MATEMTICA FINANCEIRA Unidade 1 SEO 4 Profa Renata

MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade 1 – SEÇÃO 4 Profa. Renata Morgado

Plano de ensino UNIDADE DE ENSINO 1 – Juros e parcelamentos – conceitos básicos Seção 1. 1 Seção 1. 2 Seção 1. 3 Seção 1. 4 Juros simples e taxa equivalente Série de Juros simples Juros compostos e taxa equivalente Série de juros compostos Profª Renata Morgado 2

Competências da Área – • Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo. Profª Renata Morgado 3

Objetivos de aprendizagem • Proporcionar aos alunos uma formação básica de Matemática Financeira Profª Renata Morgado 4

Em que consistem na prática as séries de parcelas iguais/pagamentos uniformes? Definição: é a série que exibe o retorno do capital através de pagamentos iguais em intervalos de tempos constantes. São bem ilustradas nas situações de empréstimo ou aquisições de bens. São as parcelas/prestações (pagamentos ou recebimentos) que você já conhece: aquele carnê da loja de eletrodomésticos, o carnê do financiamento do carro, etc. . . Profa. Renata Morgado

O fluxo de caixa que caracteriza esse tipo de série fica assim: Profa. Renata Morgado

Apresentação: A compra financiada é extremamente comum no Brasil. No entanto, numa realidade na qual a taxa básica de juros é alta, a compra parcelada quase sempre tem juros embutidos e pode sair mais cara do que deveria para o consumidor. Esta aula mostrará como certos tipos de financiamento são estruturados e quais aspectos o consumidor deve levar em conta na hora da compra. As séries de parcelas deverão ser: • Postecipadas: 1ª parcela após um período (0+n) • Antecipadas: 1ª parcela no início (1+n) Profa. Renata Morgado

SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS UNIFORMES POSTECIPADOS (0+n) Crédito pessoal, financiamento de um carro, . . . Profa. Renata Morgado

SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS UNIFORME POSTECIPADOS FÓRMULAS Profa. Renata Morgado

SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS UNIFORME POSTECIPADOS FÓRMULAS Onde: PMT – é o valor das parcelas ou prestações a serem pagas P – Valor presente i – taxa de juros n – tempo, quantidade de períodos Fn – Valor futuro Profa. Renata Morgado

VALOR DAS PARCELAS EM UMA SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS (PMT) UNIFORMES POSTECIPADOS EM FUNÇÃO DA QUANTIDADE DE PARCELAS n, DO VALOR PRESENTE P E DA TAXA DE JUROS i Fórmula: Ex: Um colega te pede R$ 1. 000, 00 emprestados. Para correr o risco, você cobra dele uma taxa de juros de 10% ao mês. Ele vai te pagar em 5 parcelas iguais (0 + 5). Determine o valor de cada parcela. Dados: Empréstimo: 1. 000, 00 Parcelas: 5 (0 + 5) Taxa: 10% a. m. Valor das prestações: ? ? ? P = 1. 000, 00 n=5 I = 10% i = 0, 10 PMT = ? ? ? Profa. Renata Morgado

Diagrama: : PMT PMT PMT 1 2 3 4 5 I = 10% a. m. i = 0, 10 R$ 1. 000, 00 Usando a fórmula para calcular PMT Note quando se trabalha com pagamentos constantes PMT, a letra “n” se refere ao número de parcelas

Usando a HP para calcular PMT: 1. 000, 00 f clx CHS PV 0 FV 5 n 10 i PMT Visor: 263, 79 Seu amigo deverá pagar 5 parcelas de R$ 263, 79. Esse valor deve ser positivo, pois para você ele é uma entrada de caixa. Profa. Renata Morgado

Usando o excel para calcular PMT: Inserir Função Profa. Renata Morgado

Usando o excel para calcular PMT: Inserir Função

TIPO: é o número 0 ou 1. • 0: primeiro pagamento depois de um período • 1: primeiro pagamento é no ato

Depois de clicar em OK, o resultado ficará na célula selecionada anteriormente. A célula B 6 apresenta resultado positivo: isto significa que ele foi uma entrada de caixa quando você recebeu as parcelas. Profa. Renata Morgado

VALOR PRESENTE P DE UMA SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS PMT UNIFORMES POSTECIPADOS EM FUNÇÃO DA QUANTIDADE DE PARCELAS n E DA TAXA DE JUROS i Fórmula: Ex: Você comprou um aparelho eletrônico por (0 + 5) prestações mensais iguais e postecipadas de R$ 263, 79. A financeira informou que a taxa cobrada foi de 10% ao mês. Determine o valor a vista do aparelho. Dados: Valor das prestações: 263, 79 Parcelas: 5 (0 + 5) Taxa: 10% a. m. Valor a vista: ? ? ? Profa. Renata Morgado PMT = 263, 79 n=5 I = 10% i = 0, 10 PV = ? ? ?

Diagrama: ? ? ? 1 2 3 4 5 263, 79 263, 79 Usando a fórmula para calcular P Profa. Renata Morgado

Usando a HP para calcular P: f 263, 79 CHS clx PMT 0 FV 5 n 10 i PV valor negativo: as parcelas são uma saída de caixa Visor: 1. 000, 00 Profa. Renata Morgado

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Depois de clicar em OK, o resultado ficará na célula selecionada anteriormente. Profa. Renata Morgado

QUANTIDADE DE PARCELAS FIXAS n EM FUNÇÃO DO VALOR PRESENTE P, DO VALOR DAS PARCELAS FIXAS PMT E DA TAXA i Fórmula: Ex: Você está planejando comprar um carro novo. Para isso, seu antigo veículo será dado como entrada, sobrando R$ 9. 300, 00 para ser financiado. A taxa cobrada pela financeira é de 1, 5% ao mês. Se você pode pagar R$ 1. 000, 00 todo mês, quantas parcelas serão necessárias para pagar o financiamento? Dados: Valor das prestações: 1. 000, 00 Valor financiado: 9. 300, 00 Taxa: 1, 5% a. m. 0, 015 Quantidade de parcelas: ? ? ? PMT = 1. 000, 00 PV = 9. 300, 00 I = 1, 5% i = n = ? ? ?

Diagrama: 9. 300, 00 1 2 3. . . . . n 1. 000 Usando a fórmula para calcular n 1. 000

Usando a HP para calcular n: A HP 12 c arredonda para cima qualquer número encontrado quando se calcula o n em uma sequência de pagamentos uniformes. Por isso, neste caso, suas funções financeiras básicas não devem ser usadas. Profa. Renata Morgado

Usando a HP para calcular n: f 135 3120 0, 04 1 0, 014 clx ENTER X ÷ g LN ENTER + g LN ÷ Visor: 65, 85

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QUANTIDADE DE PARCELAS FIXAS n EM FUNÇÃO DO VALOR FUTURO Fn , DOS VALOR DAS PARCELAS FIXAS PMT E DA TAXA i Fórmula: Ex: Você pretende acumular R$ 800. 000, 00 em alguns anos, tendo em vista sua aposentadoria. Você pode aplicar R$ 1. 700, 00 no fim de cada mês, em uma aplicação que rende 1% ao mês. Determine em quanto tempo você poderá se aposentar. • Dados: Pagamentos mensais: 1. 700, 00 Valor quer alcançar: 800. 000, 00 Taxa: 1% a. m. Quantidade de parcelas: ? ? ? PMT = 1. 700, 00 Fn = 800. 000, 00 I = 1% i = 0, 01 n = ? ? ?

Diagrama: I = 1% am i = 0, 01 800. 000, 00 1 2 3. . . n 1. 700, 00 Usando a fórmula para calcular n

Usando a HP para calcular n: A HP 12 c arredonda para cima qualquer número encontrado quando se calcula o n em uma sequência de pagamentos uniformes. Por isso, neste caso, suas funções financeiras básicas não devem ser usadas. Profª Renata Morgado

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• Depois de clicar em OK, o resultado ficará na célula selecionada anteriormente. Profª Renata Morgado

VALOR FUTURO Fn DE UMA SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS POSTECIPADOS PMT EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES n E DA TAXA i Fórmula: Ex: Um amigo lhe deve 5 (0 + 5) parcelas de R$ 263, 79. No entanto, ele não lhe paga nenhuma parcela até o término do contrato. Você deve corrigir cada parcela à taxa combinada de 10% ao mês e determinar quanto seu amigo deverá a você ao final de 5 meses. Resumindo: significa que os pagamentos se acumularam e devem ser pagos de uma só vez no último período, ou seja, no 5º mês.

Dados: Valor das prestações: 263, 79 PMT = 263, 79 Parcelas: 5 (0 + 5) n=5 Taxa: 10% a. m. I = 10% i = 0, 10 Valor futuro: ? ? ? F 5 = ? ? ? Diagrama: 263, 79 1 2 263, 79 3 263, 79 4 Profª Renata Morgado 263, 79 5 I = 10% a. m.

Usando a fórmula para calcular Fn Profª Renata Morgado

Usando a HP para calcular Fn: f 263, 79 CHS clx PMT 0 PV 5 n 10 i FV Visor: 1. 610, 46 Seu amigo deverá pagar ao final, uma única parcela de R$ 1. 610, 46. Esse valor é positivo, pois para você, ele é uma entrada de caixa. Profª Renata Morgado

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TIPO: é o número 0 ou 1. 0 primeiro pagamento depois de um período 1 primeiro pagamento é no ato

• Depois de clicar em OK, o resultado ficará na célula selecionada anteriormente. A célula A 1 apresenta resultado positivo: isto significa que ele foi uma entrada de caixa quando você recebeu as parcelas, todas de uma vez. Profª Renata Morgado

Matemática Financeira Estamos prontos para a Pós Aula Anhanguero Profª Renata Morgado

EXERCÍCIOS 1) A empresa Voe Bem lhe vende uma passagem aérea para o exterior no valor de R$ 1. 900, 00. Seu cartão de crédito vai parcelar a compra em 7 vezes, cobrando por isso 3% ao mês. Calcule o valor das parcelas? (postecipada) 2) Quatro pneus do modelo Dryroad hoje custam R$ 275, 00 cada um. Considerando que você pagará um a vista e os outros três em 6 parcelas, calcule o valor de cada parcela, se a taxa de juros cobrada foi de 6, 9% ao mês. (postecipada) 3) Você está interessado em saber o valor a vista de uma bicicleta anunciada por 7 parcelas de R$ 200, 00. A loja informa que a taxa cobrada nesse financiamento é de 3, 4% ao mês. (postecipada) Profa. Renata Morgado

4) Um conjunto de móveis custa à vista R$ 930, 00. Ele pode ser pago em prestações mensais de R$ 120, 56, à uma taxa de juros de 3, 2% a. m. Em quantas prestações ele deve ser vendido? . (postecipada) 5) Quantas prestações de R$ 314, 75 serão necessárias para pagar um computador que custa à vista R$ 2. 500, 00? Parcelas postecipadas e a taxa de juros é de 7% a. m 6) Se eu depositar mensalmente R$ 150, 00 (parcelas postecipadas) em um banco durante 36 meses, quanto terei ao final do período, se a taxa for de 0, 75% ao mês? Profa. Renata Morgado

SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS UNIFORMES ANTECIPADOS • Pagamento antecipado: o primeiro pagamento é feito no instante inicial. As demais parcelas assumem um valor idêntico a esse durante todo o período da operação. • Pagamento do tipo: 5 parcelas (1 + 4) Profª Renata Morgado

SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS UNIFORME POSTECIPADOS FÓRMULAS Profa. Renata Morgado

SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS UNIFORME ANTECIPADOS FÓRMULAS Onde: PMT – é o valor das parcelas ou prestações a serem pagas P – Valor presente i – taxa de juros n – tempo, quantidade de períodos Fn – Valor futuro Profa. Renata Morgado

VALOR DAS PARCELAS PMT EM UMA SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS UNIFORMES ANTECIPADOS EM FUNÇÃO DA QUANTIDADE DE PARCELAS n, DO VALOR PRESENTE P E DA TAXA DE JUROS i • • • Fórmula: • Ex: Você decide comprar um eletrodoméstico de R$ 1. 000, 00 em 5 parcelas (1 + 4) iguais e com entrada igual as parcelas. A loja cobrou uma taxa de juros de 10% ao mês. Determine o valor de cada parcela. • Dados: Valor eletrodoméstico: 1. 000, 00 P = 1. 000, 00 • Parcelas: 5 (1 + 4) n=5 • Taxa: 10% a. m. I = 10% i = 0, 10 • Valor das prestações: ? ? ? PMT = ? ? ?

• Diagrama: 1. 000, 00 • 1 • 2 PMT PMT ATENÇÃO: I = 10% am 3 4 PMT O TEMPO DE TODA A OPERAÇÃO É DE 4 MESES (PORQUE TEVE UM PAGAMENTO DE PMT NO ATO), MAS O NÚMERO DE PARCELAS A PAGAR É IGUAL A 5 (1 + 4), ENTÃO n = 5.

• Usando a fórmula para calcular PMT: VALOR DAS PARCELA Você deverá pagar 5 parcelas de R$ 239, 82, sendo que a. Sprimeira é no ato da compra.

• Usando a HP para calcular PMT: para calcular o valor das 5 parcelas, com a primeira parcela paga no início, ou seja, com entrada, a HP tem uma função especial, que deve ser acionada antes do cálculo. 7 • FUNÇÃO BEGIN g visor 0, 0000 BEG f • g clx 7 BEG • 1. 000 PV • 0 FV • 5 n • 10 i • PMT BEGIN Note que, por pagar a primeira parcela no momento da compra, esse valor é menor do que se você pagasse na forma postecipada (com primeiro pagamento depois de 30 dias). Logo, você está pagando menos juros. Visor: - 239, 82

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• Usando o excel para calcular PMT: Inserir Função

TIPO: é o número 0 ou 1. 0 primeiro pagamento depois de um período 1 primeiro pagamento é no ato

Depois de clicar em OK, o resultado ficará na célula selecionada anteriormente. Profª Renata Morgado

VALOR PRESENTE P DE UMA SEQUÊNCIA DE PARCELAS FIXAS ANTECIPADAS PMT, EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES n E DA TAXA i • • • Fórmula: • Ex: Você decide comprar um eletrodoméstico em 5 parcelas (1 + 4) iguais de R$ 239, 82. A loja cobrou uma taxa de juros de 10% ao mês. Determine o valor que lhe foi financiado, ou seja, o valor inicial do eletrodoméstico. • Dados: Valor das prestações: 239, 82 PMT = 239, 82 • Parcelas: 5 (1 + 4) n=5 • Taxa: 10% a. m. I = 10% i = 0, 10 • Valor eletrodoméstico: ? ? ? P = ? ? ?

• Diagrama: • • ? ? I = 10% am 2 3 1 239, 82 ATENÇÃO: 4 239, 82 O TEMPO DE TODA A OPERAÇÃO É DE 4 MESES (PORQUE TEVE UM PAGAMENTO DE PMT NO ATO), MAS O NÚMERO DE PARCELAS A PAGAR É IGUAL A 5 (1 + 4), ENTÃO n = 5. Profª Renata Morgado

• Usando a fórmula para calcular P:

• Usando a HP para calcular P: para calcular o valor de parcelas, com a primeira parcela paga no início, ou seja, com entrada, devese acionar a função BEGIN. f • CLX g 7 BEG • 239, 82 • 0 FV • 5 n • 10 i • CHS PMT PV Visor: 1. 000, 00 Profª Renata Morgado

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• Usando o excel para calcular P: Inserir Função

• Depois de clicar em OK, o resultado ficará na célula selecionada anteriormente. Profª Renata Morgado

VALOR FUTURO Fn DE UMA SEQUÊNCIA DE PARCELAS FIXAS ANTECIPADAS PMT, EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES n E DA TAXA i • • • Fórmula: • Ex: Você planeja depositar R$ 100, 00 (parcelas antecipadas) pelos próximos 100 meses. Se o banco lhe paga juros de 1, 10% a. m. , qual será o montante no final desse período? • Dados: Valor das prestações: 100, 00 PMT = 100, 00 • Parcelas: 100 (1 + 99) n = 100 • Taxa: 10% a. m. I = 1, 10% i = 0, 011

• Usando a fórmula para calcular Fn:

• Usando a HP para calcular Fn: para calcular o valor de parcelas, com a primeira parcela paga no início, ou seja, com entrada, deve-se acionar a função BEGIN. f • g CLX 7 BEG • 100 • 0 PV • 100 n • 1, 10 i • CHS PMT FV Visor: 18. 254, 77 Profª Renata Morgado

Matemática Financeira Atividades Práticas Anhanguero Profª Renata Morgado

EXERCÍCIOS 1) Seu irmão vai depositar mensalmente (parcelas antecipadas) R$ 240, 00 em uma aplicação financeira, a partir de hoje. Quanto ele terá acumulado ao final de 36 meses se a taxa média prevista é de 0, 56% a. m? R: 9. 596, 47 2) Determinado produto é vendido por R$ 900, 00 à vista. Calcule o valor de (1+11) parcelas financiadas a 3% a. m R: 87, 78 3) Uma TV pode ser comprada em (1+11) prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 1. 599, 00. Determine o preço à vista, sabendo que a loja cobra 3, 9% a. m de juros. R: 15. 681, 23 Profa. Renata Morgado