Matemticas Maestra en Politicas Publicas Dr Favio Murillo

Matemáticas Maestría en Politicas Publicas Dr. Favio Murillo García

Presentación del curso Temario: Álgebra Cálculo diferencial Cálculo integral

Representación Gráfica (recta numérica) NÚMEROS NATURALES ( N ) 0 1 2 3 4 R Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4 NÚMEROS ENTEROS ( Z ) -2 -1 0 1 2 Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2 R

Adición Sume los números 2 + 2 0 1 2 3 4 R Sume los números 2+(-3) -2 -1 0 1 2 R

Ley de signos En suma y resta: • Números con signo igual: SE SUMAN. • Números con signo diferente: SE RESTAN y prevalece el signo del mayor. En multiplicación y división • Números con signo igual: el resultado es POSITIVO. • Números con signo diferente: el resultado es NEGATIVO.

Lenguaje algebraico 6

Expresión algebraica • EXPRESIÓN ALGEBRAICA • Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas: Adición, sustracción, multiplicación, división y potencia. A las letras se las llama variables, son cantidades desconocidas. Normalmente es la x, aunque puede haber más: y, z, etc. Los términos son cada uno de los sumandos: Pueden ser literales si llevan variable, o independientes si no la llevan. Al factor numérico, o número que multiplica o divide a una letra, se le denomina coeficiente. Si no está indicado vale 1. • • Ejemplos(en la praxis el punto no se escribe): • • 4. x + y/5 – z El 4 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -1 de z. • • (4. x + y)/5 – 3. z El 4/5 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -3 de z. 7

Utilidad del álgebra: Ejercicios • Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados: • • • a) b) c) d) e) f) g) h) i) Número de ruedas necesarias para fabricar x coches. Número de patas de un corral con “a” gallinas y “b” conejos. Un número menos 3. La mitad de un número. Restar la mitad de un número al 2. Doble de un número menos 5. Doble de un número, menos 5. Cuadrado de un número más 7. Cuadrado de un número, más 7. 8

Utilidad del álgebra: Ejercicios • Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados: • • • j) La tercera parte de un número más su quinta parte. k) Dos quinto de un número. l) El triple de un número más 1. m) La edad de Pedro hace cuatro años. n) La edad de Juan dentro de 15 años. o) ahora? p) Dos números se diferencian en 5 unidades. q) El cociente de dos números es igual a tres veces su suma. r) El producto de dos números dividido por su suma es 5. s) La diferencia de los cubos de dos números. 9

Utilidad del álgebra: Ejercicios • Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados: • • • t) u) v) w) x) y) z) z) z) El área de un rectángulo. El perímetro de un rectángulo. El área de un cuadrado. El perímetro de un cuadrado. El área de un círculo. El perímetro de un círculo. La raíz cuadrada de un número menos 3. La raíz cuadrada de un número, menos 3. La diferencia de las raíces cuadradas de un número y de 3. 10

Utilidad del álgebra: Ejemplo_1 • El IVA, en la mayoría de los artículos, es del 16%. • Si llamamos x al VP sin IVA, lo que pagaremos al comprar dicho artículo con factura será: • 16 • x + -----. x • 100 • El precio final será x+0, 16. x • Hemos de pagar 1, 16. x , siendo x el VP. • Valga lo que valga el artículo, la expresión algebraica la podemos utilizar siempre. • Si llamamos P al precio final, queda: • P = 1, 16. x , que es lo que llamamos FÓRMULA. 11

Utilidad del álgebra: Ejemplo_2 • • • Sea un rectángulo. Llamamos b a lo que mide el lado de la base. Llamamos h a lo que mide el lado de la altura. • • El perímetro de un rectángulo es: 2. b+2. h El área de un rectángulo es: b. h • Aunque tengamos millones de rectángulos distintos, la expresión algebraica la podemos emplear siempre, con independencia de lo que midan sus lados. • • Si empleamos: P = 2. b+2. h A = b. h Entonces las expresiones se convierten en FÓRMULAS. 12

Utilidad del álgebra: Ejemplo_3 • • • La nota media de dos exámenes más la nota por su actitud en clase es la nota de la evaluación de un alumno: Llamamos x a la nota de un examen. Llamamos y a la nota del otro examen. Llamamos z a la nota de clase. Cualquiera que sean las notas de los exámenes y el alumno en cuestión, la nota de evaluación será siempre: x+y ------- + z 2 Si llamamos N a la nota de la evaluación, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula: x+y N = ---- + z 2 13

Utilidad del álgebra: Ejemplo_4 • • Al reparar un ordenador a domicilio, un técnico cobra 30 € por salida y 10 € cada media hora de trabajo. Llamamos x a las horas que ha estado reparando el ordenador. • Nos cobrará al final: • 30 + 2. x. 10 • Si llamamos P al precio final, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula: • P = 30 + 20. x • Nota: Hay que tener en cuenta que falta el IVA, y además se puede complicar la expresión si cambia alguna pieza. 14

Suma de monomios • La suma ( o diferencia ) de dos monomios semejantes es otro monomio, que tiene como coeficiente la suma ( o diferencia ) de coeficientes y como parte literal la misma que la de los sumandos. • Si los monomios no son semejantes, el resultado es un POLINOMIO • EJEMPLOS • 4. x 3 + 7. x 3 - 5. x 3 = ( 4 + 7 – 5 ). x 3 = 6. x 3 • 4. x 3 + a. x 3 - x 3 = ( 4 + a – 1 ). x 3 = ( 3 + a ). x 3 Monomio • 4. x 3 + 7. x 3 - 5. x 2 = ( 4 + 7). x 3 - 5. x 2 = 11. x 3 - 5. x 2 Monomio Polinomio 15

• EJEMPLOS • 4. x 3 + 5. x 3 = (4+5). x 3 = 9. x 3 • 3. x 2 – 5. x 2 = (3 – 5). x 2 = – 2. x 2 • 2. x 4 – 7. x 4 + 8. x 4 = (2 – 7 + 8). x 4 = 3. x 4 • 7. x 3 + a. x 3 = (7 + a). x 3 • 5. x 2 + a. x 2 + x 2 = (5+a+1). x 2 = (6+a). x 2 • Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios semejantes es siempre un monomio, aunque su coeficiente sea mixto. 16

• EJEMPLOS • 4. x 3 + 5. x = 4. x 3 + 5. x • 3. x 2 – 5. x 2 + 4. x = (3 – 5). x 2 + 4. x = – 2. x 2 + 4. x • 2. x 4 – 7. x 3 + 8. x 4 = (2 + 8). x 4 – 7. x 3 = 10. x 4 – 7. x 3 • 7. x 3 + a. x 3 + 3. x – 5 = (7 + a). x 3 + 3. x – 5 • 5. x 3 + a. x 2 + x 3 = (5+1). x 3 + a. x 2 = 6. x 3 + a. x 2 • Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios no semejantes es siempre un polinomio. 17

Producto de monomios • El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores. • EJEMPLO • Sea 4. x 3 y 5. x 2 • (4. x 3 ). (5. x 2 ) = 4. 5. x 3+2 = 20. x 5 • EJEMPLO • Sea 7. x 3 y 5. a. x 3 • (7. x 3 ). (5. a. x 3 ) = 7. 5. a. x 3+3 = 35. a. x 6 18

PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO • El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. • EJEMPLO • Sea el monomio 4. x 3 y P(x) = 5. x 4 + 4. x 3 - 2. x • (4. x 3). P(x) = ( 4. x 3 ). (5. x 4 + 4. x 3 - 2. x ) = • = ( 4. x 3 ). (5. x 4 ) + ( 4. x 3 ). (4. x 3 ) + ( 4. x 3 ). ( - 2. x ) = • = 20. x 7 + 16. x 6 - 8. x 4 19

• OTRO EJEMPLO • Sea el monomio 4. x. y P(x) = 5. y. x 2 + 4. y 2. x – 2. x. y + 3 • (4. x. y). P(x) = ( 4. x. y). (5. y. x 2 + 4. y 2. x – 2. x. y + 3 ) = • = (4. x. y). (5. y. x 2 ) + (4. x. y). ( 4. y 2. x ) + (4. x. y). (– 2. x. y ) + (4. x. y). (3) = • = 20. x 3. y 2 + 16. x 2. y 3 - 8. x 2. y 2 + 12. x. y • UN EJEMPLO MÁS • Sea el monomio 4. a. x P(x) = 5. a. x 2 + 4. a 2. x • (4. a. x). P(x) = ( 4. a. x). (5. a. x 2 + 4. a 2. x) = • = (4. a. x). (5. a. x 2 ) + (4. a. x). ( 4. a 2. x ) = 20. a 2. x 3 + 16. a 3. x 2 20

División de monomios • La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y divisor. • EJEMPLO • Sea 20. x 5 y 5. x 2 • (20. x 5 ) : (5. x 2 ) = (20/5). x 5 – 2 = 4. x 3 • EJEMPLO • Sea 2. x 3 y 5. x • (2. x 3 ) : (5. x ) = (2/5). x 3 – 1 = 0, 4. x 2 21

COCIENTE DE MONOMIOS • El cociente de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de los monomios factores. • EJEMPLO • Sea 4. x 3 y 5. x 2 • (4. x 3 ) / (5. x 2 ) = (4/5). x 3 – 2 = 0, 8. x • EJEMPLO • Sea 14. x 5 y 7. a. x 3 • (14. x 5 )/ (7. a. x 3 ) = (14/7. a). x 5 – 3 = (2/a). x 2 22

Potencia de monomios • La potencia de un monomio es otro monomio, que tiene como coeficiente la potencia del coeficiente de la base, como variable la misma y grado el producto de las potencias. • EJEMPLO 1 • Sea (4. x 3)2 • (4. x 3)2 = (4)2. (x 3)2 = 16. x 3. 2 = 16. x 6 • EJEMPLO 2 • Sea [ 3. ( x 5) 2 ] 3 • [ 3. ( x 5) 2 ] 3 = 33. ( x 5 x 2) 3 = 33. x 5 x 2 x 3 = 27. x 30 23

• EJEMPLO 3 • Sea [(1/2 ). x 2 ]3 • (1/2)3. (x 2 )3 = (1/8). x 2. 3 = (1/8). x 6 • EJEMPLO 4 • Sea (2. x 4 )5 • (2)5. (x 4)5 = 32. x 4. 5 = 32. x 20 • EJEMPLO 5 • Sea (2. x 3. y)4 • (2)4. (x 3)4. y 4 = 16. x 3. 4. y 4 = 16. x 12. y 4 24

POLINOMIO • Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios. • Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO, • Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE. • EJEMPLOS • P(x) = 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x • P(x) = - 7. x + 5 • P(x, y) = x 3 + 7. y 2 - 5. x. y

GRADO DE UN POLINOMIO • Es el mayor grado de los monomios que lo forman. • EJEMPLOS • • P(x) = 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x Grado de P(x) = 3 • Q(x) = - 7. x + 5 Grado de Q(x) = 1 • R(x, y) = x 3. y + 7. y 2 - 5. x. y Grado de R(x, y) = 3 respecto x

TIPOS DE POLINOMIOS • • REDUCIDOS Tiene sumados los términos semejantes NO REDUCIDOS Contiene dos o más términos semejantes. • • COMPLETOS Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero. INCOMPLETOS Falta algún término de grado menor que el del polinomio. • • ORDENADOS Sus términos están ordenados por el grado de la variable. NO ORDENADOS Sus términos están desordenados según el grado de los mismos. • Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.

EJEMPLOS DE TIPOS DE POLINOMIOS • REDUCIDOS • P(x) = 20. x 3 + 31. x 2 + 4. x – 6 • NO REDUCIDOS • P(x) = 2. x 3 + 7. x - 31. x 2 + 4. x – 6 • COMPLETOS • P(x) = x 3 + 3. x 2 + 4. x – 6 • INCOMPLETOS • P(x) = 3. x 3 + 4. x – 6 Falta término en x 2 • ORDENADOS • P(x) = x 3 - 3. x 2 – 6 Ordenado de forma decreciente. • NO ORDENADOS • P(x) = 7. x - 3. x 3 + 6. x 2 – 6

Aclaración previa a la forma de operar • Los que tengan dificultad en sumar o multiplicar polinomios pueden hacer: • P(x) = 5. x 4 + 4. x 3 - 2. x • Q(x) = 3. x 3 + 5. x - 3 • P(x) + Q(x) = 5. x 4 + 7. x 3 + 3. x – 3 • • Pero es recomendable hacerlo así: (5. x 4 + 4. x 3 - 2. x) + (3. x 3 + 5. x - 3) = 5. x 4 + 4. x 3 - 2. x + 3. x 3 + 5. x - 3 = = 5. x 4 + 7. x 3 + 3. x – 3

SUMA DE POLINOMIOS • La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes. • La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES. • EJEMPLO • Sea P(x) = 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x y Q(x) = 7. x 3 + 5. x 2 - 3 • P(x) + Q(x) = ( 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x ) + (7. x 3 + 5. x 2 – 3 ) = • = 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x + 7. x 3 + 5. x 2 - 3 = • = 11. x 3 + 12. x 2 - 5. x - 3

DIFERENCIA DE POLINOMIOS • Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto al sustraendo. • Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo. • EJEMPLO • Sea P(x) = 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x y Q(x) = 7. x 3 + 5. x 2 - 3 • P(x) - Q(x) = ( 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x ) - (7. x 3 + 5. x 2 – 3 ) = • = 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x - 7. x 3 - 5. x 2 + 3 = • = - 3. x 3 + 2. x 2 - 5. x + 3

PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO • El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. • EJEMPLO • Sea el monomio 4. x 3 y P(x) = 5. x 4 + 4. x 3 - 2. x • (4. x 3). P(x) = ( 4. x 3 ). (5. x 4 + 4. x 3 - 2. x ) = • = ( 4. x 3 ). (5. x 4 ) + ( 4. x 3 ). (4. x 3 ) + ( 4. x 3 ). ( - 2. x ) = • = 20. x 7 + 16. x 6 - 8. x 4

• OTRO EJEMPLO • Sea el monomio 4. x. y P(x) = 5. y. x 2 + 4. y 2. x – 2. x. y + 3 • (4. x. y). P(x) = ( 4. x. y). (5. y. x 2 + 4. y 2. x – 2. x. y + 3 ) = • = (4. x. y). (5. y. x 2 ) + (4. x. y). ( 4. y 2. x ) + (4. x. y). (– 2. x. y ) + (4. x. y). (3) = • = 20. x 3. y 2 + 16. x 2. y 3 - 8. x. y + 12. x. y • UN EJEMPLO MÁS • Sea el monomio 4. a. x P(x) = 5. a. x 2 + 4. a 2. x • (4. a. x). P(x) = ( 4. a. x). (5. a. x 2 + 4. a 2. x) = • = (4. a. x). (5. a. x 2 ) + (4. a. x). ( 4. a 2. x ) = 20. a 2. x 3 + 16. a 2. x 2

PRODUCTO DE POLINOMIOS • El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes. • EJEMPLO • Sea P(x) = 4. x + 3 y Q(x) = 5. x 2 + 4. x – 2 • P(x). Q(x) = ( 4. x + 3 ). ( 5. x 2 + 4. x – 2 ) = • = ( 4. x ). (5. x 2 + 4. x – 2 ) + (3). ( 5. x 2 + 4. x – 2 ) = • = (20. x 3 + 16. x 2 – 8. x) + ( 15. x 2 + 12. x – 6 ) = • = 20. x 3 + 16. x 2 – 8. x + 15. x 2 + 12. x – 6 = • = 20. x 3 + 31. x 2 + 4. x – 6

Aclaración previa a la forma de operar • Los que tengan dificultad en multiplicar polinomios pueden hacer: • P(x) = 5. x 4 + 4. x 3 - 2. x • Q(x) = 3. x 3 + 5. x • 25. x 5 + 20. x 4 – 10. x 2 • 15. x 7 + 12. x 6 – 6. x 4 • 15. x 7 + 12. x 6 + 25. x 5 + 14. x 4 - 10. x 2 • Clave: Columnas de términos semejantes

• Nota al PRODUCTO DE POLINOMIOS • El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene. • Veamos algunos ejemplos: • • • (4. x). (5. x 2 + 4. x ) (4. x - 2). (5. x 2 + 4. x ). (x 2 + 4. x - 3) (5. x 2 + 4. x + 7). (x 2 + 4. x - 3) (x 2 + 4. x ). (x 3 + x 2 + x - 3) (x 2 + 4. x - 5). (x 3 + x 2 + x - 3) 1. 2 = 2 términos 2. 2 = 4 términos 2. 3 = 6 términos 3. 3 = 9 términos 2. 4 = 8 términos 3. 4 = 12 términos • Sabiendo esto no omitiremos ningún producto parcial. • Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable. 36

DIVISIÓN DE POLINOMIOS • Las reglas operativas son : • 1. ‑ Reducir dividendo y divisor. • 2. ‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente. • 3. ‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos. • 4. ‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir. • 5. ‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. • 6. - Comprobar el resultado.

Algoritmo de la división • Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. • Lo que da es el primer término del cociente. • Se multiplica el primer término del cociente hallado por el todo el divisor. • Lo que da hay que restárselo al dividendo. • Obtenemos así un nuevo dividendo. • Y se repiten las operaciones para conseguir los restantes términos del cociente.

Ejemplo de división de polinomios • Sea P(x) = x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 • y Q(x) = x 2 + 5 • Hallemos P(x) : Q(x) • 1. - Están ya ambos reducidos. • 2. - Están ya ambos ordenados decrecientemente. • 3. - Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos. • 4. - Aplicamos el algoritmo para dividir:

• x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 • x 2 + 5 x • Pues x 3 : x 2 = x • x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 • - x 3 - 5. x x 2 + 5 x • Pues se multiplica x. (x 2 +5) • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.

• x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 x 2 + 5 • - x 3 - 5. x x • 4. x 2 - 7. x + 5 • Se repite las operaciones: • x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 • - x 3 - 5. x • 4. x 2 - 7. x + 5 • - 4. x 2 - 20 • - 7. x - 15 x 2 + 5 x+4

• x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 x 2 + 5 • - x 3 - 5. x x+4 • 4. x 2 - 7. x + 5 • - 4. x 2 - 20 • - 7. x - 15 • 5. - Como el resto ( -7. x – 15) es de grado menor que el divisor (x 2 + 5) se habrá terminado la división. • C(x) = x+4 y R(x) = - 7. x – 15 • 6. - Se comprueba que D(x) = d(x). C(x)+R(x)