MATERI 6 BENTUKBENTUK NORMAL DNFSOPMINTERM CNFPOSMAXTERM BENTUK KANONIK

MATERI 6 BENTUK-BENTUK NORMAL DNF/SOP/MINTERM CNF/POS/MAXTERM BENTUK KANONIK FUNGSI BOOLE KONVERSI ANTAR BENTUK NORMAL

MENGAPA BENTUK NORMAL? (1) n Kemungkinan nilai dalam tabel kebenaran: – Semua salah (kontradiksi) – Semua benar (tautologi) – Memuat paling sedikit 1 benar (satisfiable) n Cara mencari nilai kebenaran, biasanya menggunakan tabel kebenaran.

MENGAPA BENTUK NORMAL? (2) n Pembuatan tabel kebenaran tidak terlalu praktis, bahkan dengan bantuan komputer, terutama untuk jumlah variabel yang besar. n Prosedur yang lebih mudah adalah dengan mereduksi ke bentuk-bentuk normal.

JENIS BENTUK NORMAL n Disjunctive normal form (DNF) atau Sum of products (SOP) atau Minterm n Conjunctive normal form (CNF) atau Product of sums (POS) atau Maxterm

DNF/SOP n DNF terdiri dari penjumlahan dari beberapa perkalian (sum of products = SOP). n Dalam tabel kebenaran, DNF merupakan perkalian-perkalian yang menghasilkan nilai 1. n Contoh: xy + x’y n Setiap suku (term) disebut minterm n Simbol minterm : m

CNF/POS n CNF terdiri dari perkalian dari beberapa penjumlahan (product of sum = POS). n Dalam tabel kebenaran, CNF merupakan penjumlahan-penjumlahan yang menghasilkan nilai 0. n Contoh: (x+y). (x’+y) n Setiap suku (term) disebut maxterm n Simbol maxterm : M

MINTERM & MAXTERM Cara yang dipakai untuk mempermudah menyatakan suatu ekspresi logika n Pada dasarnya adalah mendaftar nomor baris atau nilai desimal dari kombinasi variabel input yang outputnya : – berharga "1" untuk minterm – berharga "0" untuk maxterm. n

Tabel Minterm dan Maxterm (1)

Tabel Minterm dan Maxterm (2)

Membentuk Persamaan Boole dari Tabel kebenaran (1) n Jika yang dilihat adalah output "1" maka persamaan mempunyai bentuk "Sum of Product (SOP)“/DNF/ Minterm n Jika diberi input berikut : X Y Z = 0 0 0 ditulis : X’Y’Z’ X Y Z = 1 1 1 ditulis : XYZ X Y Z = 0 1 1 ditulis : X’YZ

Membentuk Persamaan Boole dari Tabel kebenaran (2) n Jika yang dilihat adalah output “ 0" maka persamaan mempunyai bentuk " Product of Sum (POS)“/CNF/ Maxterm n Jika diberi input berikut : X Y Z = 0 0 0 ditulis : (X+Y+Z) X Y Z = 1 1 1 ditulis : (X’+Y’+Z’) X Y Z = 0 1 1 ditulis : (X+Y’+Z’)

Contoh 1 n Nyatakan dalam bentuk SOP dan POS

Penyelesaian Contoh 1 (1) n SOP/DNF/MINTERM Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 01, maka fungsi Booleannya dalam bentuk SOP: f(x, y) = x’y 01 1 atau f(x, y) = m 1 = m (1)

Penyelesaian Contoh 1 (2) n POS/CNF/MAXTERM Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 00, 11, maka fungsi Booleannya dalam bentuk POS: f(x, y)=(x+y)(x’+y’) atau 0 0 1 1 f(x, y) = M 0 M 2 M 3 = M(0, 2, 3)

Contoh 2 n Nyatakan dalam bentuk SOP dan POS

Penyelesaian Contoh 2 (1) n SOP Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk SOP: f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz 001 100 111 atau f(x, y, z) = m 1 + m 4 + m 7 = m (1, 4, 7)

Penyelesaian Contoh 2 (2) n POS Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk POS: 0 0 1 1 f(x, y, z)= (x+y+z)(x+y’+z’) (x’+y+z’)(x’+y’+z) 1 0 1 1 1 0 atau f(x, y, z) = M 0 M 2 M 3 M 5 M 6 = M(0, 2, 3, 5, 6)

BENTUK KANONIK FUNGSI BOOLEAN (1) n Bentuk kanonik/bentuk lengkap adalah bentuk fungsi boolean dimana setiap term mengandung/memuat semua variabel yang ada – melengkapi literal untuk setiap suku agar jumlahnya sama – Jumlah literal sama dengan jumlah variabel

BENTUK KANONIK FUNGSI BOOLEAN (2) n Contoh bentuk kanonik: – f(x, y) = xy’ + xy – f(x, y, z) = xyz’ + x’y’z +xyz – f(x, y) = (x+y). (x’+y) n Minterm Maxterm Contoh bentuk non-kanonik : – f(x, y, z) = x + y’z Minterm – f(x, y, z) = (x+y+z’). (x+z). (y’ + z) Maxterm

Contoh 3 n Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

Penyelesaian Contoh 3 (1) n SOP/DNF/Minterm x = x (y + y’) = xy + xy’ = xy (z + z’) + xy’(z + z’) = xyz + xyz’ + xy’z’ y’z = y’z (x + x’) = xy’z + x’y’z Jadi f(x, y, z) = x + y’z = xyz + xyz’ + xy’z’ + xy’z + x’y’z = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz atau f(x, y, z) = m 1 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 = m(1, 4, 5, 6, 7)

Penyelesaian Contoh 3 (2) n POS/CNF/Maxterm f(x, y, z) = x + y’z = (x + y’)(x + z) x + y’ = x + y’ + zz’ = (x + y’ + z)(x + y’ + z’) x + z = x + z + yy’ = (x + y + z)(x + y’ + z) Jadi, f(x, y, z) = (x+y’+z)(x+y’+z’)(x+y+z)(x+y’+ z) = (x + y + z)(x + y’ + z’) atau f(x, y, z) = M 0 M 2 M 3 = M(0, 2, 3)

Konversi Antar Bentuk Normal (1) n Konversi SOP menjadi POS Komplemen Minterm Maxterm n Konversi POS menjadi SOP – Komplemen Maxterm Minterm

Konversi Antar Bentuk Normal (2) n Misalkan f(x, y, z) = m (1, 4, 5, 6, 7) dan f’ adalah fungsi komplemen dari f, maka f’(x, y, z) = m (0, 2, 3) = m 0+ m 2 + m 3 n Dengan menggunakan hukum De Morgan, diperoleh fungsi f dalam bentuk POS.

Konversi Antar Bentuk Normal (3) f(x, y, z) = (f’(x, y, z))’= (m 0+m 2+m 3)’ = m 0’. m 2’. m 3’ = (x’y’z’)’ (x’y z)’ = (x + y + z) (x +y’+z) (x+ y’+ z’) = M 0 M 2 M 3 = M (0, 2, 3) n Jadi, f(x, y, z) = m (1, 4, 5, 6, 7) = M (0, 2, 3). n Kesimpulan: mj’ = Mj n

Contoh 4 n Nyatakan f(x, y, z)= M(0, 2, 4, 5) dalam SOP Penyelesaian : f(x, y, z) = m (1, 3, 6, 7) n Nyatakan g(w, x, y, z)= m(1, 2, 5, 6, 10, 15) dalam POS Penyelesaian: g(w, x, y, z) = M (0, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14)