Matemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Jos Enrique

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales José Enrique Rodríguez Hernández Departamento de Economía Aplicada y Métodos Cuantitativos Universidad de La Laguna http: //creativecommons. org/licenses/by/4. 0

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Tema 5. Ecuaciones y Sistema de Ecuaciones José Enrique Rodríguez Hernández

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Tema 5. Ecuaciones y Sistema de Ecuaciones 1. Ecuaciones: 1. 1. Ecuaciones de primer Grado 1. 2. Ecuaciones de segundo grado 2. Sistema de Ecuaciones José Enrique Rodríguez Hernández

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 1. Ecuaciones Definición: Una ecuación constituye una igualdad entre dos expresiones algebraicas donde figuran valores conocidos (o datos) y valores desconocidos (llamados incógnitas) que se pretende hallar, y que suelen estar representados por letras. El grado de una ecuación lo determina el mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas Ecuación de grado 3 Ecuación de grado 4 José Enrique Rodríguez Hernández

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 1. 1. Ecuaciones de primer grado Son de la forma: ax + b =0 con a≠ 0 La solución viene dada por : Forma de resolver la ecuación: Pasar todos los términos que llevan x a un miembro y los demás al otro. Por ejemplo, si en la siguiente ecuación de primer orden: colocamos en el primer miembro los términos en x , nos quedamos con 5 x + 2 x = 3 -5 7 x = -2 entonces: La solución viene dada por : José Enrique Rodríguez Hernández

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 1. 1. Ecuaciones de primer grado Son de la forma: ax + b =0 con a≠ 0 La solución viene dada por : Forma de resolver la ecuación: Pasar todos los términos que llevan x a un miembro y los demás al otro. Por ejemplo, si en la siguiente ecuación de primer orden: colocamos en el primer miembro los términos en x , nos quedamos con 5 x + 2 x = 3 -5 7 x = -2 entonces: La solución viene dada por : José Enrique Rodríguez Hernández Nota: si un término está sumando pasa al otro lado restando; si está restando pasa al otro lado sumando. Si esta multiplicando pasa al otro dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando al otro miembro.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 1. 2. Ecuaciones de segundo grado Son de la forma: ax 2 + bx +c=0 con a≠ 0 Las dos soluciones son: La ecuación tendrá soluciones reales si: b≥ 4 ac José Enrique Rodríguez Hernández

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Ecuaciones de segundo grado incompleta: Ø Si c=0 la ecuación es: ax 2 + bx =0 Formas de resolver esta ecuación: 1. Sacar factor común a x se obtiene: x(ax + b) =0 2. Aplicar la fórmula de ecuaciones de segundo grado: José Enrique Rodríguez Hernández x=0 ax+b=0 x=-b/a

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Ecuaciones de segundo grado incompleta: Ø Si c=0 la ecuación es: ax 2 + bx =0 Formas de resolver esta ecuación: 1. Sacar factor común a x se obtiene: x(ax + b) =0 2. Aplicar la fórmula de ecuaciones de segundo grado: Ejemplo: 4 x 2+3 x=0 1. x(4 x + 3) =0 José Enrique Rodríguez Hernández x 1 =0 4 x+3=0 x 2 =-3/4 x=0 ax+b=0 x=-b/a

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Ecuaciones de segundo grado incompleta: Ø Si b=0 la ecuación es: ax 2 + c =0 Formas de resolver esta ecuación: 1. ax 2 = -c 2. Aplicar la fórmula de ecuaciones de segundo grado: Ejemplo: 2 x 2 -5=0 José Enrique Rodríguez Hernández

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2. Sistema de Ecuaciones Lineales Definición: Ejemplos: Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con varias variables (incógnitas). x + y + z = 7 2 x + y - z = 1 x + y - z = -1 Sistema formado por 3 ecuaciones y 3 variables (x, y, z) Sistema formado por 2 ecuaciones y 2 variables (x, y) x + y = 2 2 x + y = 1 Sistema formado por 1 ecuación y 3 variables (x, y, z) x + y + z = 7 José Enrique Rodríguez Hernández

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2. Sistema de Ecuaciones Lineales Clasificación: Un sistema de ecuaciones lineales puede clasificarse según las soluciones en: Sistema compatible determinado Sistema Compatible (Tiene solución) (tiene una única solución) Sistema compatible indeterminado (tiene múltiples soluciones) Sistema Incompatible José Enrique Rodríguez Hernández (No tiene solución)

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2. Sistema de Ecuaciones Lineales Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar el valor de las variables (incógnitas) que verifican todas las ecuaciones a la vez. Ejemplos: x + y + z = 7 2 x + y - z = 1 x + y - z = -1 La solución del sistema es: x=2; y=1; z=4 (única solución) x + y = 2 2 x + y = 1 La solución del sistema es: x=-1; y=3 (única solución) -1+3=2 2 (-1)+3=1 x + y + z = 7 La solución del sistema es : x= 7 – y – z (existen múltiples soluciones) Si sustituimos estos valores en cada una de las ecuaciones vemos que se verifica la igualdad: 2+1+4=7 2 2+1 -4=1 2+1 -4=-1 En este sistema hay menos ecuaciones que variables. Por tanto, el valor de la x dependerá de los valores de z e y. Por ejemplo, si z=2 e y=0 entonces x=5 x + y = 2 2 x + y = 1 José Enrique Rodríguez Hernández Este sistema no tiene solución. No hay ningún valor de x e y que verifique estas dos ecuaciones a la vez.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2. Sistema de Ecuaciones Lineales Formas de Resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 variables: Ejemplo: x + y = 2 2 x + y = 1 2. 1. Método de sustitución : Consiste en despejar una de las variables en una ecuación y sustituir su valor en la otra ecuación. Por ejemplo, despejamos la x en la 1ª ecuación y la sustituimos en la 2ª ecuación: x + y = 2 2 x + y = 1 x= 2 - y x= 2 – 3 = -1 2 (2 -y) + y =1 y= 3 Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas (y) se sustituye en (x=2 -y) para encontrar el valor de la otra incógnita. José Enrique Rodríguez Hernández Comprobación. Se debe verificar las dos ecuaciones para los valores calculados de x e y: -1+3=2 2 (-1)+3=1

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2. Sistema de Ecuaciones Lineales Formas de Resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 variables: Ejemplo: x + y = 2 2 x + y = 1 2. 2. Método de igualación : Consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones y se igualan los resultados. Por ejemplo, despejamos la y en la 1ª y 2ª ecuación: y= 2 - x y= 1 - 2 x 2 (-1) + y =1 y= 3 José Enrique Rodríguez Hernández 2 - x = 1 - 2 x x= 1 -2 = -1 x + y = 2 2 x + y = 1 Ahora se sustituye este valor en una de las dos ecuaciones y obtenemos el valor de la otra variable.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 2. Sistema de Ecuaciones Lineales Formas de Resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 variables: Ejemplo: x + y = 2 2 x + y = 1 2. 3. Método de reducción : Consiste en multiplicar las ecuaciones por el número que más convenga para posteriormente sumar las ecuaciones resultantes y obtener directamente el valor de una de las variables. Por ejemplo, multiplicamos la 1ª ecuación por -1 y le sumamos la 2ª ecuación. De esta forma sólo nos queda la variable x: -x-y=-2 2 x+y=1 x=-1 José Enrique Rodríguez Hernández -1 +y =2 y= 2+1 = 3 x + y = 2 2 x + y = 1 Ahora se sustituye este valor en una de las dos ecuaciones y obtenemos el valor de la otra variable.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales José Enrique Rodríguez Hernández