Matemtica II aula 2 Prof Dbora Bastos Recapitulao

Matemática II aula 2 Profª Débora Bastos

Recapitulação Interpretação geométrica da derivada: f’(c) = tg , desde que seja o ângulo da reta tangente à f em x=c. P (c, f(c)) é crítico se f’(c) = 0 ou se f’(c) não existe. Se f é continua e derivável em [a, b] contendo c, então existe máximo absoluto e mínimo absoluto em [a, b] entre os pontos críticos encontrados extremos do intervalo.

Teoremas importantes. Teorema 3 (Teorema do valor médio): Seja f uma função tal que: (i) Seja contínua num intervalo fechado [a, b]; (ii) Seja derivável no intervalo (a, b). Então existirá um número c no intervalo aberto (a, b) tal que: Interpretação geométrica P(a, f(a)), Q(b, f(b)) s R(c, f(c)) t Existe c para que a reta t nesse ponto Tem a mesma inclinação da reta s.

Exemplo Verifique o TVM para f(x) = x-1 , x [2, 3] f é contínua em l. R* contínua em [2, 3] f é derivável em l. R* contínua em [2, 3] f´(x)= x-2 f(2) = ½ f(3) = 1/3

Teorema 4: (Teorema de Rolle) Seja f uma função tal que: (i) Contínua em [a, b] (ii) Derivável em (a, b) (iii) f(a)=f(b)=0 Então existe um número c em (a, b), tal que f’(c) = 0. q Caso particular do TVM: Existe c tal que q O TR afirma que f que satisfaz as condições necessárias possui ao menos um ponto extremo entre as raízes da função (x / f(x) = 0).

O TR garante a existência e não a unicidade. Exemplos: Importante satisfazer as condições do teorema: O gráfico ao lado não é Contínua e não possui ponto de máximo.

Funções Crescentes e Decrescentes. Definição 6: Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para quaisquer x 1, x 2 I, x 1 < x 2, temos f(x 1) < f(x 2) Definição 7: Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para quaisquer x 1, x 2 I, x 1 < x 2, temos f(x 1) > f(x 2)

Observação Assim como os pontos extremos, reconhecer os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente é fácil, desde que o gráfico esteja bem feito. Nosso trabalho é através apenas da lei da função descobrir quando isso acontece com fim de esboçar o gráfico dessa função. Servirá também para diferenciar um ponto de máximo de um ponto de mínimo, ou se não há pontos extremos.

Pontos extremos e crescimento Não importa a característica do gráfico se um ponto P(c, f(c)) é de máximo local, este um intervalo (a, b) em que f é crescente para a < x < c e f é decrescente para c < x <b.

De forma análoga, se o ponto P(c, f(c)) é ponto de mínimo local existe intervalo aberto (a, b) em que f é decrescente para a < x < c e é crescente para c < x < b.

Critério para determinar o tipo de crescimento. * Função crescente #Função Decrescente *Se f é crescente em (a, b) as retas tangentes à função em (a, b) formam um ângulo agudo com o eixo ox (0 < <900) #Se f é decrescente em (a, b) as retas tangentes à função em (a, b) formam um ângulo obtuso com o eixo ox (900< <1800)

Para 0 < <900 tem-se tg > 0 (positiva) Para 900< <1800 tem-se tg < 0 (negativa) Pela interpretação geométrica da derivada temos: f´(x) > 0 para x (a, b) f´(x) < 0 para x (a, b)

Teorema 5: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] derivável no intervalo (a, b). (i) Se f’(x) > 0 para todo x (a, b), então f é crescente em [a, b] (ii) Se f’(x) < 0 para todo x (a, b), então f é decrescente em [a, b] Obs. : O TVM faz parte da demonstração desse teorema. Exemplo: Dada f(x) = x 3 – 6 x 2 + 9 x + 1, ache os extremos relativos de f, determine os intervalos em que f é crescente ou decrescente. Com essas informações faça o esboço do gráfico.

Exemplo Obs. : A derivada primeira de f tanto determina os pontos críticos quanto influi no estudo do crescimento. Solução: A função f é polinomial, ou seja, contínua e derivável em todo seu domínio. f´(x) = 3 x 2 – 12 x + 9 Pontos criticos x = 1 e x =3 P(1, 5) é de máximo e Q(3, 1) é de mínimo

Exemplo: Faça o mesmo para: f é contínua e derivável em l. R f‘(x) não é derivável em x = 0. f’(x) = 0 x = - 1 Estudo do sinal da derivada P(-1, -3) é de mínimo local Q(0, 0) não é extremo

Concavidade e pontos de Inflexão y C D A x B Concavidade para baixo: x < 0 ou x > xd Concavidade para cima: 0 < xd Pontos de inflexão: O (0, 0) , D

Definição 8: O gráfico de uma função f será côncavo para cima no ponto (c, f(c)) se f’(c) existir e se houver um intervalo aberto I, contendo c, tal que para todos os valores de x c em I, o ponto (x, f(x)) do gráfico estará acima da reta tangente ao gráfico em (c, f(c)). Definição 9: O gráfico de uma função f será côncavo para baixo no ponto (c, f(c)) se f’(c) existir e se houver um intervalo aberto I, contendo c, tal que para todos os valores de x c em I, o ponto (x, f(x)) do gráfico estará abaixo da reta tangente ao gráfico em (c, f(c)).

Interpretação Geométrica f’(c) representa o valor da inclinação tg da reta tangente à f em x = c. f é côncava para cima ângulo obtuso ângulo agudos tg < 0 tg > 0 valores crescentes f’(x) é crescente quando o gráfico é côncavo para cima.

f côncavo para baixo ângulo obtuso ângulo agudos tg > 0 tg < 0 valores decrescentes f’(x) é decrescente quando o gráfico é côncavo para cima. Devemos investigar o sinal de f’(x) onde é crescente e decrescente, mas isso é feito derivando f’(x), ou seja, o que determinará a concavidade é f’’(x).

Teorema 6: Seja f uma função diferenciável em algum intervalo aberto contendo c. Então: (i) Se f’’(c) > 0 , o gráfico de f é côncavo para cima em (c, f(c)). (ii) Se f’’(c) < 0 , o gráfico de f é côncavo para baixo em (c, f(c)). Exemplo: Determine os intervalos do domínio em que a função é côncava para cima ou côncava para baixo.

Se um ponto (c, f(c)) é de máximo relativo ele está localizado num intervalo onde o gráfico da função é côncavo para baixo, portanto f’’(c) < 0. Já se um ponto (c, f(c)) é de mínimo relativo ele está localizado num intervalo onde o gráfico da função é côncavo para cima, portanto f’’(c) > 0. (Chamamos de teste da derivada segunda) Exemplo: Determine os pontos extremos da função f(x) = x 3 – 6 x 2 + 9 x + 1 f ’(x) = 3 x 2 – 12 x + 9 extremos x = 1 ou x = 3 f” (x) = 6 x – 12 f” (1)<0 x = 1 é ponto de máximo local f” (3)>0 x = 3 é ponto de mínimo local

Definição 10: O ponto (c, f(c)) será um ponto de inflexão do gráfico da função f se o gráfico tiver nele uma reta tangente e se existir um intervalo aberto I contendo c, tal que, se x estiver em I, então: (i) se o gráfico de f for côncavo para cima para x < c e côncavo para baixo em x > c ou (ii) se o gráfico de f for côncavo para baixo para x < c e côncavo para cima em x > c. Exemplo: Para a função temos dois pontos de inflexão: em x = 0 e em x = 2

Teorema 7: Se a função f for derivável em algum intervalo contendo c e se (c, f(c)) for um ponto de inflexão do gráfico de f, então se f’’(c) existe, f’’(c)=0. obs. : A recíproca não é verdadeira, ou seja, se f’’(c) = 0, não quer dizer que (c, f(c)) é um ponto de inflexão. Exemplo: f(x) = x 4 f ’(x) = 4 x 3 f ”(x) = 12 x 2 f ”(x) = 0 x = 0, mas x = 0 é um ponto de mínimo local.