Matemtica II aula 7 Prof Dbora Bastos Antiderivadas

Matemática II aula 7 Profª Débora Bastos

Antiderivadas Todas as operações básicas possuem as chamadas operações inversas: Adição Subtração 3 + 2 = 5 5 2 = 3 Multiplicação Divisão 2 x 3 = 6 6 3 = 2 Potenciação Radiciação 32 = 9 Potenciação Logaritmação 3 2= 9 log 39=2

Antiderivadas Se considerarmos a derivada como um operador sobre as funções, a operação inversa será chamada de antiderivada. Definição 1: Uma função F será chamada de função primitiva ou antiderivada de uma função f, num intervalo I se F’(x)=f(x) para todo x I. Exemplo: Encontre a antiderivada da função f(x)= 4 x 3 F 1(x)=x 4 F 1’(x)=4 x 3 F 2(x)=x 4+1 F 2’(x)=4 x 3 F 3(x)=x 4+200 F 3’(x)=4 x 3

Antiderivada Observação: Se foi informada apenas a função f, a antiderivada não é única, pois qualquer constante acrescentada a derivada será a mesma. Exemplo: Encontre a função primitiva de f(x)=4 x 3: F(x)= x 4 + k, k constante k l. R. Observação: Dizemos que a antiderivada de f é uma família de funções, pois temos infinitas possibilidades para k.

Antiderivadas Exemplo: Encontre a antiderivada F da função real f tal que f(x)= 4 x 3, sabendo que F(1)=3. F(x)= x 4 + k 1+ k =3 K = 2 F(1)= 1 + k F(x)= x 4 + 2

Interpretação Geométrica Exemplo: Encontre a família de funções primitivas da função real tal que f(x)=2 x. F(x)=x 2+k Fixado qualquer valor de x, as retas tangentes a família F em x são paralelas.

Antidiferenciação Definição 2: Antidiferenciação é o processo de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de uma dada função. Notação: Integral Indefinida Função Integrando Sinal de integração Família de antiderivadas Diferencial da variável de integração

Integral Indefinida Observação: A notação da integral indefinida (antidiferenciação), usa o conceito de diferencial (introduzido por Leibniz), pois além de estar de acordo com a definição de antiderivada auxilia em dispositivos práticos para obter a antiderivada. Seja F a função primitiva de f, ou seja, F’(x)=f(x) para todo x D(f). Y=F(x)

Teoremas sobre integrais indefinidas Sendo k uma constante real:

Observação: Para verificar se a integral indefinida foi obtida corretamente, podemos derivar o resultado e verificar se a resposta é o integrando da integral indefinida.

Exemplos: Determine:

Mais fórmulas básicas

Exemplos: