MATEMTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Mdio 2 ano

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares por Gottfried W. Leibniz Imagem disponibilizada Scewing/public domain Documentos históricos comprovam que antigas civilizações orientais, como babilônica e a chinesa, já trabalhavam com equações lineares. Já o interesse dos matemáticos ocidentais pelo tema aprofundou-se apenas no século XVII, a partir de um artigo do alemão Gottfried W. Leibniz (1646 -1716), que estabeleceu condições para associar o sistema de equações lineares a um determinante. Em 1858, o matemático inglês Arthur Cayley (1821 -1895) notabilizou-se ao tratar de sistemas lineares representando, em forma de matrizes, os dados extraídos de sistemas de equações. Imagem disponibilizada Andrejj/public domain UM POUCO DA HISTÓRIA Arthur Cayley

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES LINEARES A aplicação de equações e sistemas lineares é fundamental na resolução de problemas que envolvem equações com muitas incógnitas. Problemas desse tipo se apresentam por exemplo, na distribuição de energia elétrica, no gerenciamento das linhas de telecomunicações e na logística para transporte de mercadorias em uma região. Ensino Médio, 2° ano MATEMÁTICA Matrizes: Operações

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Acompanhe a situação a seguir Luísa foi ao caixa eletrônico sacar R$ 100, 00 de sua conta. Se o caixa havia apenas notas de R$ 10, 00, R$ 20, 00, e R$ 50, 00, de quantas maneiras ela pode ter efetuado o saque? Esse tipo de problema que pode ser expresso por meio de equação linear. Chamando de x o número de células de R$ 10, 00, y o número de células de R$ 20, 00 e z o número de células de R$ 50, 00, podendo associar essa situação à equação 10 x + 20 y + 50 z = 100. A equação 10 x + 20 y + 50 z = 100 é chamada equação linear.

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares q De maneira geral, se a 1, a 2, a 3, . . . , an, b são constantes reais e x 1, x 2, x 3, . . . , xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo. a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +. . . + anxn = b MATEMÁTICA ü x 1, x 2, x 3, . . . , xn são as incógnitas; Ensino Médio, 2° ano ü a 1, a 2, a 3, . . . , an são os coeficientes; Matrizes: Operações ü b é o termo independente.

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Na equação linear 4 x + 9 y + 8 z = 40, temos. ü x, y e z são as incógnitas; ü 4, 9 e 8 são os coeficientes; ü 40 é o termo independente;

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Soluções de uma equação linear q Considere a equação 4 x + 9 y + 8 z = 40 x = 1 y = 4 z = 0 x = 3 y = 2 z = 1 4. 1 + 9. 4 + 8. 0 = 40 (Verdadeira) MATEMÁTICA 4. 3 + 9. 2 + 8. 1 ≠ 40 Ensino Médio, 2°(falsa) ano Matrizes: Operações

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Soluções de uma equação linear q Solução de uma equação linear é toda sequência de valores reais das incógnitas que tornam uma igualdade verdadeira.

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Exemplo: q Calcular a constante real a, sabendo que a sequência (1, – 3, 4) é solução da equação linear 2 x + ay – z = 4. Substituindo x = 1; y = – 3 e z = 4 na equação, temos 2. 1 + a. (– 3) – 4 = 4 → 2 – 3 a – 4 = 4 → – 3 a = 6 MATEMÁTICA → a = – 2 Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Número de soluções de uma equação linear 1ª. Equação: 2 x = 8 → x = 4 Portanto a única solução da equação 2 x = 8 é x = 4.

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares 2ª. Equação: 0 x = 3 Não existe número real que, multiplicado por 0, resulte 3. Logo, a equação não têm solução. 3ª. Equação: x + 3 y = 8 Nessa equação o valor de uma incógnita depende do valor da outra (x = 8 – 3 y). y = 3 → x = 8 – 3. 3 y = 2 → x = 8 – 3. 2 y = 1 → x = 8 – 3. 1 → x = – 1 → (– 1, 3) MATEMÁTICA → x = 2 → (2, 2) Ensino Médio, 2° ano → x = 5 → (5, 1) Matrizes: Operações Essa equação tem infinitas soluções.

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Equação Homogênea q Uma equação linear em que o termo independente é 0 (nulo) é chamada equação linear homogênea. Ø 2 x – y = 0 Ø x + y – 5 = 0 → é uma equação linear homogênea → Não é equação linear homogênea MATEMÁTICA → x + y = 5 Ensino Médio, 2° ano → Toda equação linear homogênea admite uma solução óbvia: Aquela em que todas as incógnitas são iguais a 0. Matrizes: Operações

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Equação Nula q Uma equação linear que tem todos os coeficientes iguais a 0 (zero) é chamada equação linear nula? Ø 0 x + 0 y + 0 z = 0 → é uma equação linear nula MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano → Toda sequência de n números reais é uma solução de uma equação nula, com n incógnitas. Matrizes: Operações

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Equação impossível ou incompatível q Chama-se linear impossível ou incompatível aquela em que: Ø todos os coeficientes são iguais a 0. Ø o termo independente é diferente de 0. MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Ø 0 x + 0 y = 3 → é uma equação linear impossível Matrizes: Operações

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Equação com variáveis naturais Em certos problemas, aparecem equações lineares com restrições ao universo das variáveis. Nesses casos, o número de soluções da equação pode ser finito, mesmo que haja duas ou mais incógnitas

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Exemplos de exercícios sobre equações lineares Exemplo 1: Resolva a equação 3 x + 5 y = 10 Resolução: A procura das soluções de uma equação é facilitada se uma das incógnitas é descrita em função da outra. 5 y = 10 – 3 x → y = 10 – 3 x 5 Definimos a variável y em função da variável x. Nesse caso, y é função de 1° grau em relação à variável x. Assim, para cada valor escolhido para x, podemos obter um valor para y. Organizamos uma tabela para alguns valores de x e y.

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares x y SOLUÇÕES -1 13 5 -1, 13 5 0 2 0, 2 1 7 5 1, 7 5 2 4 5 2, 4 5 5 -1 5, -1 Poderíamos continuar essa tabela indefinidamente, pois essa equação linear com duas incógnitas tem um número infinito de soluções. Podemos também representar o conjunto de soluções dessa equação por meio de um gráfico. Com a equação linear é do 1° grau , seu gráfico é uma reta.

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares y . 3 2 1 0 1 -1 2 3 4 . x 5 Todos os pontos da reta que é gráfico da função y = 10 – 3 x representam geometricamente soluções da equação e vice-versa. 5

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Exemplo 1: Os pontos (3, -11) e (-2, 9) são soluções de uma equação linear com duas incógnitas. Determine outras duas soluções dessa equação. Resolução: Representando graficamente os pontos (3, -11) e (-2, 9), todos os pontos da reta que passa por eles são soluções da equação linear. . Graficamente, podemos encontrar algumas soluções da mesma equação, como: y (0, 1), (2, 7), (-1, 5) 9 . . (-1, 5) 5 1 -2 -1 0 -7 -11 (0, 1) 2 3 . . (2, -7) x

AGORA É SUA VEZ! Openclipart/Domínio Público MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Atividade 1: Suponha que se pretendam transportar, em um elevador, caixotes de 10 kg e 30 kg. Sabendo que o elevador suporta no máximo 600 kg, então: a) É possível transportar 30 caixotes de 10 kg e 10 de 30 kg? 30 caixotes de 10 kg = 300 kg 10 caixotes de 30 kg = 300 kg Total = 600 kg É possível b) E 15 de 10 kg e 15 de 30 kg? 15 caixotes de 10 kg = 150 kg 15 caixotes de 30 kg = 450 kg Total = 600 kg É possível

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares c) Dê um par de números que seja solução desse novo problema. 45 caixotes de 10 kg = 450 kg 05 caixotes de 30 kg = 150 kg Total = 600 kg Não é possível d) Traduza esse problema por meio de uma equação. X = número de caixotes de 10 kg Y = número de caixotes de 30 kg 10. x + 30. y = 600 10. (x + 3. y) = 600 X + 3. Y = 60 Atividade 2: Considere a equação linear 2 x + y = 3. a) Defina y em função de x. 2. x + y = 3 y = -2. x + 3

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares b) Represente as soluções da equação em um referencial cartesiano. y . 4 3 2 1 0 1 . 2 3 4 x Os pontos marcados, (0, 3) e (3/2, 0), são os cortes nos eixos x e y.

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Atividade 3: Cristiane foi a uma papelaria comprar fichários e canetas. As canetas custavam R$ 2, 50 cada e os fichários, R$ 5, 00 cada. Cristiane gastou R$ 40, 00 na papelaria. Quantos fichários e quantas canetas terá comprado? a) Traduza esse problema por meio de uma equação. Resolução: C = número de canetas F = número de fichários 2, 50. C + 5, 00. F = 40, 00 → 2, 5. C + 5. F = 40 b) Determine dois pares de valores que sejam solução da equação. Resolução: 2, 5. C + 5. F = 40 2, 5. C = 40 – 5. F → C = 16 – 2. F 2, 5 Se F = 1 → C = 16 – 2. 1 → C = 14 (Um fichário e 14 canetas) Se F = 2 → C = 16 – 2. 2 → C = 12 (Dois fichários e 12 canetas)

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares c) Indique um par de números que não seja solução do problema. Qualquer par de números que não satisfaz a equação anterior. Exemplo: C = 5 E F = 5 5 ≠ 16 – 2. 5 → 5 ≠ 16 – 10 → 5 ≠ 6 d) Há pares de números que são soluções da equação mas não do problema? Justifique. Sim. Valores negativos ou fracionários , por exemplo. Se F = -1 → C = 16 – 2. (-1) → C = 18 Menos um fichário? Se C = 9 → C = 16 – 2. (9) → C = -2 Menos duas canetas? Se F = 1, 5 → C = 16 – 2. (1, 5) → C = 13 Um fichário e meio? e) Organize uma tabela de modo que você encontre todas as soluções do problema.

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares F C = 16 – 2. F 1 14 2 12 3 10 4 8 5 6 6 4 7 2 Admitindo que Cristiane não possua ter comprado apenas canetas ou apenas fichários.

RECURSOS COMPLEMENTARES Openclipart/Domí nio Público NO COMPUTADOR Openclipart/Domínio Público MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Usar o Winplot para fazer gráficos de equações lineares. O Winplot é um aplicativo que permite a plotagem de gráficos que auxilia na análise de equações lineares e/ou sistemas lineares. Link: http: //math. exeter. edu/rparris/winplot. html. Acesso em 02/08/2015 ATIVIDADE NO LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA: ATIVIDADE EM DUPLA O professor distribuir para os alunos 3 equações lineares e solicitar que representem o conjunto de soluções das equações por meio de um gráfico. Utilizando o aplicativo Winplot.

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares REFERÊNCIAS DANTE, L. R. 2013. Matemática: Contexto e Aplicações. 2 a ed. 2° ano. São Paulo: Ática. IEZZI, G. e colaboradores. 2013. MATEMÁTICA – CIÊNCIA E APLICAÇÕES. 7ª ed. 2° ano. São Paulo: Saraiva. LEONARDO, F. M. de. Conexões com a Matemática. Obra coletiva. 2ª ed. 2° ano. São Paulo: Editora Moderna, 2013. PAIVA, M. 2009. Matemática - Paiva. 1 a ed. 2 ° ano. São Paulo: Moderna. http: //www. brasilescola. com/matematica/equacao-linear. htm. Acesso em 02/08/2015 MATEMÁTICA http: //www. mundoeducacao. com/matematica/sistemas-equacoes-lineares. htm. Acesso Ensino Médio, 2° ano em 02/08/2015 Matrizes: Operações http: //www. somatematica. com. br/emedio/sistemas. php. Acesso em 02/08/2015 https: //pt. wikipedia. org/wiki/Equa%C 3%A 7%C 3%A 3 o_linear. Acesso em 02/08/2015

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares TABELAS DE IMAGENS Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do Acesso 2 A Andrejj/public domain https: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz. jpg 02/08/2015 2 B Scewing/public domain https: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Arthur_Cayley. jpg 30/07/2015 20 Openclipart/Domínio Público http: //publicdomainvectors. org/pt/vetorial-gratis/Sinal-de-vector-dispon%C 3%ADvel-deacesso-de-computador/9513. html 31/07/2015 http: //publicdomainvectors. org/pt/vetorial-gratis/Professor-de-ensino-de-gr%C 3%A 1 ficosvetoriais-de-matem%C 3%A 1 tica/7500. html 31/07/2015 http: //publicdomainvectors. org/pt/vetorial-gratis/Gr%C 3%A 1 ficos-vetoriais-do-mouse-decomputador-em-forma-de-ovo/22293. html 02/08/2015 26 A Openclipart/Domínio Público 26 B Openclipart/Domínio Público