Matemtica Discreta I BCC 101 Teoria de Conjuntos

Matemática Discreta I BCC 101 Teoria de Conjuntos

Teoria de Conjuntos q. A Teoria de Conjuntos é adequada para descrever e explicar todas as estruturas matemáticas. q. A Teoria de Conjuntos constitui também a base matemática para a definição de Tipos de Dados em Computação 2

O que é um conjunto? q. Um conjunto é uma coleção de objetos q. Cada objeto da coleção é dito um elemento do conjunto. q. Exemplos: �� = {0, 1, 2, 3, …} números naturais �� = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} números inteiros �� = {n/m | n, m ∈ �� , m≠ 0 } números racionais �� números reais 3

Mais exemplos de conjuntos �� = {T, F} conjunto Booleano C = {a, e, I, o, u} conjunto das vogais D = {(0, 0), (1, 5), (3, 2)} conjunto de pares de números E = {{1, 2}, {10}, {3, 3, 3}} conjunto de conjuntos F = {3, {2, 5}, {5, 8, 2}} - elementos não precisam ser do mesmo tipo - 3∈F - {2, 5} ∈ F - 2∉F 4

Cardinalidade Se A é um conjunto finito, a cardinalidade de A é o número de elementos de A q Notação: |A| q Exemplos: - A = {a, b, c, d} - B = {{1, 2}, {1, 2, 3}} |A| = 4 |B| = 2 5

Conjunto Vazio { } conjunto vazio: não possui elementos – 3 {} – x { } — não importa o que seja x – = { } — a letra Grega phi denota o conjunto vazio Observação: ≠ { } - | | = 0 |{ }| = 1 6

Exercício F = { , { }, {{ }}} 1. Qual é a cardinalidade de F? 2. ∈ F ? 3. ∈ {{ }} ? 7

Notação para conjuntos § { x | x {2, 3, 5, 7, 11} , x 4} – {5, 7, 11} § { x + x | x {2, 3, 5, 7, 11} , x 3 , x 11} – {6, 10, 14} § {f(x) | x A, p(x)} – Denota o conjunto cujos elementos têm a forma f(x), onde x A e é tal que p(x) é true § Para evitar contradições: – Deve ser especificado o universo de discurso – Exemplos inválidos: {X | X é um conjunto} {X | X X} Nestes, o universo de discurso não é especificado 8

Subconjuntos e Igualdade q. A é um subconjunto de B – Definição: A B para todo x, se x A então x B – Exemplos • {2, 3, 5, 7} {2, 3, 5, 7, 11} • A — independentemente do que seja A q. Igualdade entre conjuntos – Definição: A = B (A B) e (B A) q. A é um subconjunto próprio de B – Definição: A B (A B) e (A B) 10

Operações: Conjunto Potência q Cojunto Potência de A: P (A) – Definição: P (A) = {S | S A} – Exemplos • P({2, 3, 5}) = { , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} • P( ) = { } – |P (A)| = 2|A| (será provado mais tarde, usando indução • Quantos elementos tem P(P( ))? – P(P( )) = { , { } } • Quantos elementos tem P(P(P( )))? – P(P(P( ))) = { , { }, {{ }}, { }} } • Quantos elementos tem P(P( ))))? ) – 24 = 16 • Quantos elementos tem P(P(P( )))))? – 216 — um bocado! em torno de 65. 000 12

Exercícios Liste todos elementos de cada conjunto: 1. P({0, 1, 3}) 2. P({1}) 3. P( ) 4. P({1, 2}}) 5. P({�� , �� }) 13

Operações: Produto Cartesiano q Produto Cartesiano de A e B: Ax. B – Definição: A B = {(a, b) | a A e b B} – Exemplos • {2, 3} {3, 5, 7} = {(2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7)} • {0, 1, 2, …} {1, 2, 3, …} = conjunto de todos os pares de números naturais em que o segundo componente ≠ 0 – Notação: A 2 = A x A • A 0 = {()} A 1 = A A 2 = Ax. A A 3 = Ax. A … – |A x B| = |A| x |B| q Exercícios: § A x B = B x A para todo A e B? § Quantos elementos tem A P(A)? 14

Operações: União e Interseção q União de A e B – Definição: A B = {x | x A ou x B} – Exemplos • {2, 3, 5} {5, 7, 11} = {2, 3, 5, 7, 11} • A = A — independentemente do que seja A • { , { }} { {{ }}, { }} } = { , { }, {{ }}, { }} } q Interseção de A e B – Definição: A B = {x | x A e x B} – Exemplos • {2, 3, 5, 7} {2, 7, 11} = {2, 7} • A = — independentemente do que seja A q Conjuntos disjuntos – Definição: A e B são disjuntos A B = 15

Operações: União Disjunta q União disjunta de A e B – Definição: A + B = {(0, x) | x A}∪{(1, x) | x B} – Exemplos • {2, 3, 5} + {3, 5, 7} = {(0, 2), (0, 3), (0, 5), (1, 3), (1, 5), (1, 7)} • + {2, 3} = {(1, 2), (1, 3)} • {2, 3} + = {(0, 2), (0, 3)} 16

Operações: Diferença e Complemento q Diferença A menos B – Definição: A – B = {x | x A e x B} – Exemplos • {2, 3, 5, 7} – {2, 7, 11} = {3, 5} • A – = A — independentemente do que seja A • – A = — independentemente do que seja A • Complemento de A – Definição: A’= U–A onde U é o universo de discurso – Exemplos - universo de discurso = N • {2, 3, 4, 5}’ = {0, 1} {6, 7, 8, …} • {2 x | x {0, 1, 2, …}}’ = {2 x+1 | x {0, 1, 2, …}} 17

Exercícios Sejam A = {a, b, c, d, e} B={d, e, f} C={1, 2, 3} 1. 2. 3. 4. 5. A B A–B B–A (A-B) (B-A) 6. 7. 8. 9. A C A–C (A C) (A – C) 10. (A B) x B 11. (Ax. C) (Bx. C)

Álgebra de Conjuntos Identidade Duplo complemento Zero Idempotência Complemento De Morgan 19

Commutatividade Absorção Associatividade Distributividade 20

Paradoxo de Russel Bertrand Russell (1872 -1970) q Uma teoria ingênua de conjuntos pode levar a paradoxos. Considere: A = {X | X é um conjunto e X ∉ X} - {1, 2} ∈ A - ��∈ A - Seja X = {X}. X∉A Paradoxo: A∈A ? 21

Teoria Axiomática de Conjuntos Para evitar os paradoxos que podem ocorrer em uma teoria ingênua de conjuntos, Georg Cantor (1845– 1918) e Ernest Zermelo (1871– 1953) formularam teorias axiomáticas de conjuntos, que incluem como axiomas, por exemplo: § Nenhum conjunto não vazio C pode ter a propriedade de que C ∩ x ≠ , para todos os seus elementos x que sejam conjuntos. Isso exclui conjuntos tais como X = {X}. 22