MATEMTICAS I EXPRESIONES ALGEBRAICAS En una expresin algebraica

MATEMÁTICAS I

EXPRESIONES ALGEBRAICAS En una expresión algebraica intervienen números y letras relacionados mediante las operaciones: SUMA RESTA + – MULTIPLICACIÓN x Son expresiones algebraicas: NO son expresiones algebraicas: DIVISIÓN POTENCIA RAÍZ □ⁿ

EXPRESIONES ALGEBRAICAS MONOMIOS Un monomio es una expresión algebraica en la que las variables sólo están relacionadas mediante las operaciones de multiplicación y potencia de exponente natural Ejemplo: Parte numérica (coeficiente) Parte literal (variables) Grado del monomio. Suma de los exponentes de las variables: 2 13 2+1 +3 =6 ¡Ojo! Las variables no pueden estar en el denominador o tener exponente negativo. Otros ejemplos de monomios: NO son monomios:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS MONOMIOS SEMEJANTES Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal y cada variable tiene idéntico exponente. Son semejantes: NO son semejantes: Sólo se pueden sumar (restar) monomios semejantes:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS OTRAS OPERACIONES CON MONOMIOS (3· 7)·(x 3·x 2)·(y·y)·(z 2·z 3) = 21 x 5 y 2 z 5 x 3· 4 x 3 y = 2· 1 5 x 2 y 4 = z 2 4 x 6 y = 2 x 6 y 2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Un polinomio es una suma de varios monomios. Trabajaremos esencialmente con una sola variable. Ejemplos: x– 1 3 x 2 – 5 x + 7 grado 1 grado 2 2 x 3 + x 2 – 4 x + 2 grado 3 El grado de un polinomio es el mayor grado de sus monomios. ¡Cuidado cuando el polinomio esté desordenado! ¿Grado de 3 – x 2 + x 5 + 7 x 3 – 2 x – 3 x 4? ¡O cuando haya operaciones indicadas! ¿Grado de (x – 1)(x + 1) + 3 – x 2 ?

EXPRESIONES ALGEBRAICAS OPERACIONES CON POLINOMIOS SUMA DE POLINOMIOS: Se suman los monomios equivalentes. P(x) = 3 x 2 – x + 1 Q(x) = x 3 – 5 x 2 – 2 x + 6 P(x) + Q(x) = 3 x 2 – x + 1 + x 3 – 5 x 2 – 2 x + 6 = x 3 – 2 x 2 – 3 x + 7 3 x 2 – x + 1 x 3 – 5 x 2 – 2 x + 6 x 3 2 x 2 3 x + 7 P(x) – Q(x) = 3 x 2 – x + 1 – (x 3 – 5 x 2 – 2 x + 6) = – x 3 + 8 x 2 + x – 5

EXPRESIONES ALGEBRAICAS OPERACIONES CON POLINOMIOS MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS: Se aplica la propiedad distributiva. P(x) · Q(x) = (3 x 2 – x + 1) · (x 3 – 5 x 2 – 2 x + 6) = = 3 x 2 · (x 3 – 5 x 2 – 2 x + 6) – x · (x 3 – 5 x 2 – 2 x + + 1 · (x 3 – 5 x 2 – 2 x + 6) = 6) 2 3 2 2 2 = 3 x · x – 3 x · 5 x – 3 x · 2 x + 3 x 2 · 6 – x · x 3 – x · (– 5 x 2) – x · (– 2 x) – x · 6 + x 3 – 5 x 2 – 2 x + 6 = = 3 x 5 – 15 x 4 – 6 x 3 + 18 x 2 – x 4 + 5 x 3 + 2 x 2 – 6 x + x 3 – 5 x 2 – 2 x + 6 = (Reducimos términos semejantes) P(x) · Q(x) = 3 x 5 – 16 x 4 + 15 x 2 – 8 x + 6

EXPRESIONES ALGEBRAICAS OPERACIONES CON POLINOMIOS DIVISIÓN DE POLINOMIOS: Primero se ordenan y completan los polinomios dividendo y divisor. Después se considera cada monomio como las cifras en los números y se aplica el algoritmo de la división de números enteros. P(x) = x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 + 6 x + 5 Q(x) = x 2 + x + 1 1 x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 + 6 x + 5 1 x 2 + x + 1 1 x 2 + 3 x ( x 4 + x 3 + x 2 ) + 4 3 x 3 + 7 x 2 + 6 x (3 x 3 + 3 x 2 + 3 x ) 4 x 2 + 3 x + 5 ( 4 x 2 + 4 x + 4 ) x + 1 RESTO Orden de la división: SIGNOS-COEFICIENTES-VARIABLES COCIENTE: x 2 + 3 x + 4 x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 + 6 x + 5 = (x 2 + x + 1)·(x 2 + 3 x + 4) – x + 1 x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 + 6 x + 5 x 2 + x + 1 = x 2 + 3 x + 4 + x + 1 x 2 + x + 1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS REGLA DE RUFFINI : Sirve para abreviar la división en el caso en que el divisor es un binomio de la forma x – a. Ejemplo: P(x) : Q(x) donde P(x) = x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 x + 5 Q(x) = x + 3 ¡Ojo! Q(x) = x + 3 = x – ( 3) a = 3 Escribimos en una línea sólo los coeficientes de P(x): 4 8 1 + + + va el valor 3 3 de ‘a’ 15 Aquí 3 1 1 5 16 1 5 + 48 53 RESTO Estos son. Agregamos los coeficientes el “cajetín” del cociente, de la división que sabemos que tiene que tener grado una unidad inferior al dividendo Por tanto: COCIENTE = C(x) = x 3 + x 2 + 5 x – 16 x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 – x + 5 = (x 3 + x 2 + 5 x – 16)·(x + 3) + 53 x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 – x + 5 x+3 = x 3 + x 2 + 5 x – 16 + 53 x+3

EXPRESIONES ALGEBRAICAS VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Dado un polinomio P(x), se llama valor numérico del polinomio para x = a, y lo indicamos P(a), al valor que se obtiene de sustituir x por a. Ejemplo: Sea P(x) = x 3 – 3 x 2 + 5 x – 7 P(0) = 03 – 3· 02 + 5· 0 – 7 = – 7 P(2) = 23 – 3· 22 + 5· 2 – 7 = 8 – 12 + 10 – 7 = – 1 Se dice que a es una raíz de P(x), si P(a) = 0. Es equivalente a decir que a es una solución de la ecuación P(x) = 0. Ejemplo: P(x) = x 3 + 4 x 2 + 5 x + 6 P(– 3) = (– 3)3 + 4· (– 3)2 + 5· (– 3) + 6 = – 27 + 36 – 15 + 6 = 0 – 3 es una raíz de P(x) – 3 es una solución de x 3 + 4 x 2 + 5 x + 6 = 0

EXPRESIONES ALGEBRAICAS TEOREMA DEL RESTO : El valor numérico del polinomio P(x) para x = a coincide con el resto de la división de P(x) entre x – a. En efecto, supongamos que P(x) = (x – a)· C(x) + R Sustituimos x por a: P(a) = (a – a)·C(a) + R = 0·C(a) + R = R P(a) = R En ocasiones, aplicar el teorema del resto resulta bastante cómodo para calcular el valor numérico de un polinomio: P(x) = x 6 – 3 x 5 – 3 x 4 – 5 x 3 + 2 x 2 + 8 x + 1 ¿P(7)? P(7) = 76 – 3· 75 – 3· 74 – 5· 73 + 2· 72 + 8· 7 + 1 = ··· 1 – 3 1 7 4 7 – 3 – 5 2 8 1 28 175 1190 8344 58464 25 170 1192 8352 58465 Luego P(7) = 58465

EXPRESIONES ALGEBRAICAS TEOREMA DE RUFFINI: P(x) es divisible por x – a P(a) = 0 ( ) P(x) es divisible por x – a P(x) = (x – a)· C(x) Donde C(x) es el cociente de dividir P(x) entre (x – a) [Resto 0] Por tanto: P(a) = (a – a)·C(a) = 0 P(a) = 0 ( ) Recíprocamente, dividimos P(x) entre (x – a): P(x) = (x – a)·C(x) + R. Si P(a) = 0, entonces (a – a)·C(a) + R = 0 Por tanto P(x) es divisible por (x – a) TEOREMA DE LAS RAÍCES RACIONALES Sea P(x) = an xn + an– 1 xn– 1 p + ··· + a 1 x + a 0, y – q Donde los coeficientes ai, p, q una raíz de P(x) y p y q son primos entre sí [mcd (p, q) = 1]. Entonces p es divisor de a 0 y q es divisor de an.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio P(x) es expresarlo como producto de otros de grado inferior irreducibles. Ejemplo: Factorizar P(x) = x 6 + 6 x 5 + 9 x 4 – x 2 – 6 x – 9 Buscamos raíces enteras del polinomio. Sabemos que han de ser números enteros divisores del término independiente: 9. Son posibles raíces: ± 1, ± 3 y ± 9. Ensayamos, por Ruffini, cada uno de estos valores. 1 6 9 0 – 1 – 6 – 1 1 – 1 5 – 5 4 – 4 4 3 – 9 – 3 – 9 9 0 la misma raíz 4 – 1 Seguimos – 1 probando – 4 0 – 7 P(x) = (x + 1)(x 5 + 5 x 4 + 4 x 3 – 4 x 2 + 3 x – 9) 1 4 0 – 4 7 – 16 Resto – 1 es raíz. – 1 NO es raíz múltiple. Seguimos probando con el siguiente valor ‘candidato’ a raíz.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejemplo: Factorizar P(x) = x 6 + 6 x 5 + 9 x 4 – x 2 – 6 x – 9 1 5 4 – 4 3 – 9 6 10 10 6 6 9 1 1 6 9 0 1 Resto [2] 1 es raíz. la misma 1 Seguimos 1 probando 7 17 3 raíz 23 4 P(x) = (x + 1)(x – 1)(x + 6 x + 10 x 2 + 6 x + 9) 1 7 17 23 32 Resto 1 NO es raíz múltiple. Seguimos probando con el siguiente valor ‘candidato’ a raíz. 1 6 10 6 9 1 – 2 2 4 8 16 – 8 26 2 52 – 4 58 2 116 – 4 125 5 – 2 2 Resto – 22 NO es raíz. Seguimos probando con el siguiente valor ‘candidato’ a raíz: 2 Seguimos probando con el siguiente valor ‘candidato’ a raíz: – 3

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejemplo: Factorizar P(x) = x 6 + 6 x 5 + 9 x 4 – x 2 – 6 x – 9 1 6 10 6 9 1 – 3 3 – 9 0 – 3 Resto [3] – 3 es raíz. Seguimos la – 3 misma – 3 P(x) =– 3 (x + probando 1)(x – 0 1)(x + 3)(x 3 raíz + 3 x 2 + x + 3) 1 0 Resto – 3 es raíz doble. P(x) = (x + 1)(x – 1)(x + 3)2(x 2 + 1) Observamos que el factor x 2 + 1 no es factorizable (no existe un valor real cuyo cuadrado sea negativo). Así pues, la factorización se ha completado. La factorización de polinomios nos va a permitir: Ø Resolver ecuaciones de grado superior a 2. Ø Operar con expresiones algebraicas racionales.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONES ALGEBRAICAS: Las operaciones básicas con fracciones algebraicas siguen las mismas reglas que las operaciones con fracciones numéricas. Ejemplo: Como los denominadores son distintos, calculamos el m. c. m. para hallar un denominador común. Los denominadores x – 2 y x son ya irreducibles (grado 1) x 2 – 5 x + 6 = (x – 2)(x – 3) m. c. m. = x(x – 2)(x – 3)