Matemtica Ensino Mdio 2 Ano Matriz Inversa Matemtica

Matemática Ensino Médio, 2º Ano Matriz Inversa

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Noções iniciais • No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b, denominado inverso de a, satisfazendo a condição: a. b = b. a =1 • É bastante comum indicarmos o inverso de a por Exemplo: ou a -1.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Definição • Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se invertível se, e somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que: Em que In é a matriz identidade de ordem n e B é denominada inversa de A e indicada por A-1.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 1: • Verifique a matriz é a inversa da matriz . Como A · B = B · A = I 2 , a matriz B é a inversa de A, isto é, B = A-1.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Observações: • Para verificar se uma matriz quadrada é ou não invertível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa, apresentaremos, a seguir, um processo baseado na definição de matriz inversa e na resolução de sistemas lineares. • Quando uma matriz é invertível, dizemos que ela é uma matriz não singular, caso contrário, será uma matriz singular.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 2: • Vamos encontrar, se existir, a inversa de Devemos verificar se existe Logo: . , tal que A. A-1 = In.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 2 (continuação): Do conceito de igualdade, seguem os sistemas: , cuja solução é a = 2 e c = -5/2 , cuja solução é b = -1 e c = 3/2 Então, É fácil ver que A-1. A = In também está satisfeita.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 3: • Vamos encontrar, se existir, a inversa de Fazendo A. A-1 = In , temos: Logo: .

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 4: Resolvendo os sistemas pelo método da adição, temos: . (-2) (Impossível) Com o primeiro sistema não admitindo solução, já seria possível concluir que não existe a inversa de A (O segundo sistema também não admitiu solução). .

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Observações: • O processo apresentado nos exemplos anteriores, apesar do grande nível de complexidade, pode ser usado para o cálculo de inversas de matrizes quadradas de ordem n, com n ≥ 2. • Estudar métodos para solução de sistemas lineares será bastante eficaz para o cálculo de matrizes inversas de ordem n, com n ≥ 3.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exercícios 01. Obter a matriz inversa da matriz . Resolução: Sendo , temos: , cuja solução é a = 1 e c = -1 , cuja solução é b = -1 e c = 2

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exercícios 02. Verifique se é a inversa de . Resposta: SIM 03. Determine, se existir, a inversa da matriz Resposta: .

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exercícios 04. Verifique se a inversa de é a matriz . Resposta: SIM 05. A inversa de Resposta: x = 7 e y = 1 é a matriz . Determine x e y.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades • Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e invertíveis, temos as seguintes propriedades: • Dada A, se existir A-1, então ela é única; • (A-1)-1 = A; • (A. B)-1 = B-1. A-1; • (A-1)t = (At)-1.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades • Se uma matriz A é invertível, então esta inversa é única. • Demonstração: De fato, vamos supor que A seja invertível de ordem n, que B e C sejam suas inversas e ainda que B ≠ C. Dessa forma, AB = BA = In e AC = CA = In. Tomando a primeira equação e multiplicando ambos os lados da equação, à esquerda, por C, temos C (AB) = CIn, ou seja, (CA)B= CIn, como CA = In. Logo: B = C.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades • Se uma matriz A é invertível, então a inversa A-1 é invertível e (A-1)-1 = A. • Demonstração: Sabemos que uma matriz B é inversa de A se, e somente se, A. B=B. A = In. Como A-1 é a inversa e A, então AA-1 = A-1 A =In. Pela demonstração anterior, temos que a inversa é única, então B = A é a inversa e A-1 , ou seja, (A-1)-1= A.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 5: • Vamos encontrar a inversa de Fazendo A. A-1 = In: Então Calculando (A-1)-1 . .

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades • Se A e B são invertíveis, então AB também é e (AB)-1 = B-1 A-1. • Demonstração: Para verificarmos esta propriedade, devemos mostrar que (AB)B-1 A-1=In e B-1 A-1(AB) = In. (AB)B-1 A-1=A(BB-1)A-1 =AIn. A-1 =AA-1 = In. A segunda identidade é inteiramente análoga.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 6: • Encontrando as inversas e o produto de e Calculando (AB)-1 e B-1 A-1 , podemos confirmar a igualdade: .

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades • Se A é invertível, então At também é e (At)-1 = (A-1)t. • Demonstração: Com efeito, fazendo uso da propriedade anterior, temos:

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 6: • Vamos verificar a propriedade (At)-1 = (A-1)t para a matriz Calculando At e A-1 , teremos respectivamente: Fazendo uso dos recursos expostos anteriormente, temos:

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Aplicação prática: 1. As senhas numéricas de quatro dígitos dos clientes de um determinado banco são representadas como uma matriz S 2 x 2, em que os dois primeiros são a 1ª linha e os dois últimos, a 2ª linha. O banco usa uma matriz invertível denominada matriz chave, para manter o sigilo das senhas de seus clientes. E, por questões de segurança, o banco gera uma nova matriz T = S. X , denominada matriz transmitida. a) Como ‘recuperar’ a senha de um cliente, se só conhecemos a matriz chave e a matriz transmitida? b) Sabendo que a matriz transmitida de um determinado cliente é qual sua senha? Resposta: a) (SX)X-1=S(XX-1)= SI 2 =S b) 2509 ,

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exercícios de fixação 01. Encontre a inversa de cada matriz dada, se possível: Resp: é singular Resp: 1/5 √ 2 -2/5 √ 2 Resp: 1/5 √ 2 1/10 cosɵ senɵ -senɵ cosɵ √ 2

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exercício de Fixação 02. Dadas as matrizes a) (AB)-1 Resp: a) , calcule: b) (AB)t 1/2 3/2 -3 -8 c) AA-1 – I -16 b) -3 d) (2 B)-1 6 1 c) 0 d) 1/4 0 -1 1/2

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exercício de Fixação 03. São dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem n e invertíveis. A solução da equação (BAX)t = B, em que (BAX)t é a transposta da matriz (BAX), é a matriz X tal que: a) b) c) d) Resposta: B

Exercícios de fixação 04. Se (A-1. X)-1 = B. Resposta: e , determine a matriz X 2 x 2 tal que