MATERI Garis singgung lingkaran a Garis singgung persekutuan

MATERI Garis singgung lingkaran a. Garis singgung persekutuan di dalam b. Garis singgung persekutuan di luar Lingkaran dalam dan luar segitiga a. Lingkaran dalam segitiga b. Lingkaran luar segitiga

GARIS SINGGUNG LINGKARAN Garis AB merupakan garis singgung lingkaran pada titik B, sehingga jari-jari OB tegak lurus terhadap garis singgung AB, maka panjang OA dapat dihitung dengan teorema Pythagoras.

• O B OA 2 = OB 2 + AB 2 = OA 2 - OB 2 = OA 2 - AB 2 A

Garis Singgung Persekutuan dalam A N M B AB = Garis singgung persekutuan dalam MN = Garis pusat persekutuan

C A r 2 r 1 N M r 2 B AB adalah garis singgung persekutuan dalam. AB = CN AB 2 = MN 2 - ( r 1 + r 2 )2

Garis Singgung Persekutuan Luar N M B A AB = Garis singgung persekutuan luar MN = Garis pusat persekutuan

N M r 2 r 1 C B A AB adalah garis singgung persekutuan luar. AB = CN AB 2 = MN 2 - ( r 1 - r 2 )2

Lingkaran Dalam segitiga C b E r D a O A F c B

C b E r D a O A F c B Titik pusat lingkaran dalam adalah titik perpotongan garis bagi sudut segitiga. Keliling ∆ ABC = a + b + c = 2 s Jadi, keliling segitiga = 2 s atau s = ½ ( a + b + c ).

Luas segitiga = ½ alas x tinggi , atau = s(s – a )(s – b)(s – c ) Jika jari-jari lingkaran dalam adalah r, maka : r = Luas : ½ keliling atau r = L/s AF = AE = s - a BF = BD = s - b CE = CD = s - c

Lingkaran Luar segitiga C R A O B

Titik pusat lingkaran luar segitiga adalah titik potong garis sumbu sisi-sisi segitiga OA = OB=OC = jari-jari lingkaran luar. Jika jari-jari lingkaran luar adalah R, maka : R = abc / 4 L R = abc : 4 L atau ,

Soal 1 Pada gambar di bawah, garis AB merupakan garis singgung. Panjang OA = 13 cm dan jari OB = 5 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB. O • B A

Pembahasan : Perhatikan Δ OAB siku-siku di titik B AB 2 = OA 2 - OB 2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144 AB = √ 144 = 12 cm. Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.

Soal 2 A N M B Jika : AM = 6 cm , BN = 3 cm dan MN = 15 cm Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan : A N M B AB 2 = MN 2 -( r 1 + r 2 )2 = 152 - ( 6 + 3 )2 = 225 – 81 = 144 AB = √ 144 = 12 cm

Soal 3 M N B A Jika : AM =13 cm , BN = 6 cm dan MN = 25 cm Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan : M N B A AB 2 = MN 2 -( r 1 - r 2 )2 = 252 - ( 13 - 6 )2 = 625 – 49 = 576 AB = √ 576 = 24 cm

Soal 4 R S O • Pada gambar di samping, panjang PQ = 12 cm, QR = 15 cm. T Hitunglah panjang jari-jari OU. P U Q

Pembahasan : PQ = 12 cm dan QR = 15 cm PR 2 = QR 2 - PQ 2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81 PR = 81 = 9 cm

Pembahasan : PQ = 12 cm, QR = 15 cm dan PR = 9 cm Rd = Luas PQR : ½ keliling = ( ½ x PQ x PR ) : ½ ( PQ + PR + QR ) = ( ½ x 12 x 9 ) : ½ ( 12 + 9 + 15 ) = 54 : 18 = 3 cm. Jadi, panjang jari-jarinya adalah 3 cm.

Cara cepat : PQ = 12 cm dan QR = 15 cm PR 2 = QR 2 - PQ 2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81 PR = 81 = 9 cm Rd = ½ ( PQ + PR – QR ) = ½ ( 12 + 9 – 15 ) = 3 cm.

Soal 5 Pada gambar di samping, panjang PQ =10 cm, panjang QR = PR = 13 cm. Hitunglah panjang jari-jari OP. R O • P Q

Pembahasan : R O • P S Q PQ = 10 cm dan PR = QR = 13 cm RS 2 = PR 2 - PS 2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144 RS = 144 = 12 cm

R O • P S Q RL = ( abc ) : 4 L = ( 10 x 13 ) : ( 4 x ½ x 10 x 12 ) = 1690 : 240 = 7, 04 cm Jadi, jari-jarinya adalah : 7, 04 cm.

Soal 6 Pada gambar di samping, panjang PQ =8 cm, PR = 15 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran luar. R O • P Q

Pembahasan : R O • P Q PQ = 8 cm dan PR = 15 cm QR 2 = PQ 2 + PR 2 = 152 + 82 = 225 + 64 = 289 QR = 289 = 17 cm

R O • P Q PQ = 8 cm, PR = 15 cm dan QR = 17 cm Rd = ½ QR = ½ x 17 = 8, 5 cm. Jadi panjang jari-jari lingkaran adalah 8, 5 cm.

Soal 7 A M N B Jika : AM = 7 cm , BN = 3 cm dan AB = 24 cm Tentukan jarak kedua pusatnya (MN).

Pembahasan : A M N B MN 2 = AB 2 + ( r 1 + r 2 )2 = 242 + ( 7 + 3 )2 = 576 + 100 = 676 MN = √ 676 = 26 cm Jadi, jarak titik pusatnya = 26 cm.

Soal 8 M N B A Jika : AM =4 cm , BN = 2 cm dan MN = 10 cm Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan : M N B A AB 2 = MN 2 -( r 1 - r 2 )2 = 102 - ( 4 - 2 )2 = 100 – 4 = 96 AB = √ 96 = 9, 79 Jadi, panjang AB = 9, 79 cm.

Soal 9 A M N B Jika : AM = 7 cm , MN = 26 cm dan AB = 24 cm Tentukan panjang jari-jari BN.

Pembahasan : MN 2 = AB 2 + ( r 1 + r 2 )2 262 = 242 + ( 7 + r )2 676 = 576 + ( 7 + r )2 = 676 – 576 = 100 ( 7 + r ) = 100 = 10 7 + r = 10 – 7 r = 3 Jadi, jari-jari BN adalah 3 cm.

Soal 10 M N B A Jika : BN = 2 cm , AB = 12 cm dan MN = 13 cm Tentukan panjang AM.

Pembahasan : ( r 1 - r 2 )2 = MN 2 - AB 2 ( r 1 - 2 ) 2 = 132 - 122 ( r 1 - 2 ) 2 = 169 - 144 = 25 ( r 1 - 2 ) = 25 r 1 - 2 = 5 r 1 = 5 + 2 = 7 Jadi, panjang jari-jari AM = 7 cm.

Catatan Khusus Jika AB garis singgung persekutuan dalam. maka : AB 2 = MN 2 - ( r 1 + r 2 )2 Jika AB garis singgung persekutuan luar. maka : AB 2 = MN 2 - ( r 1 - r 2 )2