Matemtica para Negcios Plano de Ensino Teoria dos

Matemática para Negócios Plano de Ensino Teoria dos Conjuntos

Plano de Ensino Objetivo Geral Proporcionar ao aluno os fundamentos teóricos para resolver casos e situações práticas, utilizando conhecimentos de cálculo matemático e financeiro, e as condições adequadas de informações necessárias aos processos de planejamento, controle e tomada de decisão. 2

Plano de Ensino Objetivos Específicos • Entender as principais regras e fundamentos da matemática básica; • Compreender os conceitos matemáticos para o cálculo das funções custo, receita, lucro e ponto de equilíbrio na análise das atividades operacionais da empresa; • Elaborar modelos econômicos da demanda, oferta e ponto de equilíbrio de mercado; 3

Plano de Ensino Objetivos Específicos • Tornar mais ampla a aplicação dos conhecimentos gerais de cálculos em negociação de operações industriais, comerciais e bancárias; 4

Conteúdo (resumo) Teoria dos Conjuntos Noções de Potenciação e Radiciação Intervalos Numéricos Equações e inequações Razão Proporção Grandezas proporcionais Porcentagem Funções (primeiro e segundo graus) e aplicações Limites e derivadas 5

Plano de Ensino Bibliografia SILVA, Luiza Maria Oliveira da; MACHADO, Maria Augusta Soares. Matemática Aplicada à Administração, economia e contabilidade - Funções de uma e mais variáveis. São Paulo: Cengage, 2011. GOLDSTEIN, Larry Joel; LAY, David C. ; SCHNEIDER, David I. Matemática Aplicada: economia, administração e contabilidade. São Paulo: Bookman, 2006. HARIKI, S. Matemática Aplicada: Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. LEITHOLD, L. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra, 2001. 6

Conjuntos: Exemplo Introdutório Uma pesquisa de mercado foi realizada com 450 consumidores para que indicassem o consumo de um ou mais de três produtos selecionados, A, B e C. Alguns dos resultados obtidos são apresentados a seguir: • 40 consomem os três produtos; • 60 consomem os produtos A e B; • 100 consomem os produtos B e C; • 120 consomem os produtos A e C; • 240 consomem o produto A; • 150 consomem o produto B. 7

Considerando que há 50 pessoas que responderam que não consomem nenhum dos três produtos, responda: a) Quantas consomem somente o produto C? b) Quantas consomem pelo menos dois produtos? c) Quantas consomem o produto A e o produto B e não consomem o produto C? a) x = 450 - 50 – 30 - 100 – 20 – 60 – 80 – 40 x = 70 pessoas b) 20 + 80 + 40 + 60 = 200 pessoas c) 20 pessoas 8

100 450 20 30 40 80 60 X 50 X = 450 - 50 – 30 - 100 – 20 – 60 – 80 – 40 = 70 9

Conjuntos Conjunto: coleção ou totalidade dos elementos (conceito primitivo). Representação: através de letras maiúsculas do nosso alfabeto. Exemplo: A: conjunto das disciplinas obrigatórias de um curso de graduação A = {Comunicação e Expressão, Matemática para Negócios, Economia, . . . } 10

Conjuntos • 11

Relações de pertinência e de continência Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e}, B = {c, d, e} e C = {d, e, f } • a A (o elemento a pertence ao conjunto A) • a B (o elemento a não pertence ao conjunto B) • A B (o conjunto A contém o conjunto B) • B A (o conjunto B está contido em A) • C A (o conjunto C não está contido em A) • A C (o conjunto A não contém C) 12

Representação por diagrama A C a d c b f e Diagramas de Venn 13

Conjunto vazio e conjunto universo Conjunto vazio: não possui nenhum elemento. Exemplo: A = {x | x é um número ímpar múltiplo de 4} A = { } ou A = Conjunto universo (U): contém todos os elementos que possam vir a participar dos conjuntos envolvidos no problema considerado. 14

Conjuntos disjuntos e igualdade de conjuntos Conjuntos disjuntos: que não possuem nenhum elemento em comum. Exemplo: A = {x | x é par} e B = {x | x é ímpar} Igualdade de conjuntos: dois conjuntos A e B são iguais se ambos possuem exatamente os mesmos elementos. 15

Operações com conjuntos União ( ) A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. U A B 16

Exemplo: Considere o lançamento de um dado e os conjuntos A e B definidos a seguir. A: “ocorreu valor par” A = {2, 4, 6} B: “ocorreu valor maior que 2” B = {3, 4, 5, 6} A B = {2, 3, 4, 5, 6} A B 3 4 U 2 6 5 1 17

Intersecção ( ) A intersecção de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém os elementos de A que também são elementos de B. A B U 18

Exemplo: Considere o lançamento de um dado e os conjuntos A e B definidos a seguir. A: “ocorreu valor par” A = {2, 4, 6} B: “ocorreu valor maior que 2” B = {3, 4, 5, 6} A B = {4, 6} A B 3 4 U 2 6 5 1 19

Complementar O conjunto complementar de A (denotado por Ac) é o conjunto que contém todos os elementos do conjunto universo U que não pertencem a A. U Ac A 20

Exemplo: Considere o lançamento de um dado e o conjunto A definido a seguir. A: “ocorreu valor par” A = {2, 4, 6} Ac = {1, 3, 5} A U 4 3 2 6 5 1 21

Diferença (–) A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, é um conjunto que contém os elementos de A que não pertencem a B. A B U 22

Exemplo: Considere o lançamento de um dado e os conjuntos A e B definidos a seguir. A: “ocorreu valor par” A = {2, 4, 6} B: “ocorreu valor maior que 2” B = {3, 4, 5, 6} A – B = {2} A B 3 4 U 2 6 5 1 23

Conjunto dos números naturais (N), inteiros (Z) e racionais (Q) • N = {0, 1, 2, 3, . . . } • Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . } • Q = N Z Q

Conjunto dos números irracionais (Q´) Conjunto dos números que não podem ser escritos como frações de dois inteiros. Exemplos: a) número = 3, 1415. . . b) número e = 2, 8182. . . c) raízes quadradas de números primos, tais como,

Conjunto dos números reais (R) R = Q Q´ N Z Q Q´

Atividade (UFF) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente, representados abaixo. Considere a seguinte figura que estes conjuntos formam. 27

Atividade A região hachurada pode ser representada por: a) M (N P) b) M – (N P) c) M (N – P) d) N – (M P) e) N (P M) Resposta: Letra B 28

Matemática para Negócios Intervalos Numéricos Potenciação e Radiciação

Intervalos numéricos Intervalos fechados: [ a , b ] a b Intervalos abertos: ] a , b [ a b 30

Intervalos numéricos Intervalos mistos: [ a , b [ a b ] a , b ] a b 31

Intervalos numéricos Intervalos envolvendo o infinito: [ a , [ a - a ] – , a [ 32

Definição: Potenciação a: base n: expoente Exemplo: a) 23 = 2. 2. 2 = 8 33

b) (– 2)3 = -8 c) (– 2)4 = 16 d) – 24 = 16 e) 05 = 0 f) a 0 = 1 34

Propriedades (I) Exemplos: a) 32 34 = 36 b) x x 5 = x 6 (II) Exemplos: a) 52 b) x 2 35

(III) Exemplos: a) 25 x 2 b) (IV) Exemplos: a) b) 36

(V) Exemplos: a) b) (VI) Exemplos: a) b) 37

(VII) Exemplos: a) b) c) 38

Radiciação a: radicando n: índice da raiz Exemplos: a) 39

b) c) d) Não existe solução 40

Aplicação Um estudo constatou que a quantidade de habitantes de uma determinada região, a partir do ano de 2003, cresce 10% ao ano. Obtenha uma expressão que forneça a quantidade de habitantes em relação ao tempo (em anos a partir de 2003), sabendo que em 2003 a população era de 40000 habitantes. De acordo com esse estudo, qual é a população estimada para o ano de 2010? Resposta: 40000 x 1, 107 = 77. 948, 6840 (aproximadamente 77. 949 pessoas) 41

Matemática para Negócios Equação do 1º Grau

Equação Definição: é uma sentença matemática que exprime uma relação de igualdade e que contém, pelo menos, uma incógnita (representada por uma letra). Incógnita: representa um ou um conjunto de valores desconhecidos. 43

Equação Exemplos: a) b) c) d) e) 44

Princípios aditivo e multiplicativo: aplicação na resolução de equações. Exemplo: Como resolver a equação 3 x + 5 = 11, utilizando tais princípios? © Erengoksel | Dreamstime. com Equação 45

Equação 3 x + 5 = 11 3 x = 11 - 5 x = 6/3 x = 2 © Erengoksel | Dreamstime. com Resolução: 46

Equação do primeiro grau Uma equação do primeiro grau, na incógnita x, é toda equação que pode ser escrita na forma: em que a e b são valores reais, com a ≠ 0. Exemplos: a) b) x + 3 = – 2 x + 7 47

Equação do primeiro grau Solução ou raiz: valor que, atribuído à incógnita, torna a sentença verdadeira. Exemplo: x = 3 é raiz da equação 5 x + 2 = 17. De modo geral: é raiz da equação 48

Questão Resolva as equações: a) 49

b) 50

Atividade O funcionário de uma firma recebe um salário base de R$ 500, 00 sobre o qual é adicionado um valor referente às horas extras trabalhadas no mês. Ele recebe R$ 10, 00 por hora extra. Recebe ainda um adicional de 5% sobre a soma do salário base com o valor referente às horas extras trabalhadas. O desconto previdenciário é de 8% sobre o salário total. Quantas horas extras ele deverá trabalhar num mês para receber R$ 966, 00 de salário (líquido)? (500 + 10 x). 1, 05. (1 - 0, 08) = 966 (500 + 10 x). 0, 966 = 966 483 + 9, 66 x = 966 - 483 x = 483 / 9, 66 x = 50 horas extras 51

Matemática para Negócios Razão e Proporção Porcentagem

Razão entre os valores x e y, nessa ordem, é a divisão . x : antecendente y : consequente Exemplos: a) Porcentagem: 53

b) Densidade demográfica: c) Velocidade: d) Nível de concorrência em um concurso: 54

Aplicação (Enade 2004 - Adaptada) Os países em desenvolvimento fazem grandes esforços para promover a inclusão digital, ou seja, o acesso, por parte de seus cidadãos, às tecnologias da era da informação. Um dos indicadores empregados é o número de hosts, ou seja, número de computadores que estão conectados à Internet. A tabela e o gráfico a seguir mostram a evolução do número de hosts nos três países que lideram o setor na América Latina. 55

Número de hosts 2000 2001 2002 2003 Brasil 446. 444 876. 596 1. 644. 575 2. 237. 527 3. 163. 349 México 404. 873 559. 165 918. 288 1. 107. 795 1. 333. 406 Argentina 142. 470 270. 275 465. 359 495. 920 2004 742. 358 Fonte: Internet Systems Consortium, 2004 56

Número de hosts Fonte: Internet Systems Consortium, 2004 57

Dos três países, os que apresentaram, respectivamente, a maior e a menor razão de crescimento no número de hosts no período 2000 -2004 foram: (A) Brasil e México. (B) Brasil e Argentina. (C) Argentina e México. (D) Argentina e Brasil. (E) México e Argentina. 58

Resolução 2000 2004 Brasil 446. 444 3. 163. 349 México 404. 873 1. 333. 406 Argentina 142. 470 742. 358 Brasil: Maior Crescimento México: Menor Crescimento Argentina: Alternativa correta: A

Proporção Igualdade entre duas razões e : x e w : extremos y e z : meios 60

Propriedades das proporções • Propriedade fundamental Se , então Ex: a) b) 61

Propriedades das proporções • Propriedade das somas dos antecedentes e dos consequentes: Se , então ou Ex: 62

Aplicação Lorena, Rafaela e Júlia formaram uma sociedade e investiram, respectivamente, R$2. 500, 00; R$3. 500, 00 e R$ 4. 000, 00 num fundo de investimentos. Após um ano, a aplicação estava com um saldo de R$ 12. 500, 00. Se as três investidoras resgatarem somente o rendimento e dividirem em partes diretamente proporcionais aos valores investidos, qual deverá ser o valor recebido por cada uma As três investiram R$10. 000, 00 Lorena = 25% Rafaela = 35% e Júlia = 40% Rendimento = Saldo final – investimento inicial = R$ 2. 500, 00 Lorena = 2500. 0, 25 = R$ 625, 00 Rafaela = 2500. 0, 35 = R$ 875, 00 Júlia = 2500. 0, 40 = R$ 1. 000, 00 63

Porcentagem Razão com denominador igual a 100. Exemplo Um corretor de imóveis vende um apartamento por R$ 350. 000, 00. Sua corretagem é de 4%. Quanto ele ganhou? R$ 35. 000, 00. 0, 04 = R$ 14. 000, 00 64

Porcentagem Exemplo Uma calça é vendida por R$ 110, 00. Se o seu preço fosse aumentado em 15%, quanto passaria a custar? R$ 110, 00. 1, 15 = R$ 126, 50 65

Porcentagem Exemplo Uma bolsa que custava R$ 45, 00 passou a custar R$ 54, 00. Qual a taxa percentual de aumento? R$ 45, 00 ------ 100% R$ 54, 00 - R$ 45, 00 ------ x% x = (9. 100) / 45 x = 20% 66

Atividade Num determinado dia, uma revenda de automóveis vendeu dois carros. O primeiro foi vendido por um valor 10% menor que seu preço de mercado. No caso do segundo, o valor obtido com sua venda foi 10% acima do preço de mercado. Se ambos foram vendidos por R$ 9. 900, 00 cada, pode-se afirmar que a revenda teria feito melhor negócio se tivesse vendido ambos pelo preço de mercado? Ou não fez nenhuma diferença? Justifique sua resposta. 1º Carro: 0, 9 x = 9. 900 x = R$ 11. 000, 00 2º Carro: 1, 1 x = 9. 900 x = R$ 9. 000, 00 Se ambos fossem vendidos pelo preço de mercado a loja teria conseguido R$ 20. 000, 00 (melhor opção), ao invés dos R$ 19. 800, 00 alcançados. 67

Matemática para Negócios Função

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Função Definição: Uma relação f : A → B é denominada uma função de A em B (nessa ordem) se a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. ● ● A ● ● ● B 70

Domínio, contradomínio e imagem Exemplo 1: f : A → B dada por – 1 0 1 A 2 B – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 Domínio: D(f) = A Contradomínio: CD(f) = B Imagem: Im(f) = {-3, -1, 1, 3} 71

Exemplos 1) O custo de produção de determinada utilidade pode ser dado em função da quantidade produzida. 2) A quantidade demanda de certo produto tende a variar em função de seu preço. 3) O lucro que uma empresa obtém com um de seus produtos pode ser expresso em função da quantidade vendida e do preço praticado. 72

Função do 1º grau Uma função do 1º grau é toda função f: R R que pode ser escrita na forma: em que a e b são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta. • a > 0 função crescente. • a < 0 função decrescente. 73

Função do 1º grau Coeficiente angular (a): determina a variação que ocorre em y para cada unidade que x aumenta. Intercepto (b): é o ponto de encontro do gráfico da função com o eixo vertical y. 74

Função do 1º grau Exercício: Esboçar os gráficos das funções: a) f(x) = 3 x + 1 para x=0 (0; 1) para x=2 (2; 7) b) f(x) = – 3 x + 1 para x=0 (0; 1) para x=2 (2; -5) 75

y = 3 x + 1 para x=0 (0; 1) para x=2 (2; 7) Função Crescente a>0 76

y = – 3 x + 1 para x=0 (0; 1) para x=2 (2; -5) Função Descrescente a<0 77

Atividade Obtenha a função linear cujo gráfico é uma reta que passa pelos pontos (0, 2) e (3, 8). y = ax + b y = 2 x + 2 2 = a. 0 + b 8 = a. 3 + b b = 2 8 = 3 a + 2 8 - 2 = 3 a 6 = 3 a a = 6/3 a = 2 78

Matemática para Negócios Função Custo

Função Custo É uma função matemática (relação) que associa o custo total de produção de certa utilidade (ou serviço) à sua quantidade produzida. É formada por uma parte fixa, denominada Custo Fixo, que é aquela que independe da quantidade produzida (aluguéis, salários, etc) somada a uma parte variável, denominada Custo Variável, que é aquela que depende da quantidade produzida. 80

Função Custo Como: então, podemos escrever: cvu: custo variável unitário Q: quantidade produzida 81

Exemplo 1: Na produção de certo modelo de pen drive, uma empresa tem custos fixos de R$ 8. 000, 00 e cada unidade produzida ainda gera um custo de R$ 12, 00. Qual é a fórmula que relaciona o custo total de produção desse pen drive com a sua quantidade produzida? 82

Custo Fixo Médio (CFM) Indica a participação do custo fixo em cada unidade produzida. Exemplo 2: Calcular o CFM para o pen drive do exemplo 1 para a quantidades 500. 84

Custo Variável Médio (CVM) Fornece o custo por unidade, sem considerar a participação do custo fixo. Exemplo 3: Calcular o CVM para o pen drive do exemplo 1 para a quantidade 500. 85

Custo Médio (CM) É o valor efetivo do custo por unidade produzida para aquela quantidade. Exemplo 4: Calcular o CM para o pen drive do exemplo 1 para a quantidades 500. ou 86

Aplicação A função custo total para um determinado produto é CT = –Q 2 + 30 Q + 400 para 0 Q 15. Calcule o custo total para a produção de 5, 10 e 15 itens. Item a Item b Item c 87

Atividade O custo fixo de produção de um determinado bem é de R$ 5. 000, 00 com custo unitário de produção de R$ 3, 00 para quantidades produzidas Q 2000. a) b) c) d) Estabeleça uma expressão que forneça o custo total de produção em função da quantidade produzida. Calcule o custo total para a produção de 500, 1500 e 2000 itens. Calcule CFM, CVM e CM para Q = 500 Calcule CFM, CVM e CM para Q = 2000. 88

a) Estabeleça uma expressão que forneça o custo total de produção em função da quantidade produzida. b) Calcule o custo total para a produção de 500, 1500 e 2000 itens. Para 500 itens Para 1500 itens Para 2000 itens 89

c) Calcule CFM, CVM e CM para Q = 500 Para q = 500 unidades: 90

d) Calcule CFM, CVM e CM para Q = 2000 Para q = 2000 unidades: 91

Matemática para Negócios Custo Total e Ponto de Equilíbrio

Função Custo Total (CT) Fornece o custo referente à produção de uma certa quantidade de determinado bem. Custo fixo: independe da quantidade produzida. Por exemplo: aluguel, salários, etc. Custo variável: depende da quantidade produzida. Por exemplo: matéria-prima, mão de obra, etc. 93

Função Receita Total (RT) Determina o valor total recebido (ou a receber) com a venda de uma certa quantidade de bens (ou serviços). 94

Equilíbrio da firma Ponto de equilíbrio de uma empresa CT RT Custo total = Receita total Como determinar funções que representem o custo e a receita? 95

Função Lucro Total (LT) Determina a diferença entre a receita obtida (ou a obter) com a venda de uma certa quantidade de bens (ou serviços) e o custo de produção dos mesmos. 96

Aplicação 1 Uma impressora matricial é vendida por R$ 200, 00 a unidade. O custo fixo é de R$ 1. 600, 00. O custo de produção de cada impressora é de R$ 120, 00. a) Obtenha as funções custo total e receita total para esse produto. b) Determine, algébrica e graficamente, o ponto de equilíbrio (ou de nivelamento). c) Obtenha a função lucro total. d) Determine a quantidade que deve ser produzida e vendida para que o lucro seja de R$ 5. 040, 00. 97

Simbologia: Q: quantidade produzida do produto; CT: custo total; CF: custo fixo; CV: custo variável; RT: receita total; cvu: custo variável unitário; p: preço de venda. 98

a) Na aplicação 1, temos: cuv = 120, 00; p = 200, 00; CF = 1. 600, 00 Portanto: CT = 1. 600, 00 + 120, 00 · Q (CF + CV) e RT = 200, 00 · Q (p. Q) 99

b) Para determinar o ponto de equilíbrio (nivelamento), devemos igualar a função receita total à função custo total. RT = CT 200 · Q = 1. 600 + 120 · Q 200 · Q – 120 · Q = 1. 600 80 · Q = 1. 600 Q = 20 unidades 100

Se Q = 20, então: RT = 200 · 20 = 4. 000 CT = 1. 600 + 120 · 20 = 4. 000 Portanto, o ponto de equilíbrio é (20; 4. 000). 101

Gráfico Ponto de Nivelamento RT CT

c) LT = RT – CT LT = 200 Q – (1. 600 + 120 Q) LT = 200 Q – 1. 600 – 120 Q LT = 80 Q – 1. 600 d) LT = 5. 040 80 Q – 1. 600 = 5. 000 80 Q = 6. 640 Q = 83 103

De forma geral CT = CF + CV , onde CV = cvu. Q CT = CF + cvu. Q RT = p. Q Ponto de equilíbrio (Qe) RT = CT p · Qe = CF + cvu·Qe 104

Aplicação 2: Uma empresa de refrigerantes apresenta custo fixo de R$ 100. 000, custo unitário de R$ 0, 60, e preço de mercado de R$ 2, 00. Sendo assim, monte as funções custo total e receita total e encontre o ponto de equilíbrio (Qe). Custo total: CT = CF + CV = 100000 + 0, 6·Q Receita total: RT = 2·Q Ponto de equilíbrio: 100000 + 0, 6 Q = 2 Q Q = 71428, 57 Aproximadamente 71429 Refrigerantes 105

Valores das Funções Q CF = 100. 000 CV = 0, 6. Q 0 10. 000 20. 000 30. 000 40. 000 50. 000 60. 000 70. 000 80. 000 90. 000 100. 000 0 6. 000 12. 000 18. 000 24. 000 30. 000 36. 000 42. 000 48. 000 54. 000 60. 000 CT = CF + CV RT = 2, 00. Q 100. 000 106. 000 112. 000 118. 000 124. 000 130. 000 136. 000 142. 000 148. 000 154. 000 160. 000 0 20. 000 40. 000 60. 000 80. 000 100. 000 120. 000 140. 000 160. 000 180. 000 200. 000 106

Gráfico

Aplicação 3: Uma indústria de autopeças tem um custo fixo de R$ 15. 000, 00 por mês. Se cada peça produzida tem um custo de R$ 6, 00 e o preço de venda é de R$ 10, 00 por peça, quantas peças a indústria deve produzir para ter um lucro de R$ 30. 000, 00 por mês? Custo total: CT = CF + CV = 15000 + 6·Q Receita total: RT = 10·Q Lucro Total: LT = RT - CT 30000 = 10 Q - (15000 + 6 Q) 10 Q - 6 Q = 30000 + 15000 Q = 45000/4 11. 250 Peças 108

Atividade Uma firma de serviços de fotocópias tem um custo fixo de R$ 800, 00 por mês e custos variáveis de R$ 0, 04 por folha que produz. Expresse a função custo total em relação ao número de páginas (Q) copiadas por mês. Se os consumidores pagam R$ 0, 09 por folha, quantas folhas a firma tem que reproduzir para não ter prejuízo? Custo total: Receita total: CT = CF + CV = 800 + 0, 04·Q RT = 0, 09·Q Ponto de equilíbrio: (CT = RT) 800 + 0, 04. Q = 0, 09. Q 800 = 0, 09. Q – 0, 04. Q 800 = 0, 05. Q Q = 800/0, 05 16000 Folhas 109

Matemática para Negócios Curvas de Demanda Função do 2º Grau

Curvas de demanda A curva de demanda nos mostra o estabelecimento do nível de preço (p) no mercado frente à quantidade (Q) de demanda do produto pela sociedade. fundamental em economia e administração Quanto menor o preço de um determinado bem, maior a quantidade que se deseja comprar. 111

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Função inversa Podemos também expressar a função demanda isolando a variável P. 115

Funções receita e lucro quadráticas (maximização do lucro) A função de demanda estabelece que há variação de preço (em relação à quantidade, ou vice-versa) A função receita deixa de ser linear (pode apresentar também comportamento decrescente) O aumento da produção e venda não implica, necessariamente, em aumento de lucro. 116

Exemplo 1: Encontre a quantidade e o preço ótimos, isto é, aqueles valores que, respectivamente, a empresa deveria produzir e colocar no preço unitário do produto, de forma a maximizar seu lucro, sabendo-se que a empresa apresenta custos fixos de R$ 1. 000, 00 e custo unitário de produção de R$ 4, 00. A empresa conhece a função (curva) demanda de seu produto: P = 120 – Q. Encontre também o lucro máximo. 117

O lucro máximo dependerá da melhor quantidade ou do melhor preço que poderão ser obtidos pelo produto em questão. Onde: • custo total: CT = CF + CV = 1. 000 + 4 Q • receita total: RT = p · Q = (120 – Q) · Q = 120 Q – Q 2 118

L = RT – CT = 120 Q – Q 2 – 1. 000 – 4 Q L = – Q 2 + 116 Q – 1. 000 Vértice: = b 2 – 4 · a · c = (116)2 – 4 · (-1) · (-1. 000) = 13. 456 – 4. 000 = 9. 456 (Qv ; Lv) 119

L = – Q 2 + 116 Q – 1. 000 Vértice: 120

Dada a função lucro calcule Qv e Lv: L = 3 Q 2 - 30 Q + 25 Vértice: = b 2 - 4 · a · c = (-30)2 - 4 · 3 · 25 = 900 - 300 = 600 = b 2 - 4 · a · c (Qv ; Lv) 121

Matemática para Negócios Limites

Limite de uma função Conceito intuitivo O limite de uma função num determinado valor de x, isto é, , é definido como aquele valor que a função assume nas vizinhanças de x 0. 123

Exemplo 1: função contínua função descontínua 124

Limites de funções contínuas Se uma função f(x) é contínua em , então: O valor do limite da função para x tendendo a x 0 é igual ao valor da função quando x é igual a x 0. 125

Exemplo 2: encontrar X Y = f(x) -1 - 4 0 -1 1 2 1, 5 3, 5 1, 6 3, 8 1, 9 4, 7 1, 999 4, 997 1, 99999 4, 99997 X Y = f(x) 4 11 3 8 2, 5 6, 5 2, 2 5, 6 2, 1 5, 3 2, 01 5, 03 2, 001 5, 003 2, 00001 5, 00003 126

Exemplo 3: a) b) c) 127

d) e) 128

Limites de funções descontínuas Se uma função f(x) é descontínua em x = x 0, então para determinar , devemos calcular os valores de f(x) para x se aproximando de x 0 (tanto pela direita quanto pela esquerda). 129

Exemplo 4: encontrar Pela esquerda Pela direita x f(x) -1 1 0 2 1 3 1, 5 3, 5 1, 6 3, 6 1, 9 3, 9 1, 999 3, 999 1, 99999 3, 99999 4 6 3 5 2, 5 4, 5 2, 2 4, 2 2, 1 4, 1 2, 01 4, 01 2, 001 4, 001 2, 00001 4, 00001 130

existe e é igual a 4. 131

Como calcular algebricamente? 132

Atividade Calcule: 133

Matemática para Negócios Derivadas

Derivadas Derivada de uma função é uma outra função que nos mostra o comportamento da função original. Exemplos 5. Física (estudo do movimento) Função posição → sua derivada é a função velocidade. 6. Administração Função custo total → sua derivada é o custo marginal. 135

Elaborado pelo professor Exemplo 1 Considere o instante t = 0 h como o momento em que o móvel está na posição s = 0 km 136

Elaborado pelo professor Exemplo 1 Posição no instante: t = 0 h → s = 0 km t = 3 h → s = 160 km Velocidade média neste intervalo: 137

Posição no instante: t = 0 h → s = 0 km t = 2 h → s = 150 km Velocidade média neste intervalo: Elaborado pelo professor Exemplo 1 138

Elaborado pelo professor Exemplo 1 Posição no instante: t = 0 h → s = 0 km t = 1 h → s = 120 km Velocidade média neste intervalo: 139

Elaborado pelo professor Exemplo 2 A função acima fornece o custo total (CT) referente à produção de Q unidades do produto 140

Elaborado pelo professor Exemplo 2 Para Q = 0 → CT = 1. 000 reais Para Q = 300 → CT = 4. 800 reais Custo médio por unidade: 141

Elaborado pelo professor Exemplo 2 Para Q = 0 → CT = 1. 000 reais Para Q = 200 → CT = 4. 700 reais Custo médio por unidade: 142

Para Q = 0 → CT = 1. 000 reais Para Q = 100 → CT = 4. 000 reais Custo médio por unidade: Elaborado pelo professor Exemplo 2 143

Coeficiente angular O coeficiente angular de uma reta indica a variação ocorrida na variável y para cada aumento de uma unidade que ocorre em x. Exemplo 3: a) y = 5 x + 2 → o valor de y aumenta 5 unidades para cada aumento de uma unidade em x. b) y = – 3 x + 2 → o valor de y decresce 3 unidades para cada aumento de uma unidade em x. 144

Função derivada • A função derivada (y´) de uma função y nos mostra a tendência de variação dessa função y provocada por uma variação muito pequena (infinitesimal) de x (Δx→ 0). Notações: y´ ; f´(x) ; ; Δxy 145

Interpretação gráfica 140 120 100 60 40 20 0 0 2 4 x 6 8 10 Elaborado pelo professor y 80 O valor da derivada em um ponto (x, y) é igual ao do coeficiente angular da reta tangente à função neste ponto. 146

O valor da derivada de uma função y em um ponto (x, y) mostra a tendência de crescimento dessa função no ponto em questão. Se no ponto (x, y) a função for crescente, o valor da derivada será positivo. Se no ponto (x, y) a função for decrescente, o valor da derivada será negativo. 147

Regras elementares de derivação Exemplo 4: a) y = x 8 y´ = 8 x 8 -1 = 8 x 7 b) 148

Exemplo 5: a) y = 3 x 2 y´ = 3 2 x = 6 x b) 149

Exemplo 6: a) y = 10. 040 y´ = 0 b) 150

Exemplo 7: a) b) 151

Derivada do produto de funções Exemplo 8: 152

Derivada do quociente de funções Exemplo 9: 153

Temos: 154

Aplicação Se a demanda de determinado bem é dada pela equação y = 4. 000 – 30 x 2 + x 3 (y é a quantidade demandada e x é o preço), verifique se ela é crescente ou decrescente para os valores de preço x = 2, x = 10 e x = 20. 155

Atividade A função custo total de produção de determinado bem é dada por: para q variando entre 0 e 575 unidades. a) Calcule a taxa de crescimento do custo para as quantidades q = 0, q = 100 e q = 600. b) Qual é a quantidade produzida para a qual a taxa de crescimento do custo se iguala a zero? 156

C(Q) 200, 000 160, 000 120, 000 80, 000 40, 000 0 100 200 300 400 500 600 700 Quantidade (Q) 157