MATEMTIQUES 1 R BATXILLERAT CNIQUES NDEX Introducci Equacions
MATEMÀTIQUES · 1 R BATXILLERAT CÒNIQUES
ÍNDEX • Introducció • Equacions còniques • Llocs geomètrics: • Circumferència • Paràbola • El·lipse • Hipèrbola
INTRODUCCIÓ QUÈ SÓN LES CÒNIQUES • Una secció cònica és el conjunt de les diferents figures que s’obtenen en tallar una superfície cònica amb un pla que no passi pel vèrtex. • Depenent de la inclinació del pla respecte de l’eix de la superfície cònica obtindrem diferents llocs geomètrics.
INTRODUCCIÓ QUÈ ÉS UN LLOC GEOMÈTRIC? • Un lloc geomètric és el conjunt de punts del pla que compleixen unes propietats concretes. • Aquestes propietats permeten trobar una equació que en defineix el seu aspecte. • Segons aquesta definició existeixen n’existeixen diversos.
L’EQUACIÓ D’UNA CÒNICA RESUM • L’equació general d’una forma cònica és: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx +Ey + F = 0 • • A partir d’aquesta equació, podem trobar les eq. específiques de cada lloc geomètric: ‣ Si A = B ➤ Circumferència (La C ens indica el gir, per C =tant 0) ‣ Si A ≠ B (mateix signe) ➤ El·lipse. ‣ Si A ≠ B (signe oposat) ➤ Hipèrbola. ‣ Si A = 0 o B = 0 però A ≠ B ➤ Paràbola Aixó sí, si A = B = C = 0, obtindrem una recta.
LA CIRCUMFERÈNCIA DEFINICIÓ • La circumferència és el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten d'un mateix punt • Aquest punt és el centre. Circumferència
LA CIRCUMFERÈNCIA EQUACIÓ • L'equació reduïda de la circumferència és: (x-a)2 + (y-b)2 - r 2 =0 • Si fem cas als criteris descrits anteriorment (A=B), obtenim que l’equació d’una circumferència és: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0 • Si la circumferència es troba en l’eix de les x i y, D = E = 0 • Els coeficients D/2 i E/2 són el punt del centre del radi: C (d, e) ➤ C (a, b) • El terme independent F ens dona el radi (r)
LA CIRCUMFERÈNCIA POSICIONS RELATIVES ENTRE RECTA I CIRCUMFERÈNCIA • Existeixen tres posicions recta-circumferència: ‣ Exteriors: no es tallen. ‣ El sistema no té solució ‣ d (C, s) > r ‣ ‣ Tangents: la recta toca a la circumferència només en un punt. ‣ El sistema té 1 solució ‣ d (C, s) = r Secants: la recta talla la circumferència en dos punts diferents. ‣ El sistema té 2 solucions ‣ d (C, s) < r s s s d r C d = distància s = recta C = centre r = radi
LA CIRCUMFERÈNCIA POSICIONS RELATIVES ENTRE CIRCUMFERÈNCIES • De la mateixa manera que en una recta, dues circumferències poden estar en posicions: • Exteriors: ‣ El sistema no té solució ‣ d (C, C’) > r + r’ • Interiors: ‣ El sistema no té solució ‣ d (C, C’) < r - r’ C = centre 1 a circumferència C’ = centre 2 a circumferència r = radi 1 a circumferència r’ = radi 2 a circumferència
LA CIRCUMFERÈNCIA POSICIONS RELATIVES ENTRE CIRCUMFERÈNCIES • Tangents exteriors: ‣ El sistema té 1 solució ‣ d (C, C’) = r + r’ • Tangents interiors: ‣ El sistema no té solució ‣ d (C, C’) > r - r’ • Secants: ‣ El sistema té 2 solucions ‣ r - r’ < d (C, C’) < r + r’ C = centre 1 a circumferència C’ = centre 2 a circumferència r = radi 1 a circumferència r’ = radi 2 a circumferència
LA CIRCUMFERÈNCIA POSICIONS RELATIVES ENTRE PUNT I CIRCUMFERÈNCIA • En el cas d'un punt P(x, y) i una circumferència de radi r i centre C(a, b) ens podem trobar 3 casos en el qual el punt pot ser: 1 1. Exterior a la circumferència: d (P, C) > r 2. Pertany a la circumferència: d (P, C) = r 2 3. Interior a la circumferència: d (P, C) < r 3 d = distància P = punt C= centre r = radi
L’EL·LIPSE DEFINICIÓ • L’el·lipse és el lloc geomètric de punts del pla que la suma de distàncies a dos punts fixos anomenats focus és constant. El·lipse
L’EL·LIPSE ELEMENTS I PUNTS • Focus: són els punts F i F’ sobre l’eix x • Distància focal: distància entre els focus: 2 c. • Radis vectors: són els segments que uneixen qualsevol punt de l’el·lipse amb cadascun dels focus. N’hi ha 2 i sumen: 2 a • Eix focal: és la recta que passa pels focus. • Eix menor: segment que uneix els punts més allunyats de l’el·lipse A i A’. • Eix major: segment que uneix els punts més propers de l’el·lipse B i B’. • Centre: punt mitjà del segment FF’. • Vèrtex: són els punts d’intersecció dels eixos amb l’el·lipse: A, A’, B i B'. Eix real: és la recta que uneix els punts A i A’. • Excentricitat: e = c / a B P r 2 A’ F’ F B’ r 1 A
L’EL·LIPSE EQUACIÓ • Equació general: x 2 y 2 — 2 + — 2 = 1 a b • Equació amb eixos paral·lels als eixos de coordenades: (x-x 0)2 (y-y 0)2 ———— + ——— =1 2 2 a b a = semidistància de l’eix d’abscisses a = semidistància de l’eix d’ordenades
L’EL·LIPSE EQUACIÓ • Equació general: y 2 x 2 — 2 + — 2 = 1 a b • Equació amb eixos paral·lels als eixos de coordenades: (y-y 0)2 (x-x 0)2 ———— + ——— =1 2 2 a b a = semidistància de l’eix d’abscisses a = semidistància de l’eix d’ordenades
L’HIPÈRBOLA DEFINICIÓ • L’hipèrbola és el lloc geomètric dels punts d'un pla on la diferència de distancies als dos punts denominats focus és constant. Hipèrbola
L’HIPÈRBOLA EQUACIÓ • L’equació reduïda d'una hipèrbola centrada en el punt (0, 0) és: x 2 y 2 — 2 - — 2 = 1 a b • L'equació amb eixos paral·lels als eixos de coordenades: (x-x 0)2 (y-y 0)2 ———— - ———— =1 2 2 a b
L’HIPÈRBOLA EQUACIÓ • L’equació reduïda d'una hipèrbola centrada en el punt (0, 0) és: y 2 x 2 — 2 - — 2 = 1 a b • L'equació amb eixos paral·lels als eixos de coordenades: (y-y 0)2 (x-x 0)2 ———— - ———— =1 2 2 a b
L’HIPÈRBOLA ELEMENTS • Focus: són els punts F i F’, Estàn distanciats per 2 c. • Vèrtex: són els punts A i A'. La distància entre aquests dos punts és 2 a. • Eix real: és la recta que uneix els punts A i A’. • Eix focal: és la recta que uneix els focus. • Eix imaginari: mediatriu del segment FF’. • Centre: punt mitjà del segment FF’. • Excentricitat: e = c / a
L’HIPÈRBOLA REPRESENTACIÓ • Domini: Per trobar el domini cal trobar tots els nombres que facin que la equació no tingui solució. • Asímptotes: són rectes verticals per on no passa la funció. • Punts de tall: els punts de tall X ens indiquen quins punts passen si y = 0. Els punts de tall Y ens indiquen quins punts passen si x = 0. • Signe de la funció: el signe ens indicarà el signe de la gràfica entre els dos intervals. • Focus: són els punts F i F'. La distància entre aquests dos punts és 2 c. Excentricitat d'una hipèrbola La excentricitat ens diu de quin tipus de corba cònica estem parlant. Si a la equació e = c / a, e > 1 es tracta d'una hipèrbola, ja que es transforma en dues branques.
LA PARÀBOLA DEFINICIÓ • La paràbola és el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten: ‣ d'un punt anomenat focus F ‣ d’una recta anomenada directriu. r Paràbola
LA PARÀBOLA ELEMENTS • Si ens fixem en aquest gràfic observem aquests elements: • Eix de la paràbola: és la recta perpendicular a la directriu que passa pel focus. En el cas específic del dibuix és l'eix x. • Vèrtex de la paràbola: és el punt d'intersecció de la paràbola amb el seu eix. En aquest cas és el punt (0, 0). • Paràmetre: és la distància del focus F a la directriu r. L'anomenem p.
LA PARÀBOLA EQUACIÓ • L'equació reduïda de la paràbola és: y 2 = 2 px x 2 = 2 py • L’equació de la paràbola d'eix paral·lel a l'eix d'abscisses o d'ordenades: (y-y 0)2 = 2 p(x-x 0)2 = 2 p(y-y 0) • Si la desenvolupem obtenim l'equació general: x = ay 2 + by + c y = ax 2 + bx + c
LA PARÀBOLA EQUACIÓ • L'equació reduïda de la paràbola és: y 2 = 2 px x 2 = 2 py • L’equació de la paràbola d'eix paral·lel a l'eix d'abscisses o d'ordenades: (y-y 0)2 = 2 p(x-x 0)2 = 2 p(y-y 0) • Si la desenvolupem obtenim l'equació general: x = ay 2 + by + c y = ax 2 + bx + c
LA PARÀBOLA EQUACIÓ • L'equació reduïda de la paràbola és: y 2 = 2 px x 2 = 2 py • L’equació de la paràbola d'eix paral·lel a l'eix d'abscisses o d'ordenades: (y-y 0)2 = 2 p(x-x 0)2 = 2 p(y-y 0) • Si la desenvolupem obtenim l'equació general: x = ay 2 + by + c y = ax 2 + bx + c
FI Gerard López, Jan Bein, Jose Gomez, Simón Burner
- Slides: 26