Materily jsou ureny pro vuku matematiky 3 ronk

Materiály jsou určeny pro výuku matematiky: 3. ročník Učivo v elektronické podobě zpracovala Mgr. Iva Vrbová 1

KOMBINATORIKA Variace s opakováním 2

Značení prvků n Předem daná konečná množina, z níž skupiny tvoříme, má n prvků. n Skupinu, která obsahuje k prvků, nazýváme skupinou k-té třídy. • například: Tvoříme-li dvojčlenné skupiny z 10 lidí, pak n = 10, k = 2. Tvoříme-li trikolóry z pěti různých barev, pak n = 5, k = 3. 3

Prvky ve skupině Vyskytuje-li se vybraný prvek ve skupině a) pouze jednou, mluvíme o skupinách bez opakování (v předpisu skupiny se tento fakt neuvádí) • vybíráme-li skupiny z lidí b) několikrát (maximálně k-krát), mluvíme o skupinách s opakováním • například: vždy, když vybíráme skupiny z cifer a není uvedeno, že opakovat nelze 4

Požadavek na předpis skupiny Jestliže na pořadí prvků ve skupině a) záleží, mluvíme o variacích (resp. permutacích) b) nezáleží, mluvíme o kombinacích 5

Řešení slovních úloh n Vždy si musíte umět správně odpovědět na čtyři základní otázky: 1. Záleží na pořadí prvků ve skupině? 2. Mohou se prvky ve skupině opakovat? 3. Z kolika celkových prvků tvořím skupiny? 4. Kolik prvků vybírám do jedné skupiny? 6

VARIACE S OPAKOVÁNÍM n Počet variací k-té třídy z n prvků s opakováním, tzn. každý prvek se ve výběru může objevit vícekrát, je určen vztahem 7

VARIACE S OPAKOVÁNÍM – příklad n Zadání: Kolik je přirozených dvojciferných čísel, která lze zapsat pomocí cifer 1; 2; 3; 4; 5; 6? n Řešení: Vezmu-li například cifry 1 a 2, mohu vytvořit 4 různá přirozená čísla: 12 , 21, 11, 22. 1. na pořadí prvků? 2. Záleží 3. 4. Mohou Z Kolik kolika prvků secelkových prvky vybírám ve prvků skupině do jedné tvořím opakovat? skupiny? VARIACE • ano cifer k dispozici šest dvojciferná čísla kn. S =OPAKOVÁNÍM 26 n Odpověď: Celkem existuje 36 čísel, která splňují danou vlastnost. 8

n Zadání: Určete, kolik lze utvořit pěticiferných číselných kódů pomocí znaků desítkové soustavy. n Řešení: Kód 13579 je jiný než kód 97531. Kufr si mohu zakódovat možností 12213 nebo 01234. 1. na pořadí prvků? 2. Záleží 3. 4. Mohou Z Kolik kolika prvků secelkových prvky vybírám ve prvků skupině do jedné tvořím opakovat? skupiny? • ano VARIACE ano desítková pěticiferný soustava kód kn. S =OPAKOVÁNÍM 510 n Odpověď: Za daných podmínek lze vytvořit 100 000 pěticiferných číselných kódů. 9

n Zadání: Určete, kolik lze utvořit pěticiferných přirozených čísel pomocí znaků desítkové soustavy. n Řešení: Číslo 13579 je jiné než číslo 97531. Pěticiferné přirozené číslo je také 12213, ale 01234 není pěticiferné, je jen čtyřciferné. 1. na pořadí prvků? 2. Záleží 3. 4. Mohou Z Kolik kolika prvků secelkových prvky vybírám ve prvků skupině do jedné tvořím opakovat? skupiny? VARIACE • ano desítková pěticiferné soustava číslo kn. S =OPAKOVÁNÍM 510 Čísla, která začínají nulou, je třeba odečíst. 0 x x x kn. Předpis: = 4, 10, obsazujeme protože Variace se sprvky užopakováním jen opakují 4 pozice Výsledek: n Odpověď: Existuje 90 000 pěticiferných přirozených 10 čísel daných vlastností.

n Zadání: Určete, kolik lze utvořit trojciferných, sudých čísel pomocí číslic 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. 1. Záleží prvků? 2. Mohouna sepořadí prvky 2 ve skupině opakovat? n 7, 1. skupina: k = 2, x x x protože se. OPAKOVÁNÍM prvky obsazujeme už jenopakují, 2 pozice VARIACE • ano 4 S 2. skupina: beru všechny zadané 3. skupina: 6 Výsledek: n Odpověď: Existuje 147 trojciferných sudých čísel, která jsou složená z cifer 1; 2; 3; 4; 5; 6; 117.

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ 12

Kolik znaků, skládajících se z jednoho až pěti signálů, obsahuje Morseova abeceda (obsahuje tečku a čárku, používá se v telegrafii a k vysílání signálů, písmena abecedy a cifry jsou kodovany do 1 -5 znakového signálu)? . . . — — — . . . – nejznámější signál – znáte jej ? Jednosignálové znaky: kolik ? Dvousignálové znaky: kolik ? Třísignálové znaky: kolik ? Čtyřsignálové znaky: kolik ? Pětisignální znaky: kolik ? 2 + V´ 2(2) + V´ 3(2) + V´ 4(2) + V´ 5(2) 13 Lze vytvořit 62 různých znaků Morseovy abecedy.

Bezpečnostní přihlašovací heslo je tvořeno uspořádanou sedmicí, jejíž první tři členy jsou písmena (26 znaků) a další čtyři číslice. Rozlišujeme malá a velká písmena, bez háčků a čárek. Kolik bezpečnostních hesel můžeme vytvořit? Počet všech bezpečnostních hesel požadované vlastnosti je roven: V´ 3(52). V´ 4(10). Celkem můžeme vytvořit 1 406 080 000 bezpečnostních hesel. 14

PIN platební karty je tvořen jedinou uspořádanou čtveřicí. Jaký nejvyšší počet pokusů zadání PIN máme, zapomeneme-li PIN? S určitostí pouze víme, že PIN nezačíná 9. V´ 4(10) – V´ 3(10) 9 000 pokusů – ty nám ovšem bankomat nedá 15

Kolik je 4 (5, 6, 7) ciferných čísel, která neobsahují cifry 5, 6, 7, 8, 9? 4 ciferná ze 5 zbývajících cifer, musím odečíst ty varianty, které mají na prvním místě nulu V´ 4(5) – V´ 3(5) = 54 – 53 =625 -125=500 16

Kolik různých hodnot může mít jeden Byte skládající se z osmi bitů? Počet všech možných hodnot Bytu je roven počtu V´ 8(2) všech variací s opakováním osmé třídy ze dvou prvků. Jeden Byte může nabývat celkem 256 různých hodnot. Připomeňme si, že to mohou být hodnoty 0 -255. 17