MATEMTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1º BTO A Colegio Ntra. Sra. del Buen Consejo (Agustinas) 12/03/2021 Juan Antonio Romano Largo

TEMA 12: Probabilidad. Combinatoria: Variaciones. Permutaciones. Combinaciones. Definiciones: Espacio muestral. Sucesos. Operaciones con sucesos. Probabilidad. Definición de Laplace. Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. Probabilidad compuesta. Probabilidad total y teorema de Bayes. 12/03/2021 Juan Antonio Romano Largo

Combinatoria. Es la parte de las matemáticas que se ocupa de contar los diferentes casos o posibilidades cuando se trata de combinar elementos de un conjunto. Dado un conjunto de n elementos, queremos elegir m elementos de ese conjunto. ¿Cómo lo podemos seleccionar? Influye el orden NO influye el orden NO todos los elementos Todos los elementos SIN repetición Variaciones ordinarias Permutaciones Combinaciones ordinarias CON repetición Variaciones con repetición Permutaciones con repetición Combinaciones con repetición

Variaciones sin repetición: De un conjunto de m elementos tomamos n, sin que los elementos se puedan repetir e importando el orden. Vm, n = m (m - 1) (m - 2) (m - 3) …………. . (m - n + 1) Ejemplo: Queremos entregar tres premios a nueve relatos finalistas de un concurso. ¿De cuántas formas lo podemos hacer? V 9, 3 = 9· 8· 7 = 504 Variaciones con repetición: De un conjunto de m elementos tomamos n, VRm, n = mn pudiéndose repetir los elementos e importando el orden. Ejemplo: Se lanza una moneda 3 veces. ¿Cuántos posibles resultados hay? VR 2, 3 = 23 = 8 12/03/2021 Juan Antonio Romano Largo

Permutaciones sin repetición: De un conjunto de n elementos, los tomamos todos, sin que los elementos se puedan repetir e importando el orden. Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) …………. . 3· 2· 1) Ejemplo: Sorteamos el orden en el que 6 alumnos harán un examen oral. P 6 = 6! = 6· 5· 4· 3· 2· 1 = 720 Combinaciones sin repetición: De un conjunto de m elementos tomamos n, sin que puedan repetirse los elementos y sin importar el orden. Ejemplo: Cuántas formas hay de elegir tres asignaturas entre Latín, Griego, Matemáticas y Economía. 12/03/2021 Juan Antonio Romano Largo

Definiciones. Experimento aleatorio: Aquel cuyo resultado no puede predecirse de antemano. Por ejemplo: lanzar un dado, una moneda, extraer una carta de una baraja o un bola de un saco. Espacio muestral (E): Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. • 1 • 4 • 5 • 2 • 3 • 6 Ejemplo de "tirar un dado": E = {1, 2, 3, 4, 5 , 6} Ejemplo de "tirar una moneda": E = {C, X} Ejemplo de "tirar una moneda y un dado": E = {C 1, X 1, C 2, X 2, C 3, X 3, C 4, X 4, C 5, X 5, C 6, X 6} • C • X • C 1 • X 1 • C 5 • C 6 • C 3 • X 2 • X 4 • X 6 • X 3 • C 2 12/03/2021 Juan Antonio Romano Largo • X 5 • C 4

Suceso elemental: Cualquier subconjunto del espacio muestral formado por un solo elemento. EJ sacar un 2 al lanzar un dado = {2} Suceso compuesto: Cualquier subconjunto del espacio muestral formado por varios elementos. EJ sacar un número menor que 3 = {1, 2} Suceso seguro E: Es el que siempre se verifica y por tanto coincide con el espacio muestral. EJ sacar un número menor que 7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso imposible Ø: Es el que nunca se verifica y por tanto coincide con el conjunto vacio. EJ sacar un número mayor que 11 = Ø Suceso contrario A’: Es el que se verifica cuando no se cumple A. EJ A = sacar número par = {2, 4, 6} A’ = sacar número impar = {1, 3, 5} 12/03/2021 Juan Antonio Romano Largo

Operaciones con sucesos. Espacio muestral asociado al fenómeno aleatorio "tirar un dado": E = {1, 2, 3, 4, 5 , 6} Unión de sucesos: Dados • A = {2, 3 , 4} • B = {4, 5, 6} } } • B = {4, 5, 6} 12/03/2021 } • 4 • 3 • 5 • 6 • 1 A B = {4} Diferencia de sucesos: Dados • A = {2, 3 , 4} • 2 A B = {2, 3, 4, 5, 6} Intersección de sucesos: Dados • A = {2, 3 , 4} y • B = {4, 5, 6} • 1 A - B = {2, 3} Juan Antonio Romano Largo • 2 • 3 • 4 • 5 • 6

Probabilidad. Definición de Laplace. Si los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de un suceso se puede calcular dividiendo el número de casos favorables entre el número de casos posibles. Propiedades: Sucesos incompatibles: 12/03/2021 Juan Antonio Romano Largo

Probabilidad condicionada. Se trata de calcular la probabilidad de un suceso, pero teniendo en cuenta que ya tenemos información sobre el resultado del experimento aleatorio. Se lanza un dado normal y sale número impar. ¿Qué probabilidad hay de que el número obtenido sea un 3 o un 4? B = "Obtener número impar" = {1, 3, 5} A = {3, 4} A/B = {3}, considerando como espacio muestral a B p(A/B) = 12/03/2021 1 3 = p(A B) p(B) Juan Antonio Romano Largo E B • 1 • 6 • 5 • 2 • 3 • 4 A

Independencia de sucesos. A y B son independientes si y solo si: • p(A/B) = p(A) • p(B/A) = p(B) • p(A B) = p(A) · p(B) La realización de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro. A y B son dependientes si y solo si: • p(A/B) p(A) • p(B/A) p(B) • p(A B) p(A) · p(B) La realización de uno de ellos sí modifica la probabilidad del otro. 12/03/2021 Juan Antonio Romano Largo

Probabilidad compuesta. Se extraen 3 bolas de una urna que contiene 5 bolas blancas (B) y 4 negras (N). ¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 bolas blancas si hay devolución? 5/9 B B 4/9 N Urna 4/9 5/9 N 4/9 12/03/2021 B N Juan Antonio Romano Largo 5/9 B 4/9 N

Se extraen 3 bolas de una urna que contiene 5 bolas blancas (B) y 4 negras (N). ¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 bolas blancas si no hay devolución? 4/8 5/9 B B 4/8 N Urna 4/9 5/8 N 3/8 12/03/2021 B N Juan Antonio Romano Largo 3/7 B 4/7 N 4/7 B 3/7 N 5/7 B 2/7 N

Probabilidad total. Sean A 1, A 2, … An un conjunto completo de sucesos, es decir, sucesos incompatibles entre sí y cuya unión es todo el espacio muestral, entonces la probabilidad de cualquier suceso se puede calcular como: B A 1 A 2 B A 2 A 3 B A 3 . . . An E Teorema de Bayes. 12/03/2021 Juan Antonio Romano Largo B A 1 B An