Matematyczne techniki zarzdzania 31 ZMIENNE LOSOWE CIGE S

Matematyczne techniki zarządzania - 31 ZMIENNE LOSOWE CIĄGŁE Są to zmienne, które mogą przyjmować wartości z nieprzeliczalnego zbioru wartości (przy założeniu, że będą mierzone z wystarczającą dokładnością). Zmienna ciągła jest opisywana dwoma funkcjami: • funkcją gęstości f(X) • dystrybuantą F(X) dystrybuanta P(X=a) = O f(a) a funkcja gęstości

Matematyczne techniki zarządzania - 32 Interpretacja wykresu • całe pole pod funkcją gęstości ma powierzchnię równą 1 • wartość funkcji dystrybuanty zmienia się wraz z wartością x w sposób pokazany strzałką (prawa granica pola przesuwa się) • znajomość funkcji dystrybuanty jest potrzebna do rozwiązywania wszelkich zadań: P(X<a), P(X>a), P(7<X<11) itd. Najważniejsze rozkłady ciągłe: • 2 (chi kwadrat) • Erlanga dystrybuanta • Fishera-Snedecora (F) • normalny (Gaussa) (z) • logarytmiczno-normalny • prostokątny f(a) • Studenta (t) • trójkątny • Wallace’a-Snedecora (R) • Weilbulla • wykładniczy a funkcja gęstości

Matematyczne techniki zarządzania - 33 Rozkład prostokątny Nosi on też nazwę rozkładu równomiernego lub jednostajnego (amodalnego). Jego funkcja gęstości ma stałą wartość w przedziale (a, b), natomiast dla pozostałych wartości X jest równa 0. Przykład 11. Autobus linii 144 jeździ regularnie co 8 minut. Czas oczekiwania na autobus (zmienna X) ma więc rozkład prostokątny (rysunek). Oblicz: 1. średni czas oczekiwania 2. jego odchylenie standardowe a=0 b=8 3. szansę czekania dokładnie 3 min 4. szansę czekania około 3 min 5. szansę czekania mniej niż 3 min 6. szansę czekania więcej niż 3 min 7. prawdopodobieństwo, że czas czekania będzie w granicach od trzech do siedmiu minut

Matematyczne techniki zarządzania - 34 1. średni czas oczekiwania E(X) = 4 min 3. P(X=3)=? 4. P(X 3)=? 2. wariancja V(X) =5, 33 min 2; odchylenie standardowe s = 2, 31 min 5. prawdopodobieństwo, że X<3 min odpowiada polu powierzchnia tego pola wynosi 3 h, gdzie h = 1/(a—b) =1/8 =0, 125 P(X<3) =(3)(0, 125) = 0, 375; stąd F(X=3) = 0, 375 6. prawdopodobieństwo, że X>3 min odpowiada polu powierzchnia tego pola wynosi 5 h, czyli (5)(0, 125) = 0, 625 inaczej: P(X>3) = 1 — F(X=3) = 1 — 0, 375 = 0, 625 7. P(3<X<7) = (7— 3)(0, 125) = 0, 5 = pole Pole to można obliczyć jako różnicę dwu wartości dystrybuanty F(X=7)—F(X=3) = — P(3<X<7) = 0, 875 — 0, 375 = 0, 5 TAKIE DZIAŁANIA NA WARTOŚCIACH DYSTRYBUANTY UMOŻLIWIĄ NAM ROZWIĄZYWANIE WIELU ZADAŃ!

Matematyczne techniki zarządzania - 35 Rozkład trójkątny f(X) dystrybuanta Rozkład ten jest dany trzema wartościami zmiennej: a — najmniejsza przewidywana b — najbardziej prawdopodobna c — największa przewidywana Zalety rozkładu funkcja gęstości a b xi c X • łatwy do matematycznego przetwarzania • nadaje się do modelowania wszystkich rozkładów jednomodalnych • stanowi narzędzie porozumienia z osobami nie znającymi statystyki • wykorzystywany do symulacji komputerowej Rozkład normalny Zwany również rozkładem Gaussa lub krzywą dzwonową. Normalny — bo najczęściej spotykany (ludzie, przyroda, technika). Jest to rozkład jednomodalny dany równaniem

Matematyczne techniki zarządzania - 36 Rozkład normalny jest dany dwoma parametrami: punkt przegięcia • wartością średnią m • odchyleniem standardowym WARTOŚĆ ŚREDNIA DECYDUJE O PRZESUNIĘCIU WYKRESU W LEWO LUB PRAWO ODCHYLENIE STANDARDOWE DECYDUJE O SMUKŁOŚCI WYKRESU Interpretacja rozkładu na przykładzie wzrostu mężczyzn m— m m+ bardzo niscy (mało) średni (dużo) bardzo wysocy (mało) TWIERDZENIE CENTRALNE Które zmienne zachowuję się według rozkładu normalnego? m=175 cm = 5 cm Te, które kształtują się pod wpływem wielu czynników, z których żaden nie ma charakteru dominującego.

Matematyczne techniki zarządzania - 37 Istota twierdzenia centralnego (niezależne regulatory) W przypadku wzrostu czynniki to: dziedziczność z różnych pokoleń, odżywianie, środowisko, choroby, warunki rodzinne itd. Aby rozwiązywać zadania z rozkładu normalnego, musimy korzystać z tablicy dystrybuanty. Tablica została przygotowana dla rozkładu znormalizowanego zmiennej standaryzowanej Z. X 1 = 160 Z 1 = -3 X 2 = 165 Z 2 = -2 . . . X 7 = 190 Z 7 = +3 2, 15% 0, 13% 34, 13% 13, 59% POWIERZCHNIA CAŁEGO POLA POD FUNKCJĄ GĘSTOŚCI RÓWNA SIĘ 1

Matematyczne techniki zarządzania - 38 Prawo trzech sigm: w przedziale od (m— 3 ) do (m+3 ) od — 3 do +3 (oś X) (oś Z) mieszczą się praktycznie wszystkie (99, 74%) wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym. Tablice rozkładu normalnego • tablica funkcji gęstości • tablice dystrybuanty SKRYPT s. 156 (tab. II) • tablica kwantyli (wartości krytycznych) SKRYPT s. 156 (tab. IIa) Tablica funkcji gęstości • służy do budowy wykresu funkcji gęstości (krzywej Gaussa) • do odczytu P(X a) lub P(Z a) Proszę nie mylić tej tablicy z tablicami dystrybuanty; łatwo ją rozpoznać po wartości 0, 3989! f(Z)

Matematyczne techniki zarządzania - 39 Tablice dystrybuanty (trzy rodzaje): • w przedziale z od — 3 do +3: F(z) od 0 do 1 (cała funkcja) • w przedziale z od 0 do +3: F(z) od 0, 5 do 1 (połowa funkcji) s. 156 • w przedziale z od 0 do +3: F*(z) od 0 do 0, 5 (F(z)— 0, 5) — najbardziej przydatna, bo pola są symetryczne po obu stronach 0 to samo pole * F (Z) Przy rozwiązywaniu zadań przechodzi się ze zmiennej X na zmienną Z, a następnie z powrotem na zmienną X:

Matematyczne techniki zarządzania - 40 Przykład 12. Agnieszka, wysoka studentka z WZ, jest na dyskotece wśród studentów N(175; 5). Odpowiedz, jakie jest prawdopodobieństwo, że napotka ona studenta o wzroście: a. około 180 cm b. niższym niż 180 cm c. wyższym niż 180 cm d. w granicach pomiędzy 172, 5 i 182, 5 cm TO JEST MODEL! e. w granicach pomiędzy 180 i 182, 5 cm (a) x 1=180 cm m=175 cm standaryzacja: z 1=(180— 175)/5=1 =5 cm odczyt z tablicy f. gęstości: f(1)=0, 2420 P(X 180)=24, 2% (a) (b) odczyt z tablicy dystrybuanty dla z 1=1: F*(1)=0, 3413 P(z<1)=0, 5+0, 3413=0, 8413 -3 -2 -1 0 1 2 3 Z P(X<180)=84, 13% STOSUJEMY TO SAMO ROZUMOWANIE, KTÓRE WYKORZYSTYWALIŚMY PRZY ZADANIACH Z ROZKŁADU PROSTOKĄTNEGO

Matematyczne techniki zarządzania - 41 (c) P(Z>1)=0, 5—F*(1)=0, 5 — 0, 3413=0, 1587 P(X>180)=15, 87% F*(1) (d) x 1=182, 5 cm, x 2=172, 5 cm (b) (c) z 1=(182, 5— 175)/5=1, 5 z 2=(172, 5— 175)/5= — 0, 5 F*(1, 5)=0, 4332 F*(— 0, 5)=F*(+0, 5)=0, 1915 P(— 0, 5<Z<1, 5)=0, 1915+0, 4332=0, 6247 P(172, 5<X<182, 5)=62, 47% F*(-0, 5) F*(1, 5) (e) x 1=182, 5 cm, x 2=180 cm z 1=(182, 5— 175)/5=1, 5 z 2=(180— 175)/5=1 F*(1, 5)=0, 4332 F*(1)=0, 3413 P(1<Z<1, 5)=0, 4332— 0, 3413=0, 0919 (d) (e) P(180<X<182, 5)=9, 19%

Matematyczne techniki zarządzania - 42 Inne zadania tego typu w Skrypcie (s. 54, 72 -74), rozkład normalny mają zmienne: błąd pomiaru, wskaźnik inteligencji, zysk z akcji, zużycie energii, trwałość urządzenia, czas wykonywania pracy, wielkość kredytu bankowego, wynagrodzenie pracowników. Przedział ufności, poziom istotności Uliczka w Neapolu * Przedział ufności jest to przedział, w którym z prawdopodobieństwem 1— znajduje się nieznana wartość zmiennej losowej. Poziom ufności (1— ) jest to prawdopodobieństwo, że nieznana wartość zmiennej losowej znajduje się w przedziale ufności. Rozpatrujemy prawdopodobieństwo przykrycia węzła przez prześcieradło: • przedział ufności (dg—gg) = szerokość prześcieradła • poziom ufności (1— ) = szansa przykrycia węzła • poziom istotności( ) = szansa nieprzykrycia węzła Poziom istotności ( ) jest to prawdopodobieństwo, że nieznana wartość zmiennej losowej nie znajduje się wewnątrz przedziału ufności. • ustala statystyk • kluczowe w statystyce matematycznej • inne nazwy: margines błędu, poziom krytyczny

Matematyczne techniki zarządzania - 43 Przedział ufności dla rozkładu normalnego Przykład 12 cd. Agnieszka postanowiła odrzucić 10% krańcowo niskich i wysokich studentów jako nienadających się do tańca. Określ — jaki przedział wzrostu miała ona na myśli. Przedział ufności może być: Przedział dwustronny • dwustronny Odrzucamy 5% najniższych studentów i 5% najwyższych. • lewostronny Przyjęliśmy =0, 10, czyli /2=0, 05, a tym samym (1— )=0, 90. • prawostronny Należy znaleźć wartości zmiennej X tworzące stosowny przedział ufności (dg, gg). /2=5% • przedtem: znaliśmy zi, a szukaliśmy pola 1— =90% dg Potrzebne do tego obliczenia są odwrotnością obliczeń wykonywanych poprzednio: gg • teraz: znamy pole (1— )/2, a szukamy zi zi= gg=—dg

Matematyczne techniki zarządzania - 44 Szukanie wartości zi można wykonywać przy użyciu: • dowolnej tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego • tablicy kwantyli (1— ) SKRYPT s. 156 (tabl. IIa) Mając (1— )/2 = 0, 45, traktujemy tę wartość jako F*(zi) i odczytujemy z tablicy zi = 1, 64. Następnie przechodzimy na zmienną X: studenci odrzuceni Przedział lewostronny Odrzucamy 10% najwyższych studentów. Odczytujemy dla F*(zi)=0, 40 wartość zi = 1, 28, co daje:

Matematyczne techniki zarządzania - 45 Przedział prawostronny Odrzucamy 10% najniższych studentów. Odczytujemy dla F*(zi)=0, 40 wartość zi =— 1, 28, co daje: Trzy ważne wartości zi: 1, 28; 1, 64; 1, 96 Rozkład logarytmiczno-normalny Jest to rozkład, który po zlogarytmowaniu zmiennej X staje się rozkładem normalnym. Służy do opisywania tych zjawisk, które oprócz wielu wartości małych i średnich mają również wartości bardzo duże (zanieczyszczenie środowiska, wydajność produkcji, wielkość złóż kopalin użytecznych itd. ). f(X) Jednostki-giganty, które zglobalizowały gospodarkę światową: duże złoża węgla, ropy i gazu, wielkie zakłady produkcyjne itp. małe średnie duże bardzo duże X

Matematyczne techniki zarządzania - 46 Rozkład wykładniczy Cechy rozkładu: f(X) • dużo wartości małych • mało wartości dużych • opisuje czas życia elementów nagle psujących się X • brak pamięci Przykład 13. Prowadząc studia literaturowe nad rozkładem wielkości złóż węglowodorów napotkałem na dziwny przypadek: źródła amerykańskie podawały, że jest to rozkład log-norm, a źródła rosyjskie — że rozkład wykładniczy. Wnioski f(X) ZSRR • chodzi o inne zbiory złóż złoża nie- ie • zbiór złóż handlowych • poszukiwania to gra w okręty (fazy I, III i IV) U II IV małe USA III SA po kr yz ys opłacalne • zbiór złóż odkrytych jest próbką niereprezentacyjną I średnie duże bardzo duże X

Matematyczne techniki zarządzania - 47 Inne pojęcia związane ze zmienną ciągłą • Asymetria f(X) • Liczby losowe f(X) dodatnia m>Me ujemna X m<Me X Do wielu czynności używane są liczby losowe, np. do symulacji komputerowej. Źródła (generatory) liczb losowych: tablice, kalkulatory i komputery. Klawisz RAN (random) kalkulatora daje: 0, 813; 0, 160; 0, 208; 0, 729, 0, 305, 0, 863; 0, 440 itd. (liczby pseudolosowe). • Dodawanie niezależnych zmiennych losowych Jeśli zmienne są niezależne (np. dochody dwu różnych sklepów), można sumować ich rozkłady: Można też odejmować: Odchyleń standardowych nie sumuje się!!!

Matematyczne techniki zarządzania - 48 • Wykres liściowy Angielskie stem-and-leaf plots Umożliwia szybkie analizowanie zjawisk Przykład z oszustwem kasjerek • Wykres skrzynkowy Angielskie box-and-whisker diagram (box plot) Pł. 1 Q 3 Pł. 2 Wyrz Często stosowany do prezentacji danych (płotki w odległości 1, 5 różnicy pomiędzy kwartylami) Me X • Przetwarzanie danych empirycznych w rozkład normalny 1. Podzielenie danych xi na przedziały (liczebność 8 -12, szerokość według nominałów monet i banknotów) 2. Ustalenie liczebności empirycznych nie 3. Przeliczenie liczebności na prawdopodobieństwa empiryczne pie 4. Obliczenie parametrów m oraz s 5. Standaryzacja środków przedziałów 5 10 15 20 X

Matematyczne techniki zarządzania - 49 6. Wyznaczenie prawdopodobieństw teoretycznych pio 7. Wyliczenie liczebności teoretycznych nio 8. Ustalenie czy dwa rozkłady różnią się od siebie istotnie PRAWO WIELKICH LICZB Przykład 14. Rzucamy wielokrotnie dwoma monetami i rejestrujemy zmianę średniej liczby orłów na jeden rzut w miarę wzrostu liczby doświadczeń. Wiemy, że wartość oczekiwana liczby orłów E(X) = 1. W miarę zwiększania liczby doświadczeń uzyskany wynik zbliża się coraz bardziej do prawdziwej wartości dla całej populacji

Matematyczne techniki zarządzania - 50 Wnioski • każde takie badanie jest niepowtarzalne • badając próbkę można uzyskać przybliżoną informację o całej populacji • zwiększanie ilości doświadczeń ponad pewną liczbę jest nieopłacalne, gdyż jest kosztowne a nie zwiększa wyraźnie stopnia poznania rzeczywistości • minimalna wielkość (liczebność) próbki wynosi 30 obserwacji • właściwą wielkość próbki dobiera się w zależności od błędu (SKRYPT s. 85) • nie można jednak zagwarantować na 100%, że badanie próbki da wynik zgodny z rzeczywistością • posługiwanie się próbką daje jednak całkiem inny pogląd na rzeczywistość niż pojedyncze obserwacje • inaczej nasze pojedyncze obserwacje, a inaczej wielkie liczby (sąsiadka, bohaterka powieści Homo Faber M. Frischa) • na prawo wielkich liczb składa się szereg twierdzeń, m. in. nierówność Czebyszewa populacja próbka

Matematyczne techniki zarządzania - 51 Sposoby pobierania próbek statystycznych Próbka musi być pobrana w sposób losowy, tzn. każdy element populacji musi mieć jednakową szansę trafienia do próbki. • próbka reprezentatywna • próbka tendencyjna • losowanie systematyczne • losowanie warstwowe • losowanie proporcjonalne WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Przedmiotem tego działu jest wyciąganie wniosków o rozkładzie i parametrach populacji generalnej na podstawie badania próbki. Teoria estymacji zajmuje się szacowaniem parametrów populacji generalnej na podstawie próbki statystycznej. Rodzaje estymacji • punktowa • przedziałowa Pojęcia z teorii estymacji • estymacja • estymator (estimator) • wartość oszacowana (estimate)

Matematyczne techniki zarządzania - 52 Estymator jest to zmienna losowa, której realizacjami są wartości rozważanego parametru powstałe przez pobranie z populacji bardzo wielu próbek. Wartość oszacowana jest to wartość danego parametru wyznaczona na podstawie jednej, rzeczywiście pobranej próbki. Estymator — jak każda zmienna — ma swoją wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe. Cechy dobrego estymatora • nieobciążony • zgodny (PWL) • najefektywniejszy (Vmin) CO MOŻE BYĆ PARAMETREM POPULACJI? Różne parametry — niektóre z nich już znamy (wartość średnia, odchylenie standardowe), inne poznamy później.

Matematyczne techniki zarządzania - 53 ESTYMACJA WARTOŚCI ŚREDNIEJ POPULACJI Celem jest ustalenie — ile wynosi nieznana wartość : • estymacja punktowa: = x • estymacja przedziałowa: budowa — wokół wartości x — przedziału ufności, w którym z prawdopodobieństwem 1— znajdzie się nieznane Przykład 15. Zakładamy, że populacja generalna jest bardzo mała i składa się tylko z sześciu liczb: 2, 3, 4, 5, 6, 7 Parametry tej populacji: = 4, 5 2 = 2, 9167

Matematyczne techniki zarządzania - 54 Przyjmujemy liczebność próbki n=2 i przystępujemy do rozważania ile i jakich dwuelementowych próbek można pobrać — ze zwracaniem — z tej populacji. Próbek tych jest 36, tworzą one rozkład estymatora o następujących parametrach Powtarzając to samo dla n=3 i n=4, otrzymamy 2 = 2, 9167 Mamy więc zależności

Matematyczne techniki zarządzania - 55 oraz wnioski • średnia estymatora równa się średniej populacji • znamy wzór na błąd oszacowania średniej • gdy Możemy teraz zbudować przedział ufności dla nieznanej średniej dla populacji przy dużej próbce: • jeśli znamy odchylenie standardowe populacji • jeśli nie znamy odchylenia standardowego populacji Jak to wykorzystać w praktyce? • pobieramy próbkę, liczymy dla niej x oraz s • budujemy przedział ufności (dg, gg), w którym z prawdopodobieństwem 1— znajduje się nieznana wartość średniej dla populacji — o ile losowanie próbki nie było pechowe (np. „ 2, 2” lub „ 7, 7” w przykładzie 15)

Matematyczne techniki zarządzania - 56 • jeśli losowanie było pechowe, to nieznane leży z szansą /2: 1. albo poniżej dg 2. albo powyżej gg WIĘCEJ O NIEZNANEJ ŚREDNIEJ POPULACJI NIE POTRAFIMY POWIEDZIEĆ! Szerokość przedziału ufności dla zależy od: • przyjętego poziomu istotności • wielkości próbki n dg x gg • jej odchylenia standardowego s ESTYMACJA PROPORCJI DLA POPULACJI Celem jest ustalenie — na podstawie badania próbki — jaka część populacji ma określoną cechę jakościową (niemierzalną), na przykład jaki ułamek (frakcja) wszystkich robotników przeszła szkolenie, jaka część studentów pracuje zawodowo itd. Ustala się proporcję p dla próbki i po przyjęciu określonego poziomu istotnosci buduje się przedział ufności dla nieznanej proporcji dla populacji:

Matematyczne techniki zarządzania - 57 I tym razem szerokość przedziału jest zależna od przyjętego poziomu istotności oraz od błędu oszacowania proporcji sp, który z kolei jest funkcją wielkości próbki i jej proporcji. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ POPULACJI PRZY MAŁEJ PRÓBCE Stwierdzono, że w przypadku małej próbki estymator x zachowuje się według rozkładu nieco odmiennego od rozkładu normalnego. Rozkład ten został utworzony przez Gosseta, który opublikował go pod pseudonimem Student. Stąd mamy rozkład Studenta Funkcja gęstości rozkładu t jest funkcją liczby stopni swobody Gdy dąży do , rozkład t dąży do rozkładu normalnego

Matematyczne techniki zarządzania - 58 Różnica pomiędzy rozkładem Studenta i rozkładem normalnym • rozkład Studenta jest bardziej płaski, ma dłuższe ogony • rozkład Studenta jest określony tylko jednym parametrem rozkład normalny z rozkład Studenta t =8 0 z /2 t /2( ) • obok przedział dwustronny • może też być jednostronny • tablica rozkładu Studenta (SKRYPT s. 157, tabl. III) nie pokazuje ani funkcji gęstości, ani funkcji dystrybuanty • pokazuje wartości t odpowiadające założonemu poziomowi istotności dla danych stopni swobody

Matematyczne techniki zarządzania - 59 Fragment tablicy rozkładu Studenta Przedział ufności dla średniej dla populacji przy małej próbce • wszystkie obliczenia przedziału ufności przeprowadza się tak jak w przykładzie 12 z Agnieszką • rozkład Studenta daje szersze przedziały ufności niż rozkład normalny, gdyż zabezpiecza nas przed skutkami pobrania mniejszej próbki • pobieżne obliczenia można zrobić biorąc dwa błędy oszacowania średniej (odpowiada to mniej więcej poziomowi istotności 5%)

Matematyczne techniki zarządzania - 60 Podsumowanie estymacji wartości średniej dla populacji