Matemtica 3 ano Polinmios Operaes adio e subtrao

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 3º ano Polinômios: Operações adição e subtração

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração REDUÇÃO DE POLINÔMIOS http: //3. bp. blogspot. com/_VMW-o. Wd. Pi. U/TMy. Rv. I 1 GO 6 I/AAAAA 4 s/DMVDomp g. Hm. Y/s 1600/6 a 00 e 54 ee 8552 c 883300 e 54 f 5 c 8 feb 8833 -800 wi. gif v Em muitos casos nos deparamos com representações polinomiais extensivas que podem ser reduzidas por meio das ideias relativas à adição e/ou subtração de monômios. Para que a redução seja possível é necessária à existência de monômios semelhantes na expressão.

http: //www. gifsgratis. com. br/gifs/corpohumano/maos/dedo. gif Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração Observações: v De acordo com a quantidade de termos resultantes das reduções polinomiais ou até mesmo da representação inicial dos polinômios, podemos classificá-los das seguintes formas: ümonômio, quando há apenas um termo; übinômio, quando há dois termos; ütrinômio, quando há três termos; üacima de três termos, não há nome particular, sendo chamado apenas polinômio.

v O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. v A compreensão dessas operações é fundamental para o aprofundamento dos estudos futuros sobre polinômios. Vejamos como são realizadas as operações de adição e subtração com exemplos. http: //zonadaponte. com. sapo. pt/gifs/livros/liv 009. gif Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração ADIÇÃO DE POLINÔMIOS v Dados dois polinômios f(x) e g(x). Sendo f(x) = anxn + an-1 xn-1 +. . . a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e g(x) = bnxn + bn-1 xn-1 +. . . b 2 x 2 + b 1 x + b 0 v Para fazermos f(x) + g(x) deveremos ter como resposta: f(x) + g(x) = (an + bn )xn + (an-1 + bn-1 )xn-1 +. . . (a 2 + b 2 )x 2 + (a 1 + b 1 )x + (a 0 + b 0) v Ou seja, calculamos a soma adicionando os coeficientes dos termos semelhantes.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração EXEMPLO 1 v Adicionar x 2 – 3 x – 1 com – 3 x 2 + 8 x – 6. (x 2 – 3 x – 1) + (– 3 x 2 + 8 x – 6) → eliminar o 2º parênteses através do jogo de sinal. +(– 3 x 2) = – 3 x 2 +(+8 x) = +8 x +(– 6) = – 6 x 2 – 3 x – 1 – 3 x 2 + 8 x – 6 → reduzir os termos semelhantes. x 2 – 3 x + 8 x – 1 – 6 – 2 x 2 + 5 x – 7 Portanto: (x 2 – 3 x – 1) + (– 3 x 2 + 8 x – 6) = – 2 x 2 + 5 x – 7

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração EXEMPLO 2 v Adicionando 4 x 2 – 10 x – 5 e 6 x + 12, teremos: (4 x 2 – 10 x – 5) + (6 x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 4 x 2 – 10 x – 5 + 6 x + 12 → reduzir os termos semelhantes. 4 x 2 – 10 x + 6 x – 5 + 12 4 x 2 – 4 x + 7 Portanto: (4 x 2 – 10 x – 5) + (6 x + 12) = 4 x 2 – 4 x + 7

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração EXEMPLO 3 v Considerando os polinômios A = 6 x³ + 5 x² – 8 x + 15, B = 2 x³ – 6 x² – 9 x + 10 e C = x³ + 7 x² + 9 x + 20. Calcule A + B + C. (6 x³ + 5 x² – 8 x + 15) + (2 x³ – 6 x² – 9 x + 10) + (x³ + 7 x² + 9 x + 20) 6 x³ + 5 x² – 8 x + 15 + 2 x³ – 6 x² – 9 x + 10 + x³ + 7 x² + 9 x + 20 6 x³ + 2 x³ + 5 x² – 6 x² + 7 x² – 8 x – 9 x + 15 + 10 + 20 9 x³ + 6 x² – 8 x + 45 A + B + C = 9 x³ + 6 x² – 8 x + 45

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração http: //zonadaponte. com. sapo. pt/gifs/chamas/lampadas/lam p 011. gif PROPRIEDADES v Para a operação de adição valem as seguintes propriedades: ü Comutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x); ü Associativa: [P(x) + Q(x)] + A(x) = P(x) + [Q(x) + A(x)]; ü Elemento neutro: P(x) + Q(x) = P(x), basta tomar Q(x) = 0; ü Elemento oposto: P(x) + Q(x) = 0, basta tomar Q(x) = – P(x).

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração P 1. Comutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) v Dados os polinômios P(x) = 8 x 5 + 4 x 4 + 7 x 3 – 12 x 2 – 3 x – 9 e Q(x) = x 5 + 2 x 4 – 2 x 3 + 8 x 2 – 6 x + 12. P(x) + Q(x) (8 x 5 + 4 x 4 + 7 x 3 – 12 x 2 – 3 x – 9) + ( x 5 + 2 x 4 – 2 x 3 + 8 x 2 – 6 x + 12) (8 x 5 + x 5 ) + ( 4 x 4 + 2 x 4 ) + ( 7 x 3 – 2 x 3 ) + (– 12 x 2 + 8 x 2 ) + (– 3 x – 6 x) + ( – 9 + 12) 9 x 5 + 6 x 4 + 5 x 3 – 4 x 2 – 9 x + 3 Q(x) + P(x) ( x 5 + 2 x 4 – 2 x 3 + 8 x 2 – 6 x + 12) + (8 x 5 + 4 x 4 + 7 x 3 – 12 x 2 – 3 x – 9) (x 5 + 8 x 5) + (2 x 4 + 4 x 4) + (– 2 x 3 + 7 x 3) + (8 x 2 – 12 x 2) + (– 6 x – 3 x ) + (12 – 9) 9 x 5 + 6 x 4 + 5 x 3 – 4 x 2 – 9 x + 3

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração P 2. Associativa: [P(x) + Q(x)] + A(x) = P(x) + [Q(x) + A(x)] v Considere os polinômios P(x) = – 9 x 3 + 12 x 2 – 5 x + 7, Q(x) = 8 x 2 + x – 9 e A(x) = 7 x 4 + x 3 – 8 x 2 + 4 x + 2. [P(x) + Q(x)] + A(x) [(– 9 x 3 + 12 x 2 – 5 x + 7) + (8 x 2 + x – 9)] + (7 x 4 + x 3 – 8 x 2 + 4 x + 2) [– 9 x 3 + (12 x 2 + 8 x 2) + (– 5 x + x) + (7 – 9)] + (7 x 4 + x 3 – 8 x 2 + 4 x + 2) [– 9 x 3 + 20 x 2 – 4 x – 2] + (7 x 4 + x 3 – 8 x 2 + 4 x + 2) 7 x 4 + (– 9 x 3 + x 3) + (20 x 2 – 8 x 2) + (– 4 x + 4 x) + (– 2 + 2) 7 x 4 – 8 x 3 + 12 x 2 P(x) + [Q(x) + A(x)] (– 9 x 3 + 12 x 2 – 5 x + 7) + [(8 x 2 + x – 9) + (7 x 4 + x 3 – 8 x 2 + 4 x + 2)] (– 9 x 3 + 12 x 2 – 5 x + 7) + [7 x 4 + x 3 + (8 x 2 – 8 x 2)+ (4 x +x) + (– 9 + 2) (– 9 x 3 + 12 x 2 – 5 x + 7) + [7 x 4 + x 3 + 5 x – 7] 7 x 4 + (– 9 x 3 + x 3) + 12 x 2 + (– 5 x + 5 x) + (7 – 7) 7 x 4 – 8 x 3 + 12 x 2

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração P 3. Elemento neutro: P(x) + Q(x) = P(x), basta tomar Q(x) = 0. v Dados os polinômios P(x) = 8 x 5 + 4 x 4 + 7 x 3 – 12 x 2 – 3 x – 9 e Q(x) = 0 P(x) + Q(x) = P(x) (8 x 5 + 4 x 4 + 7 x 3 – 12 x 2 – 3 x – 9) + 0 = 8 x 5 + 4 x 4 + 7 x 3 – 12 x 2 – 3 x – 9 (8 x 5 + 4 x 4 + 7 x 3 – 12 x 2 – 3 x – 9) + (0 x 5 + 0 x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 0) (8 x 5 + 0 x 5) + (4 x 4 + 0 x 4) + (7 x 3 + 0 x 3) + (– 12 x 2 + 0 x 2) + (– 3 x + 0 x) + (– 9 + 0) 8 x 5 + 4 x 4 + 7 x 3 – 12 x 2 – 3 x – 9

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração P 4. Elemento oposto: P(x) + Q(x) = 0, basta tomar Q(x) = – P(x). v Considere os polinômios P(x) = 7 x 5 – 9 x 4 – 6 x 3 + 13 x 2 – 4 x + 11 e Q(x) = – 7 x 5 + 9 x 4 + 6 x 3 – 13 x 2 + 4 x – 11. P(x) + Q(x) = 0 (7 x 5 – 9 x 4 – 6 x 3 + 13 x 2 – 4 x + 11) + (– 7 x 5 + 9 x 4 + 6 x 3 – 13 x 2 + 4 x – 11) (7 x 5 – 7 x 5) + (– 9 x 4 + 9 x 4 ) + (– 6 x 3 + 6 x 3) + (13 x 2 – 13 x 2) + (– 4 x + 4 x) + (11 – 11) 0 x 5 + 0 x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 0 0

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS v Dados dois polinômios f(x) e g(x). Sendo f(x) = anxn + an-1 xn-1 +. . . a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e g(x) = bnxn + bn-1 xn-1 +. . . b 2 x 2 + b 1 x + b 0 v Para fazermos f(x) – g(x) deveremos ter como resposta: f(x) – g(x) = (an – bn )xn + (an-1 – bn-1 )xn-1 +. . . (a 2 – b 2 )x 2 + (a 1 – b 1 )x + (a 0 – b 0) v Ou seja, calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração EXEMPLO 1 v Subtraindo – 3 x 2 + 10 x – 6 de 5 x 2 – 9 x – 8. (5 x 2 – 9 x – 8) – (– 3 x 2 + 10 x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. – (– 3 x 2) = +3 x 2 – (+10 x) = – 10 x – (– 6) = +6 5 x 2 – 9 x – 8 + 3 x 2 – 10 x +6 → reduzir os termos semelhantes. 5 x 2 + 3 x 2 – 9 x – 10 x – 8 + 6 8 x 2 – 19 x – 2 Portanto: (5 x 2 – 9 x – 8) – (– 3 x 2 + 10 x – 6) = 8 x 2 – 19 x – 2

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração EXEMPLO 2 v Se subtrairmos 2 x³ – 5 x² – x + 21 e 2 x³ + x² – 2 x + 5, teremos: (2 x³ – 5 x² – x + 21) – (2 x³ + x² – 2 x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais. 2 x³ – 5 x² – x + 21 – 2 x³ – x² + 2 x – 5 → redução de termos semelhantes. 2 x³ – 5 x² – x + 21 – 5 0 x³ – 6 x² + x + 16 Portanto: (2 x³ – 5 x² – x + 21) – (2 x³ + x² – 2 x + 5) = – 6 x² + x + 16

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração EXEMPLO 3 v Considerando os polinômios A = 6 x³ + 5 x² – 8 x + 15, B = 2 x³ – 6 x² – 9 x + 10 e C = x³ + 7 x² + 9 x + 20. Calcule A – B – C. (6 x³ + 5 x² – 8 x + 15) – (2 x³ – 6 x² – 9 x + 10) – (x³ + 7 x² + 9 x + 20) 6 x³ + 5 x² – 8 x + 15 – 2 x³ + 6 x² + 9 x – 10 – x³ – 7 x² – 9 x – 20 6 x³ – 2 x³ – x³ + 5 x² + 6 x² – 7 x² – 8 x + 9 x – 9 x + 15 – 10 – 20 6 x³ – 3 x³ + 11 x² – 7 x² – 17 x + 9 x + 15 – 30 3 x³ + 4 x² – 8 x – 15 A – B – C = 3 x³ + 4 x² – 8 x – 15

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração QUESTÕES http: //zonadaponte. co m. sapo. pt/gifs/escola/e sc 003. gif

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração 1º) Valdir comprou pra sua loja 2 tambores e 5 violinos, enquanto Roberto comprou 3 tambores e 2 violinos. Cada tambor custou x reais e cada violino custou y reais, nessas condições, responda: a) Qual o polinômio que representa a quantia que Valdir gastou? b) Qual o polinômio que representa a quantia que Roberto gastou? c) Qual o polinômio que representa a quantia que os dois gastaram juntos? d) Supondo que x vale 60 reais e que y vale 300 reais, quanto os dois gastaram juntos? Respostas: a) 2 x + 5 y b) 3 x + 2 y c) 5 x + 7 y d) 2400 reais

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração 2º) Em uma partida de tênis, Rui fez x saques e acertou 60% desses saques menos 1. Paulinho fez também x saques e acertou 40% mais 2. Escreva o polinômio que representa: a) b) c) d) A quantidade de saques que Rui acertou A quantidade de saques que Paulinho acertou A quantidade de saques que os dois acertaram juntos A diferença entre os saques de Rui acertou e os saques que Paulinho acertou. Respostas: a) 0, 6 x -1 b) 0, 4 x + 2 c) x + 1 d) 0, 2 x -3

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração 3º) Quando adicionamos os polinômios 13 x 2 – 11 x – 15 e -7 x 2 – 2 x + 16, obtemos como soma o polinômio Ax 2+ Bx + C. Qual é o valor numérico da expressão A + B + C? Resposta: - 6

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração 4º) Dados P = x 2 + a 2 – 2 ax e Q = 2 x 2 + 5 ax + 3 a 2, determine: a) P + Q e seu valor numérico para a = 10 e x = -4. b) P – Q e seu valor numérico para a = - 0, 5 e x 1, 2. Respostas: a) 3 x 2 + 3 ax + 4 a 2; VN = 328 b) – x 2 - 7 ax – 2 a 2; VN = 2, 26

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração 5º) Efetue as seguintes adições de polinômios: a) (2 x²-9 x+2)+(3 x²+7 x-1) (R: 5 x² -2 x + 1) b) (5 x²+5 x-8)+(-2 x²+3 x-2) (R: 3 x² + 8 x - 10) c) (3 x-6 y+4)+(4 x+2 y-2) (R: 7 x -4 y +2) d) (5 x²-2 ax+a²)+(-3 x²+2 ax-a²) (R: 2 x²) e) (y²+3 y-5)+(-3 y+7 -5 y²) (R: -4 y² + 2)

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração 6º) Efetue as seguintes subtrações: a) (5 x²-4 x+7)-(3 x²+7 x-1) (R: 2 x² - 11 x + 8) b) (7 x-4 y+2)-(2 x-2 y+5) (R: 5 x - 2 y – 3) c) (-2 a²-3 a+6)-(-4 a²-5 a+6) (R: -2 a² +2 a) d) (4 x³-6 x²+3 x)-(7 x³-6 x²+8 x) (R: -3 x³ - 5 x) e) (7 ab+4 c-3 a)-(5 c+4 a-10) (R: 7 ab -c-7 a + 10)

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração EXTRAS GEOGEBRA ü Utilizar o software geogebra para trabalhar as operações de adição e subtração de polinômios. ü Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http: //www. baixaki. com. br/download/geogebra. htm.

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações adição e subtração REFERÊNCIAS Sites: v http: //www. infoescola. com/matematica/adicao-subtracao-e-multiplicacao-depolinomios/ v http: //www. brasilescola. com/matematica/adicao-subtracao-polinomios. htm v http: //www. brasilescola. com/matematica/adicao-subtracao-e-multiplicacao-depolinomios. htm v http: //www. alunosonline. com. br/matematica/adicao-subtracao-polinomios. html Livros: v I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3: ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. v Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. v I. Iezzi, Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.