Materily jsou ureny pro vuku matematiky 3 ronk

Materiály jsou určeny pro výuku matematiky: 3. ročník Učivo v elektronické podobě zpracovala Mgr. Iva Vrbová 1

KOMBINATORIKA Variace bez opakování 2

Značení prvků n Předem daná konečná množina, z níž skupiny tvoříme, má n prvků. n Skupinu, která obsahuje k prvků, nazýváme skupinou k-té třídy. • například: Tvoříme-li dvojčlenné skupiny z 10 lidí, pak n = 10, k = 2. Tvoříme-li trikolóry z pěti různých barev, pak n = 5, k = 3. 3

Prvky ve skupině Vyskytuje-li se vybraný prvek ve skupině a) pouze jednou, mluvíme o skupinách bez opakování (v předpisu skupiny se tento fakt neuvádí) • vybíráme-li skupiny z lidí b) několikrát (maximálně k-krát), mluvíme o skupinách s opakováním • například: vždy, když vybíráme skupiny z cifer a není uvedeno, že opakovat nelze 4

Požadavek na předpis skupiny Jestliže na pořadí prvků ve skupině a) záleží, mluvíme o variacích (resp. permutacích) b) nezáleží, mluvíme o kombinacích 5

Kdy volíme VARIACE Tvoříme-li n čísla – přirozená, telefonní, kódy, n slova, n skupiny lidí, kterým rozdělujeme konkrétní funkce, konkrétní medaile n skupiny lidí, které řadíme podle výšky, abecedy, věku n trikolóru, . . . 6

Řešení slovních úloh n Vždy si musíte umět správně odpovědět na čtyři základní otázky: 1. Záleží na pořadí prvků ve skupině? 2. Mohou se prvky ve skupině opakovat? 3. Z kolika celkových prvků tvořím skupiny? 4. Kolik prvků vybírám do jedné skupiny? 7

VARIACE Počet variací k-té třídy z n prvků bez opakování, tzn. žádný prvek výběru se nemůže opakovat : 8

VARIACE – 1. příklad n Zadání: Kolik různých trikolór lze sestavit z bílé, žluté, červené, modré a zelené barvy? n Řešení: Nejprve si představte trikolóru… ČESKO HOLANDSKO JAMAJKA 1. Záleží 2. 3. Mohou Z kolika na secelkových pořadí prvky ve prvků? prvků skupině tvořím opakovat? skupiny? 4. Kolik prvků vybírám do jedné skupiny? • ano zne pěti barev n. BEZ VARIACE trikolóra = tři k = 35 OPAKOVÁNÍ n Odpověď: Z daných barev lze sestavit 60 trikolór. 9

Rozdíl mezi číslem přirozeným a čísel. kódem Tvoříme-li n přirozená čísla • nesmíme nikdy začínat cifrou nula • počet možností s nulou na začátku odečítáme například: • trojciferné přirozené číslo je 121, 800, 543, 402 • o trojciferné přirozené číslo se nejedná, když postavíme na místo stovek nulu: 015, 075, 042 n číselný kód (například na zámečku u kufru) • můžeme sestavit z jakýchkoliv cifer, s nulou na začátku či na konci 10

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 11

n 2. Určete, kolik lze utvořit čtyřciferných číselných kódů pomocí znaků desítkové soustavy, ve kterých se číslice neopakují. n Řešení: Kód 2468 je jiný než kód 8642. Kód 1221 nesmím použít. Kufr si mohu zakódovat možností 0987. 1. na pořadí prvků? 2. Záleží 3. 4. Mohou Z Kolik kolika prvků secelkových prvky vybírám ve prvků skupině do jedné tvořím opakovat? skupiny? • ano VARIACE ne desítková čtyřciferný soustava kód kn. BEZ = 410 OPAKOVÁNÍ n Odpověď: Za daných podmínek lze vytvořit 5 040 pěticiferných číselných kódů. 12

n 3. Určete, kolik lze utvořit čtyřciferných přirozených čísel pomocí znaků desítkové soustavy, ve kterých se číslice neopakují. n Řešení: Číslo 2468 je jiné než číslo 8642. Číslo 1221 nesmím použít. Číslo 0987 již není čtyřciferné. 1. na pořadí prvků? 2. Záleží 3. 4. Mohou Z Kolik kolika prvků secelkových prvky vybírám ve prvků skupině do jedné tvořím opakovat? skupiny? VARIACE • ano ne desítková čtyřciferné soustava číslo kn. BEZ = 410 OPAKOVÁNÍ Čísla, která začínají nulou, je třeba odečíst. 0 x x kn. Předpis: = 3, 9, obsazujeme protože Variace se prvky bez už jen opakování neopakují 3 pozice Výsledek: n Odpověď: Existuje 4 536 čtyřciferných přirozených 13 čísel daných vlastností.

n 4. Určete, kolik lze utvořit čtyřciferných, lichých čísel pomocí číslic 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, ve kterých se číslice neopakují. n Řešení: Číslo 1357 je jiné než číslo 7531. Číslo 1221 nesmím použít. Liché číslo obecně končí cifrou 1; 3; 5; 7; 9. 1. Záleží prvků? 2. Mohouna sepořadí prvky ve skupině opakovat? 1. skupina: 1 n 6, k = 3, x x protože se prvky VARIACE obsazujeme už jenneopakují, 3 pozice • ano ne BEZ OPAKOVÁNÍ 2. skupina: 3 beru o jeden méně oproti 3. skupina: 5 zadaní 4. skupina: 7 Výsledek: n Odpověď: Existuje 480 čtyřciferných lichých čísel, která jsou složená z cifer 1; 2; 3; 4; 5; 6; 147.

DALŠÍ PŘÍKLADY 15

1. Ve škole se učí 10 různým předmětům a každému se učí nejvýše hodinu denně. Kolika způsoby je možno sestavit rozvrh hodin na jeden den, je-li v témže dni 5 různých předmětů? 30 240 2. Kolik různých umístění může být na prvních třech místech při hokejovém mistrovství světa, jestliže se ho zúčastní osm družstev? Systém soutěže neumožňuje dělbu umístění. V 3(8) = 8. 7. 6 = 336 16

3. Kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu, pokladníka a nástěnkáře? Studenti mohou zvolit výbor celkem 657 720 způsoby. 4. Ve čtvrtém ročníku se vyučuje 12 předmětů. Každý předmět se vyučuje nejvýše jednu hodinu denně. Kolika způsoby sestavíte rozvrh na jeden se sedmi vyučovacími hodinami? Požadovaný rozvrh můžeme sestavit 3 991 680 způsoby. 17

5. Kolik různých výsledků může mít hokejový zápas, nastřílejí-li obě mužstva nejvýše po třech gólech, hosté dostanou alespoň jeden gól a remíza padne pouze v případě skóre 3: 3. Každý výsledek je uspořádaná dvojice (domácí : hosté), v níž záleží na počtu nastřílených gólů. Počet všech možných výsledků, při kterých zápas neskončí remízou, je V 2 (4) = variace bez opakování druhé třídy ze čtyř prvků 0, 1, 2, 3. Z tohoto počtu vyloučíme ty zápasy, ve kterých hosté nedostanou žádný gól ([0: 1], [0: 2], [0: 3]), V 1 (3) = variace bez opakování první třídy ze tří prvků 1, 2, 3. Remíza [3: 3] je přičtena k počtu Celkový počet výsledků: V 2(4) – V 1(3) + 1 =10 18