Matemticas Avanzadas para Ingeniera Objetivo general Proporcionar los

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Objetivo general: üProporcionar los conocimientos fundamentales • Algebra Lineal • Variable Compleja • Transformadas Integrales • Fourier • Laplace y • Zeta que dan las bases sólidas que más tarde le permita abordar problemas para distintas áreas de la Computación e Ingeniería tales como Control Digital, Teoría de Control, Telemática. Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 1

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Algebra Lineal Variable Compleja Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 2

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Robótica Video juegos La teoría cualitativa y cuantitativa de de ecuaciones diferenciales Astronomía y programación lineal Los conceptos y métodos del álgebra lineal han contribuido decisivamente al desarrollo de muchas áreas del conocimiento de la Matemática, entre las que podemos mencionar : La teoría económica. Teoría de redes La teoría de códigos y Criptografía Algebra Lineal Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 3

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Saber descifrar códigos el cálculo de la órbita de un asteroide como saber la distribución de cosecha Problemas tan amplios como: Encontrar la estabilidad estructural de un edificio en ingeniería civil Definir el presupuesto de un país Algebra Lineal Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 4

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería No es exagerado afirmar que sus ideas y resultados aparecen en casi todo desarrollo humano. Modernamente, las matrices, como los polinomios o las series de potencias formales, bien pueden considerarse como arreglos de datos de algún tipo dado (Sylvester), donde el algebra que se establezca sobre éstas determina la manera en que éstos datos pueden combinarse para generar nueva información (Cayley). La formulación de un problema concreto en términos del algebra lineal ha sido, y sin duda lo seguirá siendo, uno de los métodos más efectivos para hallar su solución. Herramientas tales como el determinante, las formas canónicas y las transformaciones lineales, entre muchas otras, contribuyen decisivamente a facilitar esta labor. Algebra Lineal Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 5

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Un ejemplo concreto de una tal situación ha llegado hasta nuestros días en una de las famosas tablillas de Croquetta, que datan del último período sumerio hacia el año 2100 a. C. , es el siguiente problema: Existen dos campos cuyas áreas suman 1800 yardas cuadradas. Uno produce granos en razón de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras que el otro produce granos en razón de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si la producción total es de 1100 sacos, ¿cuál es el tamaño de cada campo? " Algebra Lineal Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 6

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería El álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, tal como señalamos, y más recientemente, con los sistemas de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. En ambos contextos subyacen los importantes conceptos de vector y espacio vectorial. A finales del siglo XVII fueron redescubiertas y desarrolladas las ideas originales de los babilonios, y principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal. Y tiene su auge con el desarrollo de las computadoras a finales de lo s años 50 del siglo XX. Algebra Lineal Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 7

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Historia del Análisis Complejo http: //es. wikipedia. org/wiki/Variable_co mpleja Resultados Otros Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 8

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Resultados Las herramientas matemáticas como la transformada de Laplace, la transformada de Fourier y la transformada z , permiten pasar funciones del dominio del tiempo a otros dominios donde las operaciones matemáticas resultan más simples En varias áreas de la ingeniería Se utiliza variable compleja para el análisis y diseño de sistemas por ejemplo: Señales Teoría de control Óptica – laser Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 9

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Resultados Por ejemplo : 1. Las transformada s de Laplace, y de Fourier permiten transformar Ecuaciones diferenciales lineales en Ecuaciones algebraicas , una vez que se han resuelto en el dominio correspondiente se encuentra la solución de las ecuaciones originales aplicando la transformada inversa. 2. En resolución de integrales en variable real para predecir magnitudes en contextos ingenieriles, de arte y de diseño. En esos dominios se utilizan variables complejas y es conveniente estar familiarizado conceptos básicos Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 10

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Resultados En esos dominios se utilizan variables complejas y es conveniente estar familiarizado conceptos básicos como los son : Números complejos, conceptos generales de funciones de variable compleja, funciones analíticas y series de potencias integración en el plano complejo. Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 11

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería El análisis complejo es la rama de las matemáticas que en parte investiga las funciones holomorfas, también llamadas funciones analíticas. Una función es holomorfa en una región abierta del plano complejo si está definida en esta región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de esta región abierta con derivadas continuas. Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 12

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería El que una función compleja, sea diferenciable en el sentido complejo tiene consecuencias mucho más fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales. En particular, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, un hecho que es marcadamente diferente de lo que ocurre en las funciones reales diferenciables. La mayoría de las funciones elementales como lo son, por ejemplo, algunos polinomios, la función exponencial y las funciones trigonométricas, son holomorfas. Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 13

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Otros Transformaciones conformes Gráfico de la función f(z)=(z 2 -1)(z-2 -i)2 / (z 2+2+2 i). La coloración representa el argumento de la función, mientras que el brillo representa el módulo. http: //www. ima. umn. edu/~arnold/comple x-maps/index. html Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 14

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Transformada de Fourier http: //www. falstad. com/fourier/ Transformada de Laplace Transformada Z http: //www. falstad. com/mathphysics. html Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 15

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería La mayoría de las señales se distorsionan cuando pasan a través de un dispositivo lineal e invariante en el tiempo, y la única señal que no sufre distorsión es una señal sinusoidal pura. Un ejemplo de una señal periódica y sus componentes de frecuencia. Las primeras componentes de frecuencia son: Sumando las primeras 3 componentes de frecuencia de la señal periódica. Sumando las primeras 40 componentes de frecuencia de la señal periódica. Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 16

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Una señal sinusoidal pura no cambia su forma pero si cambian: – Su amplitud. – Su fase. • En general, el cambio en la amplitud y en la fase dependen: – del sistema. – de la frecuencia de la señal sinusoidal. Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 17

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Para entender las causas que originan esta distorsión es necesario analizar el contenido de frecuencias de las señales utilizadas en ingeniería, el análisis de Fourier permite conocer el contenido de frecuencias de las señales y entender las razones para las cuales existe distorsión lineal. Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 18

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Las funciones periódicas son ampliamente utilizadas en los sistemas de comunicación y su contenido de frecuencias se puede estudiar mediante las series de Fourier. Para el caso de funciones no periódicas la herramienta que se utiliza es la transformada de Fourier la cual es una extensión a las series de Fourier para poder analizar el contenido de frecuencias de este tipo de señales. Espectro de Fourier de una abertura circular Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 19

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Las vibraciones en una membrana o un tambor o las oscilaciones inducidas en una cuerda de guitarra o violín son explicadas por una ecuación diferencial parcial llamada ecuación de onda. Esta situaciones junto condiciones iniciales y de frontera constituyen información para encontrar la solución única de la ecuación parcial. Pues bien la solución es una suma infinita de funciones seno, una forma de expresión de series de Fourier. Las imágenes obtenidas por los investigadores revelan que las membranas de los glóbulos rojos pierden flexibilidad, lo cual acaba conduciendo a la aglomeración de las células, cuando éstas tratan de navegar por los diminutos vasos sanguíneos. Asimismo, se evidencia la destrucción de la hemoglobina, la molécula fundamental que los glóbulos rojos usan para el transporte de oxígeno Imágenes en 3 D de un glóbulo rojo invadido por el parásito de la malaria. (Foto: Yong. Keun Park, Michael Feld y Subra Suresh) Transformadas Integrales http: //www. falstad. com/me mbrane/ Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 20

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería La transformada de Laplace posee propiedades que facilitan la solución de Ecuaciones Dierenciales Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 21

Sistemas Mecánicos y eléctricos Ley de Newton Ley de Kircchof Transformadas Integrales

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería f(t) Fuerza de entrada x(t) m k Desplazamiento, del b salida sistema Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Suspensión de un automóvil Función de transferencia Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 24

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería MODELACIÓN MATEMÁTICA Circuito eléctrico Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería La transformada Z posee propiedades que facilitan la solución de ecuaciones en diferencias Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 26

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería La Transformada Zeta (TZ) es un modelo matemático que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales Digitales, como son el diseño y análisis de Circuitos Digitales, los Sistemas de Radar o Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras. La TZ es un ejemplo más de Transformadas Integrales Señales en Tiempo Discreto Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 27

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Señales en Tiempo Discreto La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales. Señales en Tiempo Discreto Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 28

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo. Señales en Tiempo Discreto Transformadas Integrales Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 29

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería “ La mejor manera de predecir el futuro es inventarlo” Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 30