Matemtica Bsica Grficos de Funes Reais Como construir

Matemática Básica Gráficos de Funções Reais

Como construir um Gráfico x y = f(x) y x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 x 1 Tabela y = f(x) x 2 x 3 x 4 Plotagem x 5 x

Função constante O gráfico é sempre uma reta horizontal que passa por (0, b). Denomina-se função constante toda função cuja lei é do tipo f(x) = b, em que b IR.

Função de 1º Grau Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo: R Y b Onde: X Ø a = taxa de variação da função(coeficiente angular); Ø b = ponto onde a reta toca o Eixo Y(coeficiente linear);

Retas Coeficiente angular da reta R: Y Obs. : Retas horizontais: a = 0 Retas verticais: Não tem a R X

Retas Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular A equação abaixo é a equação na forma ponto – coeficiente angular que passa pelo ponto (x 1, y 1) e tem coeficiente angular a.

Retas Exemplo 1 Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(2, 3) com coeficiente angular 3/2. x 1 =2 y 1 =3 a = -3/2

Retas Exemplo 2 Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P 1(-2, -1) e P 2(3, 4). x 1 = -2 y 1 = -1 x 2 =3 y 2 =4 a =?

Propriedades da Reta Ø É definida por um polinômio de 1° grau; Ø Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em apenas um ponto; Ø O sinal da taxa de variação a fornece a informação sobre o crescimento ou decrescimento da função: Ø a < 0 função decrescente; Ø a > 0 função crescente;

Propriedades da Reta Se a < 0, a função decresce. Se a > 0, a função cresce. Só tocam o eixo X uma vez.

Raízes da Função de 1º Grau As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz, que é justamente onde a reta (que representa a função de 1º Grau) cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero.

Função do 1. º grau Denomina-se função polinomial do 1º grau toda função cuja lei é do tipo f(x) = mx + b, em que m, b IR e m 0.

Coeficiente angular da reta

Equação da reta de inclinação “m” que passa por (x 1, y 1) y – y 1 = m(x – x 1)

Estudo do sinal da função do 1. º grau

Exercícios 1) Dada a função y = 2 x + 3 determine: a) O gráfico b) A interseção com o eixo x e com o eixo y. 2) O custo de um determinado produto é de R$10, 00 fixo mais R$2, 00 por unidade. Determine: a) A equação que expressa o custo em função da quantidade. b) O gráfico. 3) Dado o gráfico determine a sua respectiva função. a) b)

Função de 2º Grau Uma função de 2º grau, também chamada de função QUADRÁTICA, representada por uma PARÁBOLA, é toda função real do tipo: Desde que a ≠ 0;

Propriedades da Parábola Ø É definida por um polinômio de 2 o grau; Ø Pode possuir: Ø Duas raízes reais e distintas; Ø Duas raízes reais e iguais; Ø Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X). Ø O sinal de a fornece a informação sobre a concavidade da função: Ø a < 0 concavidade para baixo; Ø a > 0 concavidade para cima;

Propriedades da Parábola Se a < 0, a concavidade é para baixo. Se a > 0, a concavidade é para cima. Podem ter três tipos de raízes.

Raizes da Função de 2º Grau Para encontrar as raízes de funções de 2 o Grau, resolvemos a equação: Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara:

Vértice da Parábola Se a > 0, Se a < 0 ,

Exercícios 1) Determine as raízes, o vértice e o gráfico das seguintes funções : a) y = x ² - 6 x + 8 b) y = – x ² + 4 x – 4 c) y = 2 x ² + 4 x + 5 2) A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h = – t² + 6 t, determine a altura máxima atingida pela bola.

Função do 2. º grau (quadrática) Função polinomial do 2. º grau (ou função quadrática) é toda função cuja lei é da forma f(x) = ax 2 + bx + c, em que a, b, c IR e a 0.

Coordenadas do vértice

Crescimento quadrática e decrescimento da função

Estudo do sinal da função do 2. º grau >0 a<0 =0 <0

Imagem da função quadrática

Função definida por partes Denominamos função definida por partes toda função definida com a aplicação de fórmulas diferentes a diferentes partes do domínio.

Função por Partes y = x p/ x < 2 e y = x 2 p/ x > 2

Exercício Determine o gráfico da função:

Função definida por partes

Definição de módulo de um número real

Função exponencial Denominamos função exponencial toda função f: IR IR do tipo f(x) = ax, definida para todo número real x, com a > 0 e a 1.

Função exponencial O gráfico da função f(x) = ax passa pelo ponto (0, 1). A função é crescente se a > 1. A função é decrescente se 0 < a < 1. O domínio é IR; O conjunto-imagem é IR*+ (reais positivos).

Definição de logaritmo b ® logaritmando Nomenclatura a ® base do logaritmo x ® logaritmo Condições de existência b>0 a>0 ea 1

Propriedades operacionais dos logaritmos

Mudança de base

Função logarítmica Seja a função exponencial f: IR IR*+ definida por y = ax, com a > 0 e a 1. A sua inversa é chamada de função logarítmica e é indicada por y = log a x.

Função logarítmica A função f(x) = loga x passa pelo ponto (1, 0). A função é crescente se a > 1. A função é decrescente se 0 < a < 1. O domínio é IR*+ (Reais positivos). O conjunto imagem é IR.