Matemtica 3 ano Polinmios Operaes multiplicao e diviso

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 3º ano Polinômios: Operações multiplicação e divisão

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão POLINÔMIOS v (UFSM/2010) Leia o trecho da música "Goiabada Cascão", de Wilson Moreira/Nei Lopes, interpretada por Dudu Nobre. Ouvindo esse samba, um pequeno proprietário rural decide aproveitar a farta produção de goiabas de seu pomar e produzir goiabada cascão que será vendida em barras (paralelepípedos retangulares) de 800 cm³ cada. Para tanto, construirá uma forma a partir de uma folha metálica retangular medindo 28 cm por 18 cm, cortando um pequeno quadrado de cada canto. Essa folha, devidamente dobrada, conforme ilustra a figura a seguir, servirá de molde para as barras de goiabada. Sendo x cm a medida dos lados do quadrado cortado da folha inicial, a incógnita (variável) x, para que o volume da barra obtida desse molde tenha os 800 cm 3 desejados, deve satisfazer a que equação polinomial?

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão ü Vamos calcular o volume da caixa. x x 18 cm x x 18 – 2 x x 28 – 2 x 28 cm V = AB. h V = 800 V = (28 – 2 x). (18 – 2 x). x 4 x 3 – 92 x 2 + 504 x = 800 V = (504 – 56 x – 36 x + 4 x 2). x 4 x 3 – 92 x 2 + 504 x – 800 = 0 (: 4) V = (504 – 92 x + 4 x 2). x V = 504 x – 92 x 2 + 4 x 3 – 23 x 2 + 126 x – 200 = 0

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS v Sendo: v A multiplicação é obtida multiplicando-se cada termo aixi de A(x) por cada termo bjxj de B(x), ou seja, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. v Por fim, reduzem-se os termos semelhantes (de mesmo grau).

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO v Sendo A(x) = x 3 + 2 x 2 3 e B(x) = x 2 + x + 1, determine A(x). B(x) = (x 3 + 2 x 2 – 3). (x 2 + x + 1) x 5 + x 4 + x 3 + 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 – 3 x – 3 http: //zonadaponte. com. sap o. pt/gifs/chamas/lampadas/l amp 011. gif x 5 + 3 x 4 + 3 x 3 – x 2 – 3 x – 3 Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes. am. an = am+n

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão DIVISÃO DE POLINÔMIOS v Dividir um polinômio P(x) pelo polinômio D(x) é obter dois polinômios Q(x) e R(x), obedecendo às seguintes condições: ü P(x) ≡ D(x). Q(x) + R(x); ü Grau de R(x) < grau de D(x) ou R(x) ≡ 0; ü P(x) é o dividendo, D(x) o divisor, Q(x) o quociente e R(x) o resto da divisão; ü É importante observar que o grau do quociente é a diferença entre os graus do dividendo e do divisor; ü Em geral, se na divisão de P(x) por D(x) o resto é o polinômio nulo, dizemos que P(x) é divisível por D(x).

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão ALGORITMO DA DIVISÃO (MÉTODO DE DESCARTES) v Esse método, também conhecido como método dos coeficientes a determinar, é aplicado da seguinte forma: ü Determina-se os graus do quociente: Q(x), e do resto: r(x); ü Constroem-se os polinômios Q(x) e r(x), deixando incógnitos os seus coeficientes (usam-se letras); ü Determinam-se os coeficientes impondo a igualdade Q(x). D(x) + r(x) = P(x).

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO v Dividir P(x) = 3 x 4 – 2 x 3 + 7 x + 2 por D(x) = 3 x 3 - 2 x 2 + 4 x -1. Aplicando a relação fundamental da divisão:

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão Logo: Q(x) = ax + b Q(x) = x r(x) = cx 2 + dx + e r(x) = -4 x 2 + 8 x + 2

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão MÉTODO DA CHAVE v Para efetuar a divisão usando o método da chave, convém seguir os seguintes passos: ü Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus expoentes e completá-los quando necessário, com termos de coeficiente zero; ü Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o resultado será um termo do quociente; ü Multiplicar esse termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do dividendo; ü Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o resto da divisão e a divisão termina aqui; ü Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo dividendo.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 1 v Efetuar a divisão de A(x) = 2 x 4 – 3 x 3 + x – 1 por B(x) = x 2 – 2 x + 3. 2 x 4 – 3 x 3 + 0 x 2 + x – 1 – 2 x 4 + 4 x 3 – 6 x 2 – 2 x + 3 2 x 2 + x – 4 x 3 – 6 x 2 + x – 1 – x 3 + 2 x 2 – 3 x – 4 x 2 – 2 x – 1 4 x 2 – 8 x + 12 – 10 x + 11

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 2 v Dividir A(x) = x 2 – 5 x + 6 por B(x) = x – 2. x 2 – 5 x + 6 –x 2 + 2 x x – 2 x – 3 x + 6 + 3 x – 6 0 Nesse caso, o resto é polinômio nulo, R(x) ≡ 0. Dizemos, por isso, que A(x) é divisível por B(x).

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 3 v Sabe-se que p(x) = x 3 – x 2 + ax + b é divisível por b(x) = x 2 + x – 2. Calcular a e b. x 3 – x 2 + ax + b x 2 + x – 2 –x 3 – x 2 + 2 x x – 2 x 2+ (a+2)x + b 2 x 2+ 2 x – 4 (a+4)x+ b – 4 a + 4 = 0 ⇒ a = – 4 b – 4 = 0 ⇒ b = 4

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão DIVISÃO POR BINÔMIOS DO 1º GRAU v Trataremos daqui por diante de divisões em que o dividendo é um polinômio P(x), em que gr(P) 1, e o divisor é um polinômio do 1º grau (de grau 1), a princípio de coeficiente dominante (do termo de grau 1) igual a 1. v Para começar vamos determinar o seguinte, se o divisor é de grau 1, então resto será de grau zero, e portanto, independente de x (o resto será um número real). v Vamos estudar: üTeorema do Resto üTeorema de D’Alembert üAlgoritmo de Briot-Ruffini üDivisão pelo binômio (ax + b) üDivisão pelo produto (x – a). (x – b) üDivisões Sucessivas

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão TEOREMA DO RESTO v Na divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo (x – a), observamos que o resto, se não for nulo, será sempre um número real. Então: ü Observe que Q(x) é o quociente dessa divisão.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão Calculando o valor numérico de P(x) para x = a, temos: Logo: Verificamos assim que o resto da divisão de P(x) por (x - a) é r = P(a).

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 1 v Calcular o resto da divisão de P(x) = x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 – 6 por x + 2.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 2 v O resto da divisão de p(x) = x 4 – 4 x 3 – kx – 75 por (x – 5) é 10. Calcular o valor de k. O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 5. ⇒ R = p(5) = 10 R = p(5) = 54 – 4. 53 – k. 5 – 75 = 10 ⇒ 54 – 4. 53 – k. 5 – 75 = 10 (: 5) ⇒ 53 – 4. 52 – k – 15 = 2 ⇒ 125 – 100 – k – 15 = 2 ⇒ 10 – k = 2⇒ – k = 2 – 10 ⇒ k = 8

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão TEOREMA DE D’ALEMBERT v Para que um polinômio P(x) seja divisível por um polinômio do tipo (x – a), é preciso que o resto seja igual a zero, ou seja, P(a) = 0. P(x) é divisível por (x – a) P(a) = 0

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 1 v Determine k para que o polinômio P(x) = kx 3 + 2 x 2 + 4 x – 2 seja divisível por (x + 3). Se P(x) é divisível por (x + 3), então devemos ter:

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 2 v Determinar o valor de m, sabendo-se que o polinômio p(x) = 9 x 2 + mx – m + 3 é divisível por 3 x – 1. O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 1/3. Segundo o teorema de D’Alembert, devemos ter p(1/3) = 0. 9. (1/3)2 + m. (1/3) – m + 3 = 0 ⇒ 9. (1/9) + m/3 – m + 3 = 0 ⇒ 1 + m/3 – m + 3 = 0 ⇒ m/3 – m = – 4 (x 3) ⇒ m – 3 m = – 12 ⇒ – 2 m = – 12 ⇒ m = 6

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI v O Dispositivo de Briot-Ruffini nos permite encontrar o quociente e o r resto de uma divisão de um polinômio P(x) de grau n (n≥ 1) por um binômio x – a, sendo (n – 1) o grau do quociente. p(x) = a 0 x 4 + a 1 x 3 + a 2 x 2 +a 3 x + a 4 (Dividendo) Dados s(x) = ax+ b (Divisor) Coeficientes do Dividendo a 0 Raiz do Divisor -b/a x + a 1 a 0 x x x + a 2 + a 3 + a 4 Resto

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 1 v Efetuar a divisão de p(x) = 3 x 4 – 4 x 3 – 5 x 2 + 4 x + 9 por x – 2, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. Os cálculos a serem efetuados tem como ponto de partida, a raiz do divisor, no caso, a raiz é 2. 3 2 + 3 x x – 4 2 x + – 5 – 1 + 4 + 2 x q(x) = 3 x 3 + 2 x 2 – x + 2 e R(x) = 13 9 13 = Resto

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 2 v Na divisão de p(x) = x 4 + 2 x 3 – x 2 + k por x + 1, o resto é 4. Calcular k e o quociente da divisão. Dividindo p(x) por x + 1, pelo dispositivo de Briot-Ruffini. 1 – 1 + 1 x x 2 1 x + – 1 – 2 + 0 2 + k k– 2 x q(x) = x 3 + x 2 – 2 x + 2 e R = k – 2 = 4 ⇒ k = 6

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 3 v Na equação x 3 – 3 x 2 + x – 3 = 0, uma de suas raízes é 3. Obter as outras duas raízes. Suponhamos p(x) = x 3 – 3 x 2 + x – 3. Se 3 é raiz de p(x), p(3) = 0 e p(x) é divisível por x – 3. 3 1 – 3 1 – 3 1 0 q(x) = x 2 + 1 ⇒ x 2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = – 1 ⇒ x = i ou x = – i Logo, as raízes da equação são 3, i e –i.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão DIVISÃO PELO PRODUTO (X – A). (X – B) v Se um polinômio P(x) é divisível separadamente por (x − a) e (x−b), com a ≠ b, então P(x) é divisível por (x − a)(x − b). Consequência: ü Dividindo-se P(x) por (x − a), e depois dividindo-se os quocientes que forem sendo obtidos por (x − a), ao fim de r divisões sucessivas, se todos os restos forem nulos, P(x) será divisível por (x − a)'.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 1 v Provar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que p(x) = x 3 – 7 x + 6 é divisível por (x + 2). (x – 3). Primeiro vamos dividir p(x) por x + 2. Depois, o quociente obtido q(x) por x – 3. 1 0 – 7 6 – 2 1 – 2 – 3 0 3 1 1 0 Nos dois casos, obtivemos resto R = 0. Concluímos que p(x) é divisível por (x + 2). (x – 3).

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 2 v Calcule a e b para que P(x) = x 3 + 2 x 2 + ax - b seja divisível por (x 1) e por (x - 2). Nesse caso devemos ter P(1) = 0 e P(2) = 0.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão Agora, vamos resolver o sistema obtido.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 3 v Se um polinômio P(x) dividido por (x - 1) deixa resto 2 e dividido por (x - 2) deixa resto 1, qual é o resto da divisão de P(x) pelo produto (x - 1). (x - 2)? Observe que: 1) A partir da leitura do enunciado podemos concluir que P(1) = 2 e P(2) = 1. 2) O resto da divisão de P(x) por (x - 1). (x - 2) é um polinômio do tipo R(x) = ax + b, pois se o divisor tem grau 2, o resto, no máximo, terá grau 1.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão Então: A partir da informação de que P(1) = 2 e P(2) = 1, obtemos:

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão Resolvendo o sistema: Encontramos: Assim:

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão DIVISÕES SUCESSIVAS v Como P(x) é divisível por (x – 1) e o quociente nesta divisão é divisível por (x – 2), concluímos que P(x) é divisível por (x – 1) · (x – 2). ü No caso particular, se b = a, as divisões sucessivas permitem verificar se P(x) é divisível por (x – a)2, (x – a)3, etc.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 1 v Calcular a e b para que P(x) = x 4 + x 2 + ax + b seja divisível por (x – 1)2. Os restos das duas divisões devem ser nulos. Então,

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 1 v Para que o polinômio P(x) = x 3 - 8 x + mx - n seja divisível por (x + 1)(x - 2), o produto m. n deve ser igual a: Se P(x) é divisível por (x + 1)(x - 2), então, P(x) é divisível por (x + 1), e também é divisível por (x - 2), e isto significa dizer que,

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão Resolvendo o sistema: Obtemos, Agora, podemos responder a proposição inicial do problema,

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXEMPLO 2 v Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b. Obter o valor numérico da expressão a + b. Se P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6, então,

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão Sabemos ainda que o resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b, então, daí,

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão EXTRAS GEOGEBRA ü Utilizar o software geogebra para trabalhar as operações de multiplicação e divisão de polinômios. ü Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http: //www. baixaki. com. br/download/geogebra. htm.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão REFERÊNCIAS Sites: v http: //www. objetivo. br/Conteudo. Online/mp/Conteudo. aspx? codigo=812&token= 5%2 F 2 Yd 2%2 Bzzv%2 F 29 um. TApxi 0 Q%3 D%3 D v http: //www. uff. br/webmat/Calc 1_Livro. On. Line/Apoios/apoio 03 c_prof-Regina. html v http: //www. colegioweb. com. br/polinomios/divisao-de-polinomios. html Livros: v I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3: ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. v Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. v I. Iezzi, Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.