MATHEMATICAL LOGIC Standar Kompetensi SK Standard Competence 4

MATHEMATICAL LOGIC Standar Kompetensi (SK) / Standard Competence : 4. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar (KD) / Basic Competence : 4. 1 Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan penyataan berkuantor Indikator / Indicator : n Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk n Menentukan ingkaran dari suatu pernyataan majemuk 12/8/2020 materi pelajaran matematika kelas X (by. Rahmi) Januari. 2010 1

Compound Statement/Pernyataan Majemmuk 1. Conjunction / Konjungsi yaitu penggabungan dua buah pernyataan p dan q, dengan kata “dan”, ditulis dengan p ^ q (dibaca p dan q). p dan q dinyatakan benar apabila kedua pernyataan bernilai benar Truth Table Conjunction / Tabel Kebenaran Konjungsi p T T F F 12/8/2020 q p^q T T F F F materi pelajaran matematika kelas X (by. Rahmi) Jan 2010 2

2. Disjunction / Disjungsi penggabungan dua buah pernyataan p dan q, dengan kata “atau”, ditulis dengan p v q (dibaca p atau q). p atau q dinyatakan salah apabila kedua pernyataan bernilai salah. Tabel Kebenaran Disjungsi / Truth Table Disjunction p T T F F 12/8/2020 q pvq T T F T T T F F materi pelajaran matematika kelas X (by. Rahmi) Januari. 2010 3

3. Implication / Implikasi yaitu penggabungan dua buah pernyataan p dan q, dengan kata “jika … maka …”, ditulis dengan p q (dibaca jika p maka q). p q bernilai salah apabila pernyataan pertama benar dan pernyataan kedua salah dan bernilai benar untuk keadaan yang lain. Tabel Kebenaran/ Truth Table Implication p T T F F 12/8/2020 q p q T T F F T T F T materi pelajaran matematika kelas X (by. Rahmi) Januari 2010 4

4. Bi Implication / Bi Implikasi yaitu penggabungan dua buah pernyataan p dan q, dengan kata “…jika dan hanya jika …”, ditulis dengan p ↔ q (dibaca jika p maka q). p ↔ q bernilai benar apabila kedua pernyataan bernilai benar atau kedua pernyataan bernilai salah dan bernilai salah untuk keadaan yang lain. Tabel Kebenaran Bi Implikasi p T T F F 12/8/2020 q p↔q T T F F T materi pelajaran matematika kelas X (by. Rahmi) Januari 2010 5

5. Converse , Inverse, and Contraposition Converse, Inverse, and, Contraposition merupakan pernyataan implikasi dari suatu implikasi yang diketahui. Konvers, Invers dan Kontraposisi didefenisikan sebagai berikut: Misalkan suatu implikasi p q Converse adalah q p Invese ~q Contraposition dari implication p q adalah ~q ~p 12/8/2020 materi pelajaran matematika kelas X (by. Rahmi) Januari 2010 6

Example 1: Determine Converse, Inverse, and, Contraposition of the implications : “If Romeo comes , then Juliet is happy Solution: Converse comes Inverse : If Romeo does not come , then Juliet is not happy Contraposition : If Juliet is not happy, then Romeo does not come 12/8/2020 materi pelajaran matematika kelas X (by. Rahmi) Januari. 2010 7

example 2: Determine converse, inverse, and, contraposition of the following implications : “ If x = 5, then x 2 = 25 ” solution: converse : If x 2 = 25 , then x = 5 Inverse : If x ≠ 5 , then x 2 ≠ 25 Contraposition : If x 2 ≠ 25 , then x ≠ 5 Contoh 3: Determine converse, inverse, and, contraposition of the following implications : “ If x > 1, then x 2 > 1 ” Jawab : Converse : If x 2 > 1, then x >1 Inverse : If x ≤ 1 , then x 2 ≤ 1 Contraposition : If x 2 ≤ 1, then x ≤ 1 12/8/2020 materi pelajaran matematika kelas X (by. Rahmi) Januari 2010 8

Latihan 1. 1. Carilah nilai kebenaran pernyataan berikut dengan tabel kebenaran a. (p v q) Λ r b. (~q Λ p) ↔ (~p v q) c. p → (p ↔ ~q) 2. Tentukanlah Invers, Konvers dan Kontraposisi dari pernyataan berikut : a. Jika Jaka siswa SMA, maka ia lulusan SMP b. Jika x = 3, maka x 2 = 9 c. Jika x – 1 > 0, maka x 2 – 5 x + 4 > 0 12/8/2020 materi pelajaran matematika kelas X (by. Rahmi) Januari. 2010 9

b. (~q Λ p) ↔ (~p v q) Jawaban : 1. a. (p v q) Λ r B B S S B B S S S B S B S L L 1 L 4 L 2 L 5 12/8/2020 (~q Λ p) ↔ (~p v q) S B S B S B B S S S B B B S B S L L 1 L 5 L 7 L 3 L 6 L 2 c. p (p ↔ ~q) 3 p (p ↔ ~q) B B S S S B S B L L 1 L 5 L 2 L 4 materi pelajaran matematika kelas X (by. Rahmi) Januari. 2010 4 3 10

2. a. Jika Jaka siswa SMA, maka ia lulusan SMP Invers : Jika Jaka bukan siswa SMA, maka ia bukan lulusan SMP Konvers : Jika Jaka lulusan SMP, maka ia siswa SMA Kontraposisi : Jika Jaka bukan lulusan SMP, maka ia bukan siswa SMA b. Jika x = 3, maka x 2 = 9 Invers : Jika x ≠ 3, maka x 2 ≠ 9 Konvers : Jika x 2 = 9, maka x = 3 Kontraposisi : Jika x 2 ≠ 9, maka x ≠ 3 c. Jika x – 1 > 0, maka x 2 – 5 x + 4 > 0 Invers : Jika x – 1 ≤ 0, maka x – 5 x + 4 ≤ 0 Konvers : Jika x – 5 x + 4 > 0, maka x – 1 > 0 Kontraposisi materi: pelajaran Jika matematika x – 5 x + 4 X≤ 0, maka x – 1 kelas 12/8/2020 11 (by. Rahmi) Januari 2010 ≤ 0

Latihan 2. 1. Carilah nilai kebenaran untuk negasi dari (p v q) Λ r dengan tabel kebenaran 2. Tentukanlah negasi dari pernyataan berikut : a. p : Jika Jaka siswa SMA, maka ia lulusan SMP b. p : Jika x = 3, maka x 2 = 9 c. p : Jika x – 1 > 0, maka x 2 – 5 x + 4 > 0 d. p : Semua ayam berbulu hitam e. p : Ada beberapa persamaan kuadrat mempunyai akar imajiner 12/8/2020 materi pelajaran matematika kelas X (by. Rahmi) jan. 2010 12

Jawaban : 1. a. ~{(p v q) Λ r} (p v q) Λ r ~ {(p v q) Λ r} B B S S B B S S S B S B S S B B B L L 1 L 4 L 2 L 5 L 12/8/2020 3 Jadi nilai kebenaran untuk negasi dari (p v q) Λ r adalah : SBBB 6 materi pelajaran matematika kelas X (by. Rahmi) Januari. 2010 13

2. a. p : Jika Jaka siswa SMA, maka ia lulusan SMP ~p : Jika Jaka bukan siswa SMA, maka ia bukan lulusan SMP b. p : Jika x = 3, maka x 2 = 9 ~p : Jika x ≠ 3, maka x 2 ≠ 9 c. p : Jika x – 1 > 0, maka x 2 – 5 x + 4 > 0 ~p : Jika x – 1 ≤ 0, maka x – 5 x + 4 ≤ 0 d. p : Semua ayam berbulu hitam ~p : Ada beberapa ayam yang berbulu hitam e. p : Ada beberapa persamaan kuadrat mempunyai akar imajiner ~p : Semua persamaan kuadrat mempunyai materi pelajaran matematika kelas X 12/8/2020 14 akar imajiner (by. Rahmi) Januari. 2010

12/8/2020 materi pelajaran matematika kls X (by. Rahmi) 17. 02. 2009 15