MATEMTICAS I EL NMERO REAL NMERO NATURAL Tal

MATEMÁTICAS I

EL NÚMERO REAL NÚMERO NATURAL Tal vez la primera actividad humana relacionada con el número fuera el recuento: Contar animales, contar piedras, … Para la operación de contar, bastan los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, …. . El conjunto de los números naturales se representa así: Se caracteriza porque tiene un primer elemento: 1 Y, dado cualquier número natural, siempre podemos conocer el siguiente. (Peano) Pueden utilizarse distintos sistemas de numeración para expresar los números naturales: binario, decimal, hexadecimal, … AXIOMAS DE PEANO 1. El 0 es un número natural. 2. Todo número natural n tiene un sucesor n’. 3. El 0 no es un sucesor. 4. Si n’ = m’ entonces n = m. 5. Principio de Inducción Matemática. Si un conjunto S cumple: a) 0 está es S b) Siempre que n está en S n’ también está, entonces S contiene a todos los números naturales.

EL NÚMERO REAL NÚMERO NATURAL: OPERACIONES SUMA. PROPIEDADES 1) Cerrada: n , m n+m 2) Asociativa: n + m + p = n + (m + p) = (n + m) + p 3) Conmutativa: n + m = m + n Si ampliamos el conjunto de los números naturales añadiendo un nuevo elemento: 0, tendremos además el elemento neutro de la suma: n + 0 = 0 + n = 0, n PRODUCTO. PROPIEDADES 1) Cerrada: n , m n m 2) Asociativa: n m p = n (m p) = (n m) p 3) Conmutativa: n m = m n 4) Distributiva: n (m + p) = n m + n p 5) Elemento neutro: 1 n = n 1 = n

EL NÚMERO REAL NÚMERO NATURAL: CONJUNTO ORDENADO En el conjunto de los números naturales podemos afirmar que, n, m, p 1) n ≤ n (Propiedad REFLEXIVA) 2) n ≤ m m ≤ n n = m (Propiedad ANTISIMÉTRICA) 3) n ≤ m m ≤ p n ≤ p (Propiedad TRANSITIVA) Además, n, m : : n<m m<n n=m Por todo ello, decimos que el conjunto de los números naturales es un conjunto TOTALMENTE ORDENADO. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Dibujamos una semirrecta: 0 1 2 3 4 ··· ··· Asignamos al primer punto el primer número natural (puede ser el 0 o el 1) Elegimos un segmento unidad y vamos trasladando cada punto manteniendo las distancias y asignando los sucesivos números naturales.

EL NÚMERO REAL NÚMERO NATURAL: NECESIDAD DE AMPLIACIÓN ¿UNA NUEVA OPERACIÓN? RESTA O SUSTRACCIÓN Si n ≤ m, m – n Ej. : 3 ≤ 8; 8 – 3 = 5 Pero ¿ 3 – 8 = ? Para dar respuesta a esta situación se ‘crean’ los números negativos, anteponiendo a cada número natural el signo ‘–’: {… … – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … …} De esta manera se forma el conjunto de los números ENTEROS, que se representa: = {… … – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … …}

EL NÚMERO REAL NÚMERO ENTERO: OPERACIONES SUMA. PROPIEDADES 1) Cerrada: n , m n+m 2) Asociativa: n + m + p = n + (m + p) = (n + m) + p, m, n, p 3) Elemento neutro: n + 0 = 0 + n = n, n 4) Elemento simétrico: n + (–n) = (–n) + n = 0, n 5) Conmutativa: n + m = m + m, n PRODUCTO. PROPIEDADES 1) Cerrada: n , m n m 2) Asociativa: n m p = n (m p) = (n m) p, m, n, p 3) Elemento neutro: n 1 = 1 n = n, n 4) Conmutativa: n m = m n, m, n 5) Distributiva: n (m + p) = n m + n p, m, n, p

EL NÚMERO REAL NÚMERO ENTERO: REPRESENTACIÓN GRÁFICA El conjunto de los números enteros es, también, un conjunto totalmente ordenado Para representar gráficamente los números enteros dibujamos una recta: ··· ···− 4 − 3 − 2 − 1 0 +1 +2 +3 +4 ··· ··· Elegimos un punto arbitrario y le asignamos el número 0 Elegimos un segmento unidad y vamos trasladando cada punto manteniendo las distancias y asignando los sucesivos enteros positivos. Repetimos la misma operación pero en el sentido contrario para los números negativos.

EL NÚMERO REAL NÚMERO ENTERO: NECESIDAD DE AMPLIACIÓN ¿UNA NUEVA OPERACIÓN? DIVISIÓN Dados n, m , ¿podemos encontrar p / n = m p? En caso afirmativo decimos que p = n/m o bien p = n m. Ejemplo: 2 = 8 4, porque 8 = 2 4 Pero ¿ 8 3 = ? Para dar respuesta a esta situación se ‘crean’ las FRACCIONES: { Decimos que dos fracciones y / p, q } son equivalentes si a d = b c El conjunto de todas las fracciones equivalentes representan un mismo número RACIONAL. Ejemplo: El conjunto de los NÚMEROS RACIONALES se representa por

EL NÚMERO REAL NÚMERO RACIONAL: OPERACIONES SUMA. PROPIEDADES 1) Cerrada: p , q p+q 2) Asociativa: p + q + r = p + (q + r) = (p + q) + r, p, q, r 3) Elemento neutro: p + 0 = 0 + p = p, p 4) Elemento simétrico: p + (–p) = (–p) + p = 0, p 5) Conmutativa: p + q = p + q, p, q PRODUCTO. PROPIEDADES 1) Cerrada: p , q p q 2) Asociativa: p q r = p (q r) = (p q) r, p, q, r 3) Elemento neutro: p 1 = 1 p = p, p 4) Elemento simétrico (inverso): p , q 5) Conmutativa: p q = q p, q 6) Distributiva: p (q + r) = p q + p r, p, q, r /p q=q p=1

EL NÚMERO REAL NÚMERO RACIONAL: REPRESENTACIÓN GRÁFICA Nos ayudaremos de la expresión fraccionaria y del teorema de Tales Veamos un ejemplo: Por tanto, representaremos, a partir del 1, la fracción Trazamos un segmento auxiliar oblicuo con origen en 1 0 1 2 Elegimos un segmento unidad y dibujamos sobre el anterior, sucesivamente, cinco. Dibujamos un sistema de paralelas para dividir el segmento [1, 2] en cinco partes iguales según el teorema de Tales. Tomamos la segunda división, desde la izquierda para obtener

EL NÚMERO REAL NÚMERO RACIONAL: REPRESENTACIÓN DECIMAL Cada número racional puede ser representado en forma decimal efectuando la división indicada que expresa cualquiera de las fracciones equivalentes asociadas. Podemos hacer la siguiente clasificación: EXACTO: La división indicada es exacta. PERIÓDICO PURO: El cociente de la división indicada tiene una parte decimal formada por un conjunto de dígitos que se repite sucesivamente: PERIÓDICO MIXTO: El cociente de la división indicada tiene una parte decimal formada por un conjunto de dígitos que se repite a la derecha de otro conjunto de dígitos inmediato a la coma: OBSERVACIÓN: Los números exactos los podemos considerar también periódicos mixtos con parte periódica 0

EL NÚMERO REAL NÚMERO RACIONAL: REPRESENTACIÓN DECIMAL Podemos encontrar la fracción equivalente a cada expresión decimal en los distintos casos descritos anteriormente. EXACTO: PERIÓDICO PURO: N = 1, 757575… 100 N = 175, 7575… 100 N – N = 99 N = 174 N = REGLA: Parte entera, seguida de parte periódica, menos parte entera, dividido por tantos nueves como dígitos tenga la parte periódica. PERIÓDICO MIXTO: N = 3, 4171717… 10 N = 34, 171717… 1000 N = 3417, 1717… 1000 N – 10 N = 990 N = 3383 N= REGLA: Parte entera, seguida de parte NO periódica, seguida de parte periódica menos parte entera, seguida de parte NO periódica, dividido por tantos nueves como dígitos tenga la parte periódica seguidos de tantos ceros como dígitos tenga la parte NO periódica.

EL NÚMERO REAL NÚMERO RACIONAL: NECESIDAD DE AMPLIACIÓN Consideremos un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 u. x 1 Aplicamos el teorema de Pitágoras: x 2 = 12 + 12 x = Por tanto, es evidente, el número es una magnitud que existe. 1 Veamos que no existe ninguna fracción que pueda expresar la magnitud Por reducción al absurdo, supongamos que: 2 q 2 = p 2 es par p es par Por otra parte, si p es par, se puede expresar: p = 2 k 2 q 2 = p 2 = (2 k)2 = 4 k 2 Simplificando: q 2 = 2 k 2 q 2 es par q es par Entonces, si tanto p como q son pares, la fracción Esto quiere decir que no sería irreducible no es un número fraccionario, y por tanto, no es racional

EL NÚMERO REAL NÚMERO IRRACIONAL Hemos comprobado que existen números que no pueden ser expresados mediante fracciones, es decir que no son racionales. A estos números se les llama IRRACIONALES. Ejemplos: Un número irracional tiene infinitas cifras decimales, y no tiene periodicidad. Por tanto, al igual que los periódicos, no puede expresarse de manera exacta en forma decimal. Representaremos el conjunto de los números irracionales mediante:

EL NÚMERO REAL NÚMERO IRRACIONAL: REPRESENTACIÓN GRÁFICA Hemos visto como podemos representar, sobre una recta los números naturales, los enteros y los racionales. También los irracionales tienen cabida en esta recta. Veamos algún ejemplo: Nos basaremos en el teorema de Pitágoras. Buscamos un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mida el número queremos representar y los catetos tengan una medida cuya representación en la recta conozcamos. En nuestro caso: 5 = 4 + 1 = 22 + 12, es decir, buscamos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 2 y 1. 1 0 1 2

EL NÚMERO REAL Los números reales llenan la recta: RECTA REAL

EL NÚMERO REAL APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES En muchas ocasiones no es posible, o no es necesario, expresar de manera exacta un número real. En ese caso, utilizaremos aproximaciones. Dados números reales α y β, con α < β, decimos que α es una aproximación por defecto de β. O que β es una aproximación por exceso de α. Llamamos ERROR ABSOLUTO de la aproximación a ε = | β – α| Llamamos ERROR RELATIVO al cociente entre el error absoluto y el valor exacto Muchas veces no es posible conocer el valor exacto, por lo que del error (absoluto o relativo) sólo podemos dar una cota. Una aproximación se puede hacer por TRUNCAMIENTO (siempre por defecto), o por REDONDEO.

EL NÚMERO REAL APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES Es un número irracional (infinitas cifras, no periódico) Aproximación a las centésimas (dos cifras decimales): Por truncamiento: cortamos a partir de la tercera cifra decimal 2, 23 Error absoluto: |2, 23606… – 2, 23| = 0, 00606… < 0, 01 Error relativo: 0, 00606…/2, 23606… < 0, 007/2, 23 = 0, 00313… < 0, 01 (1%) Por redondeo: si la siguiente cifra es <5 cortamos a partir de la tercera cifra decimal, y si es ≥ 5, se suma 1 a la última cifra considerada 2, 24 Error absoluto: |2, 24 – 2, 23606…| = 0, 00394… < 0, 01 Error relativo: 0, 00394… /2, 23606… < 0, 004/2, 23 = 0, 00179… < 0, 01 (1%) En este caso, la aproximación por redondeo es por exceso ya que 2, 24 >

EL NÚMERO REAL APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES Es un número irracional (infinitas cifras, no periódico) Aproximación a las diezmilésimas (cuatro cifras decimales): Por truncamiento: cortamos a partir de la quinta cifra decimal 3, 1415 Error absoluto: |3, 14159… – 3, 1415| = 0, 00009… < 0, 0001 Error relativo: 0, 00009…/π < 0, 0001/3, 1416 = 0, 000031… < 0, 0001 (0, 01%) Por redondeo: si la siguiente cifra es <5 truncamos; y si es ≥ 5, se suma 1 a la última cifra considerada 3, 1416 Error absoluto: |3, 1416 – 3, 14159…| = 0, 00001… < 0, 0001 Error relativo: 0, 00001… /π < 0, 0001/3, 1416 = 0, 000031… < 0, 0001 (0, 01%) En este caso, la aproximación por redondeo es por exceso ya que 3, 1416 > π

EL NÚMERO REAL APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES Es un número racional (infinitas cifras, periódico) Aproximación a las milésimas (tres cifras decimales): Por truncamiento: cortamos a partir de la cuarta cifra decimal 0, 714 Error absoluto: |0, 714285… – 0, 714| = 0, 000285… < 0, 001 Error relativo: 0, 000285…/0, 714285…< 0, 0003/0, 715 = 0, 0004… < 0, 001 (0, 1%) Por redondeo: si la siguiente cifra es <5 truncamos; y si es ≥ 5, se suma 1 a la última cifra considerada 0, 714 En este caso, la aproximación por redondeo es igual que por truncamiento, y por tanto, en ambos casos, por defecto que 0, 714 < 5/7

EL NÚMERO REAL INTERVALOS. INTERVALO ABIERTO: (a, b) = {x Ejemplo: (0, 3) -4 -3 -2 / a < x < b} -1 INTERVALO CERRADO: [a, b] = {x Ejemplo: [-1, 2] -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 / a ≤ x ≤ b} -1 0 1 INTERVALO SEMIABIERTO (SEMICERRADO): (a, b] = {x Ejemplo: (-2, 4] -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 INTERVALO SEMIABIERTO (SEMICERRADO): [a, b) = {x Ejemplo: [-3, 2) -4 -3 -2 -1 INTERVALOS INFINITOS: [a, +∞) = {x Ejemplo: [-3, +∞) -4 -3 -2 -1 0 1 / a ≤ x} 0 1 2 3 / a < x ≤ b} 4 / a ≤ x < b} 4 (–∞, b] = {x 2 3 5 4 5 / x ≤ b} 5

EL NÚMERO REAL ENTORNOS. ENTORNO ABIERTO de centro a y radio r: Er(a) = {x / a – r < x < a + r} Es decir Er(a) = (a – r, a + r) Ejemplo: E 2(0) = (– 2, 2) -4 -3 -2 -1 1 0 ENTORNO CERRADO de centro a y radio r: Ēr(a) = {x 2 3 4 5 / a – r ≤ x ≤ a + r} Es decir Ēr(a) = [a – r, a + r] Ejemplo: Ē 1, 5(0, 5) = [– 1, 2] -4 -3 -2 -1 1 0 ENTORNO REDUCIDO de centro a y radio r: Ėr(a) = {x 2 3 4 5 / a – r < x < a + r} − {a} Es decir Ėr(a) = (a – r, a) (a, a + r) Ejemplo: Ė 3(1) = (− 2, 1) (1, 4) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

EL NÚMERO REAL VALOR ABSOLUTO. a Ejemplos: |3| = 3 |– 1, 7| = –(– 1, 7) = 1, 7 PROPIEDADES |a| ≥ 0 a |a| = |–a| a |a·b| = |a|·|b| a, b |a + b| ≤ |a| + |b| a, b (Desigualdad triangular)

EL NÚMERO REAL POTENCIAS. an = a·a· ··· ·a, , n n factores a PROPIEDADES an·am = a·a· ··· ·a · a·a· ··· ··· ·a = an+m , m factores n factores = an–m , a a , n, m n+m factores , n, m n = m n – m = 0 a 0 = an–n = an/an = 1 a 0 = 1 n = 0 n – m = –m a–m = a 0/am = 1/am a–m = (an)m = an·m , (a·b)n = an·bn , , a , n, m a, b , n

EL NÚMERO REAL RAÍCES. PROPIEDADES ¡Ojo!

EL NÚMERO REAL LOGARITMOS. b = logac ab = c a, b, c PROPIEDADES 1. logac sólo existe si c>0 (puesto que a > 0) 2. logaa = 1 3. loga 1 = 0 4. loga(1/a) = – 1 5. loga(ax) = x x ; a>0

EL NÚMERO REAL LOGARITMOS. OPERACIONES. logax = α x = aα logay = β y = aβ x·y = aα·aβ = aα + β loga(x·y) = α + β loga(x·y) = logax + logay logax = α x = aα logay = β y = aβ x/y = aα/aβ = aα – β loga(x·y) = α – β loga(x/y) = logax – logay logax = α x = aα xy =(aα)y = aαy logaxy = ylogaxy = y·logax

EL NÚMERO REAL LOGARITMOS. CAMBIO DE BASE. α = logax aα = x logb(aα) = logbx α·logba = logbx logax·logba = logbx

EL NÚMERO REAL LOGARITMOS DECIMALES (Bürgi). Si la base del logaritmo es 10, no hace falta explicitarla: log 10 x = logx Parece conveniente utilizar una base 10 en un sistema de numeración decimal: log 1 = 0 log 10 = 1 log 100 = 2 log 1000 = 3 ··· Pero, para números que no son potencias de 10, no hay ventaja especial: log 2 = 0, 301030… log 3 = 0, 477121… logπ = 0, 497149… LOGARITMOS NEPERIANOS (Napier). La construcción de tablas de logaritmos se facilita tomando como base el número e. En este caso, los logaritmos se denominan neperianos: logex = lnx = Lx Aunque, a los efecto de uso de logaritmos neperianos no es necesario, recordemos que e = 2, 71828459045… L 2 = 0, 693147… L 3 = 1, 098612… Lπ = 1, 144729…