Stahl - Ergebnisse Geschwindigkeiten + Vertikalverschiebung Spannungsverteilungen

Finanzmathematik: Bewertung derivativer Finanzinstrumente Beispiele von Finanzderivaten: • Call-Option: Recht, zu gewissen Zeitpunkten eine zugrunde liegende Aktie zu einem festen Preis (strike price) zu kaufen • Callable Bond: Anleihe mit vorzeitigem Kündigungsrecht des Emittenten • Bausparkredit: für gewisse Zeit garantierter Zinssatz, danach Gleitklausel mit Ober-/Untergrenzen (Cap/Floor). Keine fixe Laufzeit, sondern fixe Rate. Vorzeitige Tilgungsmöglichkeit. Extrem kompliziert! Was ist ein fairer Preis für eine solches Instrument?

Derivative Finanzinstrumente Theorie: Black-Scholes-Merton 1973 (Nobelpreis 1997) Für einfache Instrumente analytische Lösungen. Komplizierte Kontrakte müssen numerisch bewertet werden. Entwicklung einer neuen numerischen Methode, die insbesondere bei komplexen Derivaten (etwa: japanische Wandelanleihen mit starker Pfadabhängigkeit) äußerst schnell und robust ist: Paket Un. Risk®

Wert einer Up-and-Out Call Option auf eine Aktie mit diskreten Dividenden bei steigenden Zinsen Wert der Option Zeit (Tage) Aktienkurs Call-Option auf Anleihe mit diskreten Kupons als Funktion des Zinsniveaus und der Restlaufzeit der Option bei steigender Volatilität Quelle: Math. Consult Gmb. H