MATEMATK ETMNN GENEL AMALARI 1 renci matematie deer

MATEMATİK EĞİTİMİNİN GENEL AMAÇLARI 1. Öğrenci matematiğe değer vermeyi öğrenmeli 2. Öğrenci matematiksel düşünmeyi öğrenmeli 3. Öğrenci iletişim yolu olarak matematiği kullanmayı öğrenmeli 4. Öğrenci iyi bir problem çözücü olarak yetişmeli

PROBLEM ÇÖZME YOLUYLA ÖĞRENME • Her yeni nesil bir önceki nesle göre daha çok ve karmaşık problemlerle karşılaşmaktadır. • Sistem içerisinde öğrencilerin karşılaşacakları problemlerin hepsine çözüm üretemeyeceğine göre eğitimin hedefleri, etkili problem çözme becerilerini geliştirmeye odaklanmalıdır. • • • Problem Nedir? İlk karşılaştığımızda çözemediğimiz ve çözüm bekleyen her tür sorun… Schoenfeld (1992), problemlerin, şaşırtıcı, zor ve öğrenciyi özgün düşünmeye yönlendirici sorular olduğunu vurgulamaktadır. Bilişsel dengesizliğe neden olma…. Özetle problemi; bireyi karşılaştığı zaman rahatsız eden bir olay karşısında yine kendi bilgi ve deneyimi yardımıyla çözüm arama ihtiyacı hissettiği durum olarak tanımlayabiliriz. • •

Problem çözme nedir? • Bilimsel ve analitik düşünmenin başlangıcında yer alan problem çözme, matematiğin önemli öğelerinden birisidir. • Bir problemin çözümünde birey, problem cümlesini anlama, çözüm için gerekli verileri seçme, problemi cevaplama ve bu cevabın mantıklı olup olmadığına karar verme gibi bilişsel süreçlerden geçer. • Matematiksel problemler zihinsel düşünmeyi hareketlendirir ve sonuç olarak da bireyin zihinsel/bilişsel gelişimine yardımcı olur. • Problem çözme ilişkilendirilmiş ideal matematikleştirme sürecinde öğrenci denklem kurarak problem durumunu matematiksel terimlere dönüştürür ve matematiksel kavramları gerçek durumlarla ilişkilendirir. …. Modelleme….

Matematik Öğrenme ve Öğretmede Problem Çözme Niçin Önemlidir? • Literatürde en çok kullanılan problem çözme yaklaşımı, Polya’nın tanımladığı problemi anlama, plan hazırlama, planı uygulama ve değerlendirme aşamalarından oluşan yaklaşımdır. • Bu yaklaşımda öğretim konuyu içeren bir problem durumuyla başlar ve somut durumdan yararlanılarak geliştirilen matematiksel teknikler problemlerin çözümünde kullanılır ve soyutlamalar yapılır. • Araştırmalara göre; matematik kavramları ve becerileri problem çözme ortamında öğrenilebilir. Ayrıca, üst düzey düşünme becerisinin gelişimi, düşünmenin gelişimi de problem çözme deneyimleri ile mümkün olabilir. • Özetle, okul müfredatındaki bazı konuların problem çözme yöntemi ile öğretilmesindeki amaç, öğrencinin problem çözmede zihinsel becerilerini geliştirmek ve bu yolla onun ileride karşılaşacağı problemlerin çözümlerini kolaylaştırmaktır. (vacillate between ktu-metu )

Problem Çözme Yoluyla Öğrenme… • Problem çözmeye dayalı öğrenme ortamında öğretmen üç aşamanın gerçekleşmesine dikkat etmelidir. Bu aşamalar giriş, araştırma ve özetleme aşamalarıdır. • Giriş aşamasında öğretmen, problemi sunar ve problemin muhtemel çözümleri olabileceği yönünde gerekli rehberliği yapar. • Araştırma aşamasında öğrenciler çözüm için bireysel veya grup olarak çalışırlar ve çözüm yollarını tartışırlar. Bu sırada öğretmen öğrenciler arasındaki iletişimi ve tartışmaları gözler, ortaya çıkan fikirleri, stratejileri ve çalışma yöntemlerini bütün sınıfın paylaşmasını sağlar. Bu aşamada öğretmenin yapmış olduğu yardımlar, öğrencilerin daha üretken ve bağımsız çalışmalarını sağlar. • Özetleme aşamasında ise, öğrenciler problem üzerinde araştırma ve inceleme yaptıktan sonra neler tartıştıklarını ve hangi sonuçlara ulaştıklarını sınıf içinde paylaşırlar. Elde edilen sonuçlara göre probleme en uygun çözümler üzerinde uzlaşılır.

Problem Çözme Yoluyla Öğrenme……. • Bu aşamaların tamamlanmasıyla birlikte, birey kendi bilgisinin farkına varır, var olan bilgi birikimini kullanarak probleme çözümler araştırır, tahminde bulunur ve çözümlerini işleme koyar. • Öğrenci, problem durumunda verilen her bilgiyi açıklar, analiz eder, organize eder ve anlamlandırır. Dolayısıyla problem çözme sürecinde öğrencinin matematiksel anlamaları gelişir ve derinleşir.

Problem Çözme Yoluyla Öğrenme……. Problem çözme yöntemi öğrencilerde; • kritik ve analitik düşünmeyi geliştirir. Problem çözme sürecinde elde edilen sonuçları değerlendirir ve farklı sonuçlar üzerinde yeniden araştırma yapar. • algoritmik düşünmeye yardımcı olur. Birey problem çözme sırasında; deneme, inceleme yapma, tahminde bulunma, araştırma yapma gibi bilişsel etkinlikler yapar. • Grup çalışmasına dayalı yapıldığında öğrencilerin matematiksel iletişim becerisi gelişir. Problemlerle ilgili fikirlerini, düşüncelerini ve çözüm yollarını diğer grup elemanlarına ve sınıf arkadaşları ile paylaşır ve onları matematiksel olarak ikna etmeye çalışır.

Problem Çözme Yoluyla Öğrenme……. • Özetle, problem çözme yoluyla matematik öğretmenin gerekçelerini iki başlık altında toplayabiliriz: 1. Birincisi öğrencinin problem çözme becerisini geliştirmesidir. Her gün yeni problemlerle kuşatılmaktayız. Eski nesle göre yeni nesil daha çok ve daha karmaşık problemlerle karşıya gelmektedir. Bu nedenle problem çözme becerisi geliştirilmelidir. 2. İkincisi ise problem çözme etkinliğinin sistematik olarak yapılması bilişsel öğrenmeyi kolaylaştırır. Örneğin, bu sistematik etkinliği George Polya dört adımda özetlemektedir. Öğrenci problem çözme sırasında bu adımları tamamlarken aynı zamanda bir bilişsel öğrenme süreci gerçekleştirmektedir. Ortaya çıkan yeni bilgi öğrencinin kendi gayretlerinin bir ürünüdür. Sonuçta aktif öğrenme gerçekleşir. Doğal olarak matematik pasif şekilde dinleyerek kopya edilerek öğrenilmez, yaparak, yaşayarak öğrenilir. Bunun yollarından biri de problem çözmektir.

Polya’nın Problem Çözme Adımları • Problemi Anlama: – Soru ile ilgili anladıklarını kendi ifadeleri ile, kendi kelime ve şekilleri ile yeniden açıklar. • Çözüm için Plan Hazırlama: – Öğrenci bu aşamada problemde verilenleri ve istenenleri belirlemeye çalışır. Bunlardan yararlanarak kullanabileceği şekil, tablo, grafik, denklem, formül veya algoritmaları hazırlar. • Planın Uygulanması: – Tabloların, grafiklerin veya seçilen formüllerin, denklemlerin çözüme yardım edip etmediğine bakılır. • Değerlendirme: – Ulaşılan çözüm doğru mudur? Başka çözüm yolları var mıdır? • ? ? ? Problemin genişletilmesi, sonucun genelleştirilmesi

A. PROBLEMİ ANLAMA Bu safha da üç temel davranış göze çarpmaktadır: o A 1. Verilenleri ve İsteneni Yazma: Problemde istenilenleri ayrı bir sütun, verilenleri ayrı bir sütun halinde, bilgi kaybına neden olmadan yazmak gerekir. Öğrencilerin bunu yapabilmeleri için problemi iyi anlamış olmaları gerekir. o Örnek : Bir satıcı, tanesini 17 kuruştan aldığı 115 yumurtadan 12 tanesini kırdı. Kalanların tanesini 20 kuruştan sattı. Bu satıştan kar mı zarar mı etmiştir? Kar ya da zarar ne kadardır?

A. PROBLEMİ ANLAMA Verilenler: o Alınan Yumurta : 115 tane o Yumurta Alış fiyatı : 17 kuruş o Kırılan Yumurta : 12 tane o Yumurta satış fiyatı : 20 kuruş İstenenler: o Kar ya da zarar kaç lira?

A. PROBLEMİ ANLAMA A 2. Problemi özet olarak yazma (Kısımlara ayırma): o Örnek(4. Sınıf): Cebimdeki paranın 5/10’u sonra da 4/10’unu harcarsam geriye 250 TL kalıyor. Cebimdeki bütün para ne kadardır? Paranın 5/10 ve 4/10’unu harcarsam geriye 250 TL kalıyor. Cebimdeki para ne kadardır? o Örnek: “Toplamları 24 eden iki sayının çarpımı 119'dur. Bu sayılar kaçtır? ” probleminde toplamları 24 etmek problemin birinci parçasını oluşturur. Öğrenci, toplamları 24 olan sayı çiftlerini seçerek bunlar üzerinde deneme yapabilir. Her seferinde çözüme ne kadar yakınlaştığını görür.

A. PROBLEMİ ANLAMA o A 3. Probleme Uygun şema veya şekil çizme: Problemi anlamanın diğer bir göstergesi de probleme uygun şekil veya şema çizmektir. Problemin anlaşılması için gerekli şekilleri çizme çalışmalarına daha alt sınıflardan başlanmalıdır. o Örnek (2. Sınıf): Ayşe’nin annesi 12 yumurta aldı. Kahvaltıda her gün 3 yumurta yendiğine göre, annenin aldığı yumurtalar kaç günde biter?

A. PROBLEMİ ANLAMA o Probleme uygun şekil:

B. ÇÖZÜM İÇİN BİR PLAN YAPMA Bu safhanın iki temel davranışı vardır: B 1. Yapılacak İşlemlerin Kararlaştırılması ve Problemin Matematik cümlesini yazma: o Yukarıdaki işler yapıldıktan sonra, isteneni bulabilmek için verilenler ile istenen arasındaki ilişkiyi belirtilmesi gerekir… bu ifadeye Matematik Cümlesi denir. o Bazen Matematik Cümlesi yazmak yerine çözümde başvurulacak işlemler sırası ile gerekçeli olarak açıklanır.

B. ÇÖZÜM İÇİN BİR PLAN YAPMA Örnek (2. Sınıf): Burak’ın 7 tane hikaye kitabı vardı. Babası 4 tane daha aldı. Burak’ın kaç tane hikaye kitabı oldu? o Problemin çözümde başvurulacak işlem: hikaye kitaplarının sayısı artacağından toplama işlemi yapılır. o Problemin çözümde kullanılacak Matematik Cümlesi: 7+4=� Örnek (3. Sınıf): Hangi sayısın 3 katının 5 fazlası 26 eder? o Problemin çözümde kullanılacak Matematik Cümlesi: (�x 3)+5=26.

B. ÇÖZÜM İÇİN BİR PLAN YAPMA B 2. Sonuçların Tahmin edilmesi: o Örnek (4. Sınıf): Mustafa’nın babası 7. 65 TL’ye bir gömlek ile tanesi 27 KR’tan 3 çorap aldı. Paranın yarısını ödediğine göre kalan borç ne kadardır? o Bir gömlek yaklaşık 7, 50 TL ve bir çorap 0, 25 KR. O halde 3 x 0, 25=0, 75 KR. O halde toplam 8, 25 TL’dir. Yarısı 4, 125’ten biraz fazla olacaktır.

Diğer Adımlar C. ÇÖZÜM PLANINI UYGULAMA D. ELDE EDİLEN ÇÖZÜMÜN DOĞRULUĞUNU KONTROL ETME E. PROBLEMİN GENİŞLETİLMESİ, SONUCUN GENELLEŞTİRİLMESİ

Problem çözmeye dayalı öğrenme ortamında öğretmenin rolü • Öğretmenin başlıca görevi; öğrencilerin matematik bilgisini ve problemlere verdikleri çözüm yollarını birbiriyle paylaşabilecekleri sosyal ortamları oluşturmaktır. • Bu ortamlarda oluşacak olan tartışma, çözüme ulaşmada kullanılan yöntemler etrafında olmalıdır. • Problem çözmeye dayalı öğrenme ortamında öğretmenin iki görevine vurgu yapılmaktadır: • Bilgi sağlama ve etkinlikleri düzenleme.

Problem çözme yoluyla öğrenmede öğretmen; • öğrenciyi, fikirlerini ve çözümlerini sınıf arkadaşlarıyla paylaşma yönünde teşvik etmelidir. • problem çözme etkinliği sırasında öğrencilerin problem çözme adımlarını tamamlayıp tamamlayamadığına bakmalı ve bir sonraki etkinlik için önlemler almalıdır. • öğrenme ortamında ortaya çıkacak öğrenme ürünlerinin ve deneyimlerinin nasıl değerlendirilmesi gerektiğini iyi bilmelidir. • Özellikle, tartışmaların sonunda ortaya çıkanların geri dönütlerle öğrencilere bildirilmesi ve öğrencilerin elde ettikleri deneyimlerin değerlendirilerek onlara yansıtılması öğrenme açısından önemlidir.

PROBLEMLERİN SINIFLANDIRILMASI • Sıradan (rutin) problemler: Matematik ders kitaplarında yer alan ve dört işlem becerileriyle çözülebilen problemlerdir. – Örn. : 875 kg pirinç 7 aile arasında eşit şekilde paylaşıldı. Her bir aileye kaç kg pirinç düşer? • Sıra dışı (rutin olmayan) problemler: çözümleri işlem becerisinin ötesinde, verileri organize etme, sınıflandırma, ilişkileri görme gibi becerilere sahip olmayı gerektiren ve bir takım eylemleri arkaya yapmayı gerektiren problemlerdir.

Örnekler • İki motosikletli sırasıyla A ve B şehirlerinden 20 km/sa ve 60 km/sa hızla karşılıklı olarak yola çıkıyor. A-B arası 8 km. A şehrinden motosikletliyle aynı an ve yönde hareket eden bir sinek saatte 100 km hızla yola çıkıyor. B’ den gelen motorla karşılaşınca geri dönüyor. Yine A’ dan gelen motorla karşılaşınca geri dönüyor. İki motor karşılaşana kadar yoluna devam ediyor. Sineğin aldığı toplam yol ne kadardır?

PROBLEM ÇÖZMEDE DİKKAT EDİLECEK HUSUSLAR Problem verirken tek çözümü olan problemlerin yanı sıra aşağıdaki türde problemler verilmelidir: • Çözümsüz (40 deveyi her birine tek sayıda deve bağlamak koşuluyla 7 kazığa nasıl bağlarsınız? ), • Birden çok çözümü olan, • Eksik ya da fazla bilgi içeren, • Sayısal veri içermeyen (üç sepette meyveler var fakat siz onları göremiyorsunuz. Sepetlerin üzerinde Elma, Portakal, Elma-Portakal yazıyor. Bu etiketlerin hepsi yanlış yerleştirilmiş. Bir sepetten bir meyve alarak içinde sadece elma olan sepeti bulabilir misiniz? ), • Şekil ya da çizim yapmayı gerektiren, • Gerçek hayatin bir uygulamasını konu edinen, • Veri toplamayı gerektiren, • Değişik zamanlarda çalışmak suretiyle tamamlanabilen, • Tablo ve grafiklerin yorumunu gerektiren problemler.

Problem Çözme Stratejileri 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Matematik cümlesi yazma Tahmin ve kontrol etme: Deneme-yanılma Örüntü arama Rol yapma- Modelleri kullanma Şekil, tablo, şema vb. model kullanma Sistematik bir liste oluşturma Geriye doğru çalışma Mantıksal akıl yürütme Basitleştirme ve küçük parçalara ayırma. Problemi başka biçimde tekrar ifade etme 10. Varsayımları kullanma

1. Matematik cümlesi yazma İstenen yerine ? , �, gibi semboller veya küçük resimler koyarak elde edilen eşitlik veya eşitsizliklerdir. Bilinmeyen yerine konduğunda ifadeyi doğru yapacak değerler bulunur. Daha ziyade ilk sınıflar için uygundur ve öğrencileri cebire hazırlar.

Örnek o Darası 2355 kg olan bir kamyona kaç kg’lık yük konursa bütün kütle 5648 kg olur? 2355+? =5648 o Tanesi 15 YTL’den olan kazaktan 2 tane ve 23 YTL’den bir pantolon alan bir kişi 100 YTL verirse, kaç YTL geri alır? 100 -(2 x 15+23)=?

Örnek • Ahmet ile Ayşe çok çocuklu bir ailenin çocuklarıdır. Ayşe’nin erkek ve kız kardeşlerinin sayısı eşitken, Ahmet’in kız kardeşlerinin sayısı erkek kardeşlerinin sayısının iki katıdır. Bu ailedeki kız ve erkek çocukların sayısını bulunuz.

2. Tahmin ve kontrol etme Deneme yanılma yoludur. Örn. 1: Sudoku Örn. 2: Farkı 63, rakamları toplamı 11 olan iki sayıyı bulunuz. Rakamları toplamı 11 olduğuna göre, sayı çiftleri: 92, 29; 38, 83; 74, 47; 65, 56’dır.

3. Örüntü arama o Yerde bulunan bir böcek odanın 10 m. yükseklikte bulunan tavanına çıkmak istiyor. Böcek gündüzleri 3 m çıkıyor, geceleri uyurken 2 m aşağıya kayıyor. Tavana ne kadar sürede tırmanır?

4. Rol yapma- Modelleri kullanma Karşılan bir problemde verilen durumu gerçekmiş gibi yerine getirme. Dramadan farklıdır. Örn. : 5, 10, 25 KR ile kaç değişik şekilde 25 KR elde edilir.

4. Rol yapma- Modelleri kullanma Problem çözümlerinde pek çok araç model olarak kullanılabilir. Örneğin kare, silindir, yapma paralar, uçağın bıraktığı iz, yapma saat vs. . .

5. Şekil veya şema çizme- Tablo yapma Problemin anlaşılmasını kolaylaştırır. Bazen de çözüm yolu bulunmasına yardımcı olur. Örn. : (sayı doğrusundan yararlanma) 5 ile hangi sayıyı toplarsam 8 eder. Örn. : Ankara’dan Trabzon’a Samsun üzerinden gelen bir kişi farklı ulaşım araçlarını kullanırsa kaç değişik şekilde gelebilir?

5. Şekil veya şema çizme- Tablo yapma İki değişkenli problemlerde tablolardan faydalanılabilir. Örn. : Bir sınıftaki gözlüklü öğrencilerin sayısı sınıftaki kız öğrencilerin sayısına eşittir. Gözlüksüz kız öğrencilerle gözlüklü erkek dir. Gözlüksüz öğrencilerin sayıları sayısı toplamı 24 28 olduğuna göre, sınıftaki gözlüksüz erkek öğrenci sayısı kaçtır?

6. Organize liste yapma Örn. : 3 tane 5 ve 2 tane 10 TL parası olan bir kimsenin yapabileceği farklı harcamaların toplam sayısı nedir? 5 YTL 10 YTL Tutar 3 2 35 3 1 25 3 0 15 2 2 30 . .

Örnek: o Örn. : Türkiye liginde 18 takım vardır. Ligin her iki yarısı boyunca bu takımlar birbiriyle karşılaşır. Acaba 18 takım her yarıda kaç maç yapar?

7. Geriye doğru çalışma Bazı problemlerde sonuncu olay ve olayların akışı ile ilgili bilgi verilir. Başlangıç olayıyla ilgili bilgi verilir. n Örn. : Can arkadaşlarını yemeğe davet etmiş. Annesi yemeğin 45 dk. da, hazırlığın 15 dk. süreceğini hesap etmiş. Ayrıca Can’ın annesi tüm hazırlıkları 15 dk. önce bitirmek istiyor. Can’ın arkadaşları 15’te geleceklerine göre anne en geç saat kaçta hazırlığa başlamalıdır? Örn. : Bir sayının yarısının 4 fazlasının 2 katı alınmış ve 10 bulunmuştur. Sayı kaçtır?

8. Mantıksal akıl yürütme “Bu böyleyse, o halde şu şöyledir” şeklinde çıkarımlarda bulunmadır. Pınar hangi ürünleri almıştır?

9. Basitleştirme Bazı problemlerde çok büyük ve çok küçük sayılar bulunur. Bazen de problemler uzun ve karmaşık olur. Örn. : her sayfasının kalınlığı 1/100 cm olan 200 sayfalık kitabın kalınlığı ½ cm olan 4 tahtanın kalınlığı

Problem Çözme Yoluyla Öğrenme……. • Problem: Gece karanlığında sahildeki bir kasabadan 80 mil kuzeyde bulunan çok kıymetli mücevherle yüklü gemiyi bir korsan gemisi kovalamaktadır. Kasabanın 130 mil doğusundaki noktadan 50 mil kuzeye doğru uzanan tehlikeli kayalıklardan oluşan bir burun vardır. Burunun ucunda gemileri karanlıkta bu tehlikeli kayalıklardan koruyan onlara yol gösteren bir deniz feneri bulunmaktadır. Mücevher gemisi kıymetli yükünü birkaç güvenilir tayfası ile birlikte kıyıya bırakıp en kısa yoldan fenere ulaşarak feneri söndürüp korsan gemisinin kayalara çarpmasını sağlamak istiyor. Bu senaryoya göre mücevher gemisi en kısa yolu izlemek için sahile hangi noktadan çıkmalı ve yükünü bırakmalıdır?

Problem Çözme Yoluyla Öğrenme…….

Problem Çözme Yoluyla Öğrenme…….

• Problem: • Elimizde eşit uzunlukta iki mum bulunmaktadır. Birinci mum 9 saatte, ikinci mum ise 6 saatte yanıp tükenmektedir. İki mumu da aynı anda yaktıktan kaç saat sonra boylardan biri diğerinin iki katı olur?

Grup çalışmasına dayalı problem çözme ortamlarının analitik değerlendirilmesi

Bilgisayar destekli ortamlarda problem çözme • Problem: "Bir motelin bahçesine yüzme havuzu yapılmak isteniyor. Ancak havuzun yapılmasına belli koşullar altında izin veriliyor. Havuz 400 m 2 bir dikdörtgen alana yerleştirilecek, havuzun kuzey, güney ve batısında 2 m, doğusunda 4 m boşluklar bırakılacaktır. Bu koşullar altında 400 m 2 alnın boyutları nasıl seçilmeli ki içerisine yerleştirilecek havuz maksimum büyüklükte olsun? " B B -6 E E-4

B