Matemtica 3 ano Operaes envolvendo nmeros complexos MATEMTICA

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 3º ano Operações envolvendo números complexos

http: //2. bp. blogspot. com/Yr 2 w. Uq 1 e. G 0 E/T 9 l. FT 4 WDs. PI/AAAAA AAAke. Y/Qp. Oc. WTVbc. O 8/s 1600/profe ssora+3 d. gif Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos v Para iniciarmos os nossos estudos a respeito de Operações envolvendo números complexos, vamos começar com uma breve revisão sobre: ü Igualdade de complexos; ü Oposto de um número complexo; ü Conjugado de um número complexo.

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos IGUALDADE DE COMPLEXOS v Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. v Assim, se z 1= a + bi e z 2 = c + di, temos que: z 1 = z 2 ⇔ a = c e b = c

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO 1 v Se x e y são números reais, sob que condições os complexos (x – 1) + (y + 2)i e 3 – 5 i são iguais? Resolução: Igualando os complexos, temos: (x – 1) + (y + 2)i = 3 – 5 i ⇒ x – 1 = 3 ⇒ x = 4 ⇒ y + 2 = – 5 ⇒ y = – 7

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO 2 v Determine os valores reais de m e n para que os complexos (m – 5) + ni e (n + 3) + (2 m + 1)i sejam iguais? Resolução: Igualando os complexos, temos: (m – 5) + ni = (n + 3) + (2 m + 1)i m – 5 = n + 3 ⇒ m – 5 = 2 m + 1 + 3 ⇒ – m = 9 n = 2 m + 1 ⇒ m = – 9 ⇒ n = 2(– 9) + 1 ⇒ n = – 17

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO v Chama-se oposto ou simétrico de um complexo z o complexo indicado por –z, assim definido. z = a + bi ⇒ –z = – (a + bi) = – a – bi

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO v Escreva os simétricos dos seguintes números complexos: (o número é multiplicado por -1) a) 3 + 4 i = – 3 – 4 i b) – 3 + i = 3 – i c) 1 – i = – 1 + i d) – 2 + 5 i 2 – 5 i =

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO v Dado um número complexo z = (a, b), consideremos o par ordenado simétrico a z em relação ao eixo x. v Tal par é chamado conjugado de z, e é indicado por z. z = a + bi ⇒ z = a + bi = a – bi

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO v Escreva os conjugados seguintes números complexos: (troca-se o sinal da parte imaginária) a) 3 + 4 i = 3 – 4 i b) 1 – i = 1 + i c) – 2 – 5 i = – 2+5 i d) 2 i = – 2 i e) – 8 = – 8

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENTRE COMPLEXOS v Para adicionar ou subtrair dois números complexos devemos adicionar ou subtrair as suas partes reais e imaginárias, separadamente. v Se z 1 = a +bi e z 2 = c +di são dois números complexos, então a sua soma é um outro número complexo dado por z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i e sua diferença é um outro número complexo dado por z 1 - z 2 = (a - c) + (b - d)i.

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO v Calcule: (somam-se/subtraem-se as partes reais e as partes imaginárias separadamente) a) (2 + 5 i) + (3 + 4 i) = (2 + 3) + (5 i + 4 i) = 5 + 9 i b) i + (2 – 5 i) = i + 2 – 5 i = 2 – 4 i c) (2 + 5 i) – (3 + 4 i) = 2 + 5 i – 3 – 4 i = – 1 + i d) (1 + i) – (1 – i) = 1 + i – 1 + i = 2 i

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos POTÊNCIAS DE I v Para as potências do tipo in da unidade imaginária i, n natural, valem as definições. Para n > 2, valem as propriedades usuais da potenciação em ℝ. ü i 0 = 1 ü i 4 = i 2= (– 1) = 1 ü i 1 = i ü i 2 = – 1 ü i 5 = i 4. i = (1). i = i ü i 3 = i 2. i = (– 1). i= – i ü i 7 = i 4. i 3= 1. (–i)= – i ü i 6 = i 4. i 2= 1. (– 1)= – 1 . . . .

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos POTÊNCIAS DE I v Qualquer potência de in, n natural, pode ser calculada a partir das quatro primeiras. i 0 = 1 i 1 = i i 2 = – 1 i 3 = –i v O valor de in é o mesmo de ir, sendo r o resto da divisão de n por 4.

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLOS 1º) Calcular i 42 + i 37. 42 4 37 4 2 10 1 9 i 42 = i 2 = – 1 ü i 42 + i 37 = – 1 + i i 37 = i 1 = i 2º) Calcular i 4 n – 2 = i 4 n i 2 = (i 4)n – 1 = 1 n – 1 = – 1 ü i 4 n – 2 = – 1

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos MULTIPLICAÇÃO ENTRE COMPLEXOS v Dados dois números complexos, z 1 e z 2, para obter z 3= z 1. z 2 , aplicamos a propriedade distributiva, as potências de i e depois reduzirmos os “termos semelhantes”.

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO 1 v Calcule os seguintes produtos: (aplica-se a distributividade e a soma ou subtração) a) (2 + 3 i) (3 – 2 i) = (2)(3) – (2)(2 i) + (3 i)(3) – (3 i)(2 i) = 6 – 4 i + 9 i – 6 i 2 = 6 + 5 i + 6 = 12 + 5 i b) (1 + 3 i) (1 + i) = (1)(1) + (1)(i) + (3 i)(1) + (3 i)(i) = 1 + i +3 i + 3 i 2 = 1 + 4 i – 3 = – 2 + 4 i

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO 2 v Determinar o complexo z que satisfaz a igualdade seguinte 2 z + 5 z = 7 + 6 i. Resolução: Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos 2 z + 5 z = 7 + 6 i ⇒ 2(a + bi) + 5(a – bi) = 7 + 6 i ⇒ 2 a + 2 bi + 5 a – 5 bi = 7 + 6 i ⇒ 7 a – 3 bi = 7 + 6 i ⇒ 7 a = 7 – 3 b = 6 ⇒ a = 1 e b = – 2 ⇒ z = 1 – 2 i

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO 3 v Obter o complexo z que, multiplicado por 2 – i, resulta 8 + i. Resolução: z. (2 – i) = 8 + i Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos (a + bi). (2 – i) = 8 + i ⇒ 2 a – ai + 2 bi – bi 2 = 8 + i ⇒ 2 a – ai + 2 bi + b = 8 + i ⇒ 2 a + b + (2 b – a)i = 8 + i ⇒ 2 a + b = 8 2 b – a = 1

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos Resolvendo o sistema, chegamos a: 2 a + b = 8 2 b – a = 1 x (2) ⇒ 2 a + b = 8 4 b – 2 a = 2 + 5 b = 10 ⇒ b = 2 ⇒ 2 a + 2 = 8 ⇒ a = 3 ⇒ z = a + bi ⇒ z = 3 + 2 i

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos DIVISÃO ENTRE COMPLEXOS v Sejam dois números complexos, z 1 e z 2, com z 2 ≠ 0, definimos a divisão multiplicando ambos os números pelo conjugado do complexo do denominador. z 1 z 2 = z 1. z 2

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO v Efetue as divisões indicadas abaixo. a) 8+i 2–i b) 8+i 3 + 2 i (8 + i). (2 + i) (8 + i). (3 – 2 i) (2 – i). (2 + i) (3 + 2 i). (3 – 2 i) 16 + 8 i + 2 i + i 2 24 – 16 i + 3 i – 2 i 2 22 – i 2 16 + 8 i + 2 i – 1 32 – 4 i 2 24 – 16 i + 3 i + 2 4 – (– 1) 15 + 10 i = 3 + 2 i 5 9 + 4 26 – 13 i = 2 – i 13

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos INVERSO DE UM COMPLEXO v Se z é um complexo não-nulo, chamamos de inverso de z o complexo representado por z– 1 e assim definido. z– 1 = 1 z

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO v Determine o inverso do número complexo z = i. 1 i (1). (–i) z– 1 = (i). (–i) z– 1 = –i –i 2 –i 1 z– 1 = – i

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE NATURAL) v Se n é um número natural e z é um complexo qualquer, a potência zn é, por definição, o produto de n fatores iguais a z. z 0 = 1 (z ≠ 0) z 1 = z zn = z. z. z. . z n fatores

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO 1 v (3 + i)0 = 1 v (– 5 + 2 i)1 = – 5 + 2 i v (2 – 3 i)2 = 4 – 12 i + 9 i 2 = 4 – 12 i – 9 = – 5 – 12 i v (1 + i)3 = 1 + 3 i 2 + i 3 = 1 + 3 i – 3 – i = – 3 + 2 i

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO 2 v Calcular o valor da constante real k, para que o complexo z = (k + 2 i)2 seja imaginário puro. z = (k + 2 i)2 = k 2 + 4 ki + 4 i 2 = k 2 – 4 + 4 ki ü z imaginário puro, devemos ter: Re(z) = 0 Im(z) ≠ 0 ⇒ k 2 – 4 = 0 4 k ≠ 0 ⇒ k = ± 2

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO) v A partir do conceito de inverso de um número complexo, podemos calcular uma potência com expoente inteiro negativo. Sendo z um complexo, z ≠ 0 e n um número natural, define-se: z–n = 1 z n

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXEMPLO v Sendo z = 1 – i, calcular z– 2. Primeiro vamos calcular z– 1; depois z– 2. z– 1 = z z– 2 = (z– 1)2 1 1 – i = 1 + i 2 1 + i = (1 – i). (1 + i) 2 = 1 + 2 i + i 2 4 = = 1 + i 12 – i 2 = 1 + 2 i – 1 4 1 + i 2 = 2 i 4 = i 2

EXERCÍCIOS http: //www. e urooscar. com/ gifs 1/escola 1. htm Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos 1º) (UCSal) - Para que o produto (a + i). (3 - 2 i) seja real qual deve ser o valor de “a”? 2º) (UFBA) - Sendo a = -4 + 3 i , b = 5 - 6 i e c = 4 - 3 i , calcule o valor de a. c + b. 3º) (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i 2 + i 3 +. . . + i 1001. 4º) Calcule o número complexo i 126 + i-126 + i 31 - i 180. 5º) (UEFS-93. 2) - Se m - 1 + ni = (3 + i). (1 + 3 i), calcule os valores de m e n. 6º) Efetue as seguintes divisões de números complexos: a) b)

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos EXTRAS GEOGEBRA ü Utilizar o software geogebra para trabalhar as operações entre números complexos. ü Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http: //www. baixaki. com. br/download/geogebra. htm. SHOW DO MILHÃO ü Um jogo com perguntas somente de números complexos e pode ser obtido no endereço: https: //sites. google. com/site/matematicacomplexa/iniciodoprojeto/sho w-do-milhao/Show%20 do%20 Milh%C 3%A 3 o. rar? attredirects=0&d=1

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos REFERÊNCIAS Sites: v http: //www. alunosonline. com. br/matematica/operacoes-com-numeros-complexos -na-forma-algebrica. html v http: //www. matematicadidatica. com. br/Operacoes. Numeros. Complexos. aspx v http: //www. brasilescola. com/matematica/operacoes-numeros-complexos-naforma-trigonometrica. htm Livros: v. I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. v. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. v. I. Iezzi, Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.