MATEMATK DNEM DEV TREV TANIM Varsa lim fxfxo

MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ TÜREV

TANIM Varsa, lim f(x)-f(xo) limitinin değerine f fonksiyonunun xo noktasındaki x- x x – xo türevi denir. Bu türev f ’ (xo) veya df (xo) biçiminde gösterilir. dx UYARI f ‘(x) = lim f(x) – f(x 0) x x 0 x – x 0 eşitliğinde, x – x 0 = h yazılırsa tanım; f ‘(x 0) = lim f (x 0 + h) – f (x 0) , h 0 h x – x 0 = x, f (x) – f (x 0) = f yazılırsa , f ‘(x 0) = lim f biçimine dönüşür. x 0 x

ÖRNEK : 3 f (x) = Vx olduğuna göre , f ‘ (1) = ? ÇÖZÜM : f ‘ (1) = lim f (x) – f (1) x 1 x– 1 = lim x 1 3 V x - 1 olur. x– 1 3 V x = h alınırsa , f ‘ (1) = lim h - 1 = lim h 1 h - 1 h– 1 = 1 olur. (h-1) (h + 1) 3

ÖRNEK : f ( x) = lnx ise , f ‘ (x 0) = ? ÇÖZÜM : f ‘ (x 0) = lim ln (x 0 + h ) – lnx 0 = lim 1. ln ( x 0 + h ) = lim 1. (1 + h ) = lim ( 1 + h ) 1/h olur. h 0 h x 0 h 0 x 0 e ln [(1+1 u )u ] 1 x = 0 lim u 8 8 f ‘ (x 0) = lim u 1 ln ( 1 + 1 )u = 1. lne = 1 olur. x 0 u x 0

SAĞDAN TÜREV – SOLDAN TÜREV lim f ( x 0 + h ) – f ( x 0) limitine x 0 noktasındaki soldan türev , lim f ( x 0 + h ) – f ( x 0) limitine de h 0 - h h 0+ h x 0 noktasındaki sağdan türev denir. f fonksiyonunun x 0 noktasında türevli olması için sağdan türevin soldan türeve eşit olması gerekir. ÖRNEK : f (x) = x 2 – 4 fonksiyonu , x 0 = 2 de türevlimidir? ÇÖZÜM : Soldan türev: lim x 2 – 4 - 0 = lim - x 2 + 4 = - 4 x 2 - x – 2 Sağdan türev: lim x 2 – 4 - 0 = 4 tür. x 2+ x-2 O halde f ‘(2) yoktur.

BİR FONKSİYONUN TÜREV FONKSİYONU A A Bir f fonksiyonu x 0 C ( a , b ) için türevliyse, x C ( a , b )için bir f ‘ ( x 0 ) değeri elde edilecektir. Burada f ‘ (x 0) , x 0 ın bir fonksiyonudur. ÖRNEK : f ( x ) = 3 x 2 – 4 x ise, f ‘ (x) = ? ÇÖZÜM: F ‘(x 0) = lim 3 x 2 – 4 x – 3 x 0 – 4 x 0 = lim 3 (x – x 0) (x + x 0) – 4 (x – x 0) x x 0 x – x 0 = lim ( x – x 0 ) ( 3 x +3 x 0 – 4) x x 0 x – x 0 = 6 x 0 – 4 olur. f ‘ ( x 0 ) = 6 x 0 – 4 olduğundan , f ‘ (x) = 6 x – 4 bulunur. UYARI : Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tek fonksiyondur.

BAZI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ VE TÜREV ALMA METOTLARI 1. Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır. f (x) = V 2 ise, f ‘ (x) = 0 dır. 2. Birim fonksiyonun türevi 1 dir. 3. f (x) = a. x ise, f ‘(x) = a dır. ( a. C R) 4. f (x) = a. x n ise, f ‘(x) = a. n. . x n-1 ( n. C R) 5. y = a. f (x) ise, y ‘ = a. f ‘ (x) ( a. C R) 6. y = f (x) + g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) + g ‘ (x) 7. y = f (x). g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x). g (x) + g ‘ (x). f (x) 8. y = f ( x ) ise, y ‘ = f ‘ (x). g (x) – g ‘ (x). f (x) g (x) (g (x) )2 I (x) = x ise, I ‘ (x) = 1 dir.

ÖRNEKLER 1. 2. 3. f (x) = 3 x 5 ise, f ‘(x) = 3. 5. x 5 -1 = 15 x 4 tür. f (x) = 4 ise, f (x) = 4. x -3 olduğundan, f ‘ (x) = - 3. 4. x – 3 – 1 = - 12. x – 4 = - 12 bulunur. x 3 x 4 f (x) = 1 = x – 1/3 olduğundan, f ‘(x) = - 1. x - 1/3 – 1 = - 1. x – 4/3 = -1 olur. 3 V x x 1/3 3 3 3. 3 Vx 4 3 x 3 Vx 4. f (x) = 5 x 2 + 1 = 5 x 2 + x – 1 olduğundan, f ‘(x) = 10 x – x -2 = 10 x - 1 dir. x x 2 5. f (x) = Vx. (x 3 – 2 x) f ‘(x) = (Vx )’. (x 3 – 2 x) + (x 3 – 2 x)’. Vx = 1. (x 3 – 2 x) + (3 x 2 – 2). Vx bulunur. 2 Vx 6. y = x - 1 ise, y ‘ = x 2 – 2 x (x – 1)’. (x 2 – 2 x) – (x 2 – 2 x)’. (x – 1) = (x 2 – 2 x)2 7. f (x) = sin x ise, f ‘(x) = cos x 8. f (x) = cos x ise, f ‘(x) = - sin x 9. f (x) = tan x ise, f ‘(x) = 1 + tan 2 x = 1 = sec 2 x 2 cos x 10. f (x) = cot x ise, f ‘(x) = - (1 + cot 2 x) = 1 2 = - cosec 2 x sin x 1. (x 2 – 2 x) – (2 x – 2). (x – 1) olur. (x 2 – 2 x)2

ÖRNEK: y= sin x + 1 cos x – 1 ise, y ‘= (sinx + 1)’. (cosx – 1) – (cosx – 1)’. (sinx + 1) = + cosx (cosx – 1) + sinx (sinx + 1) (cosx – 1)2 2 2 + cosx = cos x + sinx (cosx – 1)2 = 1 + sinx – cosx (cosx – 1)2 olur.

TERS FONKSİYONUN TÜREVİ f, (a , b) de türevli ve bire – bir , f – 1 fonksiyonu da f (a , b) de türevli ise, f (x 0) = y 0 iken, 11. (f – 1)’ (y 0) = 1 olur. f ‘(x 0) ÖRNEK : – 1)’ (1) = ? 4 x + 1 ise, (f f (x) = 2 x – 3 ÇÖZÜM : y 0 = 1 olduğundan 4 x 0 + 1 = 1 2 x 0 – 3 x 0 = - 2 bulunur. f ‘(x) = 4 (2 x – 3) – 22 (4 x + 1) = - 14 2 (2 x – 3) (f – 1 )’ (1) = 1 f ‘(-2) -2 7 = f ’(-2) = -7 bulunur. 2 - 14 = - 2_ 49 7

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI f (x) = sin x fonksiyonu R de bire-bir değildir. Ancak uygun bir tanım kümesi seçilerek seçilen aralıkta bire-bir olması sağlanabilir. İşte f (x) = sin x fonksiyonunun bire-bir olduğu bir aralıkta; f – 1 (x) = sin – 1 x ters fonksiyonu vardır ve y = arcsin x biçiminde gösterilir. Aynı biçimde y = arccos x, y = arctan x ve y = arccot x fonksiyonları elde edilebilir. Burada; arcsin 1 2 , arc tan 1 6 . . . v. s. yazılabilir. 4 Ayrıca, arc sin (sin x) = sin – 1 (sin x) = x arc cot (cot x) = cot – 1 (cot x) = x. . . v. s. olur.

ÖRNEK tan (arc sin x) = ? ÇÖZÜM } arc sin x = y olsun. sin y = x olacaktır. Yandaki şekilden; y tan (arc sin x) = tan y x x y V 1 – x 2 bulunur. V 1 – x 2 tan (2. arc sin x) = ? 1 ÖRNEK ÇÖZÜM } arc sin x = y olsun. sin y = x olur. y 2 x__ tan (2. arc sin x) = tan (2 y) = 2 tan y = V 12– 1 - __x __2 1–x 2 2 x__. 1 – x bulunur. = 1 – 2 x 2 V 1 – x 2 1 y V 1 – x 2 x

TÜREVİ 12. f (x) = arc sin x ise, f ‘(x) = 13. f (x) = arc cos x ise, f ‘(x) = 14. f (x) = arc tan x ise, f ‘(x) = 15. f (x) = arc cot x ise, f ‘(x) = 1 . V 1 – x 2 -1 . V 1 – x 2 1 . 1 + x 2 -1 olur. 1 + x 2 BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ VE TÜREVDE ZİNCİR KURALI f, x 0 da, g de f (x 0) da türevli fonksiyonlar olsun. Bu durumda, (gof) ‘(x 0) = g ‘(f (x 0)). f ‘(x 0) olur. Örneğin; y = 3 (x 2 – 3 x)5 fonksiyonu f (x) = x 2 – 3 x ve g (x) = 3 x 5 olmak üzere y = (gof) (x) fonksiyonudur. g ‘(x) = 15 x 4, g ‘(f(x)) = 15(x 2 – 3 x)4 , f ‘(x) = 2 x – 3 olduğundan, y ‘ = g ‘(f(x)). f ‘(x) = 15(x 2 – 3 x)4. (2 x – 3) bulunur. Daha çok fonksiyonun bileşkesi için; y = f (g (h (t (x) ) y ‘ = f ‘ (g (h (t (x) ) ) ). g ‘(h (t (x) ) ). h ‘(t (x) ). t ‘(x) bulunur.

y = sin 3 (x 2 + x) ise, ÖRNEK y ‘= 3 sin 2 (x 2 + x). cos (x 2 + x). (2 x + 1) olur. ÖRNEK y sin 2 V cos (2 x) ise, y ‘ = 2 sin V cos 2 x. Cos V cos 2 x. _____1____. (- sin 2 x). 2 olur. 2 V cos 2 x UYARI y = g (f (h (t (x) ) için: u = t (x) y = g (f (h (u) ) ) v = h (u) y = g (f (v) ) z = f (v) y = g (z) k = g (z) y = k yazılırsa, dy/dx = dy/dk. dk/dz. dz/dv. dv/du. du/dx eşitliği yardımıyla da türev alınabilir.

ÖRNEK f (x) = sin 3 (cos x) ise, f ‘(x) = ? ÇÖZÜM u = cos x f (u) = sin 3 u, v = sin u f (v) = v 3 df/dx= df/dv. dv/du. du/dx = 3 v 2. cos u. (- sin x) = (- 3 sin 2 u. cos (cos x). sin x = - 3 sin 2 (cos x). cos (cos x). sin x olur. Buna göre türev kuraları; 1. y = (f (x) )n ise, y ‘ = n. (f(x) )n – 1. f ‘(x) 2. y = V f (x) ise, y ‘ = _____f ‘(x)____ 2. V f (x) 3. y = n. V(f(x))m ise, y ‘ = _____ f ‘ (x) _____ 4. y = cos f (x) = ise, y ‘ = - f ‘(x). sin f (x) n n. V f (x)n – m 6. y = arc sin (f (x) ) = ise, y ‘ = ____f ‘(x)___ 5. y = sin(f (x) ) =ise, y ‘ = f ‘(x). cos f (x) V 1 – f 2 (x) 7. y = tan(f (x) ) = ise, y ‘ = f ‘(x). ( 1 + tan 2 (f (x) ) 8. y = arc tan x ise, y ‘ = ____f ‘(x)____ 1 + f 2 (x) ÖRNEK f (x) = arc tan V x ise, f ‘(x) = ? ÇÖZÜM ___1___ 2 Vx f ‘(x) = _______ 1+x olur.

KAPALI FONKSİYONLAR VE TÜREVİ F (x, y) = 0 biçimindeki bağıntılara kapalı fonksiyon denir. Burada, y = f (x) tir. y 3 x 2 + 2 x 2 y + 3 x – 5 y 2 +2 = 0 yx – x + y = 0 gibi. ÖRNEK y. x 2 + 5 y 2 x – x 2 + 3 y + 2 = 0 ise, y ‘ = ? ÇÖZÜM y = f (x) olduğundan fonksiyon, f (x). x 2 + 5. (f (x) )2. x – x 2 + 3 f (x) + 2 = 0 biçiminde yazılabilir. f ‘(x). x 2 + 2 x. f (x) + 5. 2 f (x). f ‘(x). x + 5. (f (x) )2 – 2 x + 2 f ‘(x) = 0 f ‘(x) (x 2 + 10 x f (x) + 3) = -2 x f (x) – 5 (f (x) )2 + 2 x 2 x f (x) – 5 (f (x) ) f ‘(x) = ______________ x 2 + 10 x f (x) + 3 olur. y‘ UYARI y sabit düşünülerek alınan türev f ‘(x) , x sabit düşünülerek alınan türev f ‘(y) ise; - f ‘(x) olur. y ‘ = _____ f ‘(y) = - 2 xy – 5 y 2 + 2 x ________ x 2 + 10 xy + 3 bulunur.

LOGARİTMİK FONKSİYONLARDA TÜREV 1. y = lnx ise, y ‘ = 1/x 2. y = lnf (x) ise, y ‘ = f ‘(x) 3. y = log a x ise, y ‘ = 1/x. log a e / f (x) 4. y = log a f (x) ise, y ‘ = f ‘(x) / f (x). log a e ÖRNEK f (x) = ln (cos 2 x) ise f ‘( /8) = ? ÇÖZÜM f ‘(x) = - 2 sin 2 x _______ = - 2 tan 2 x cos 2 x f ‘( __ ) = - 2 tan __ = - 2 bulunur. 8 4

ÜSTEL FONKSİYONLARDA TÜREV 1. y = e x ise, y ‘ = e x 2. y = e f (x) ise, y ‘ = f ‘(x). e f (x) 3. y = a x ise, y ‘ = a x. lna 4. y = a f (x) ise, y ‘=f ‘(x). a f (x). lna ÖRNEK y = (2 x 2 + 1)sin x ise, y ‘ = ? ÇÖZÜM Her iki tarafın doğal logaritması alınırsa lny = ln (2 x 2 + 1)sin x lny = sin x. Ln (2 x 2 + 1) y‘ 4 x _____ ___ cos x. ln (2 x 2 + 1) +. sin x y 2 x 2 + 1 4 x. sin x y ‘ = (2 x 2 + 1)sin x. [cos x. ln (2 x 2 + 1) + ______ bulunur. 2 x + 1

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ( ARDIŞIK TÜREV ) Bir y = f (x) fonksiyonun türevinin türevine 2 nci türev, onun da türevine 3 ncü türev denir. d 3 f biçiminde gösterilir. y = f (x) in 3 ncü türevi y’’’ = f ‘’’(x) veya _______ dx 3 ÖRNEK f (x) = 2 x 4 + 5 x 3 + 7 ise , d 2 f 5 f 3 f 4 f df _____ d ____ d 3 2 2 d 8 x +15 x , 24 x +15 x , 48 x +15 , 48 , = = = 0 bulunur. = 4 5 3 dx = dx 2 dx dx dx

TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI y f (x) – f (x 0) ______ oranı, AB kirişinin Ox ile pozitif x – x 0 yönde yaptığı açının tanjantı yani AB nin eğimidir. x x 0 olması durumunda AB kirişi eğriye A noktasında çizilen teğete yaklaşır. f (x) – f (x 0) O halde, f ‘(x 0) = lim ______ x – x 0 x x 0 çizilen teğetin eğimini vermektedir. y = f (x) f (x 0) A . x – x 0 B f (x) – f (x 0) C x x 0 değeri y = f (x) eğrisine, x = x 0 da x

ÖRNEK Vx 2 x – 1 alanı nedir ? f (x) = eğrisine x 0 = 1 de çizilen teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin ÇÖZÜM x 0 = 1 y = V 1 2– 1 = 1, A (1, 1) _____ 1. (2 x – 1) – 2. V x 2 Vx f ‘(x) = ______________ (2 x – 1)2 ___ 1. 1– 2 3 2 1 - 2 = - ___ m = f ‘(1) = _______ = ___ 2 2 1 değerleri y – y 0 = m (x – x 0) da yerine yazılırsa; 5 olur. 3 x + ___ 3 (x – 1) y = - ___ y– 1 = 2 2 2 5 5. ___ _________ 3 5 25 ___ x=0 y= , y = 0 x = 53 ve A = 2 = 12 olur. 2 2

ÖRNEK y = x 2 + 2 x eğrisinin y = 4 x + 1 doğrusuna paralel teğetinin A değme noktasının koordinatları nedir ? ÇÖZÜM y = 4 x + 1 doğrusunun eğimi m = 4 olduğundan, teğetin eğimi de 4 olmalıdır. f ‘(x 0) = 4 2 x 0 + 2 = 4 x 0 = 1 y 0 = 12 + 2. 1 = 3 ve A(1, 3) olur.

ÖRNEK Bir cisim 20 m/sn ilk hızla dikey olarak fırlatılıyor. Bu cisim kaç metre yüksekliğe ulaşır? ÇÖZÜM 1 at 2 + V. t den, x(t) = -5 t 2 + 20 t olur. x(t) = - ____ 0 2 Cisim maksimum yüksekliğe ulaştığında hızı sıfırdır. x’(t) = - 10 t + 20 = 0 t = 2. saniye ve x(2) = -5. 4 + 20. 2 = 20 m yüksekliğe ulaşır. ÖRNEK Yandaki şekilde birbirini dik kesen iki yolda, iki 10 m 5 m/sn I. aracın başlangıç durumları verilmiştir. Aynı anda ok yönünde 2 m/sn ve 5 m/sn hızlarla hareket eden bu iki aracın 1. Saniyede 2 m/sn birbirlerinden uzaklaşma hızı ne olur ? II. ÇÖZÜM I. hareketli x(t) = 10 + 5 t , II. hareketli x(t) = 2 t kuralı ile yol alır. Aralarındaki uzaklık ; l(t) = V 4 t 2 + (10 + 5 t)2 l(t) = V 29 t 2 + 100 t + 100 79 ______ 158 = ______ m/sn bulunur. ve l’(1) = V 229 2. V 229 58 t + 100 l(t) = ________ 2 V 29 t 2 + 100 t + 100

TÜREVİN HAREKET PROBLEMLERİNE UYGULANMASI Zaman yol fonksiyonu verilen bir hareketlinin, t 1 saniyede aldığı yol x (t 1) olsun. x (t) – x (t 1) ______ oranı t 1, t zaman aralığındaki t – t 1 ortalama hızı, t t 1 için limitte t 1 anındaki ani hızı verir. x (t) – x (t 1) x ______ , V (t 1) = lim _____ Vort = t t 1 t = x’ (t 1) olur. t – t 1 Yani, yolun zamana göre türevi hızı verir. Benzer düşünülürse hızın zamana göre türevinin (yolun zamana göre 2. türevi) anlık ivmeyi verdiği bulunur.

TÜREVİN UYGULAMALARI TANIM: Bir fonksiyonun [a, b] aralığında aldığı en büyük ve en küçük değerlere maximum ve minimum veya extramum değerler denir. TANIM: Bir f(x) fonksiyonu C > 0 için, (x 1 - C , x 1 + C ) aralığında extramum değer alıyorsa, bu değerlere yerel maximum ve minimum denir. y A Yandaki şekilde f: [a, b] R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. a x 1 x 2 0 x 3 b x 1. [a, b] aralığında, x = a için fonksiyonun minimum değeri, x = x 3 için maximum değeri elde edilir. 2. x = x 1 ve x = x 3 için yerel maximum, x = x 2 için yerel minimum var.

TEOREM: f: [a, b] R, fonksiyonu [a, b] de sürekli, (a, b) de türevli olsun. Bu fonksiyon x 1 C (a, b) de extramum değer alıyorsa, f ‘(x 1) = 0 dır. TANIM: x 1 < x 2 f(x 1) < f(x 2) ise, artan x 1 < x 2 f(x 1) > f(x 2) oluyorsa, f(x) azalan fonksiyon dur. TEOREM: Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkta türev pozitif, azalan olduğu aralıkta türev negatiftir. y=f(x) y f: [a, b] R 1. x 1 ve x 3 te yerel minimum, x 2 de yerel maximum var. f ‘(x 1) = f ‘(x 2) = f ‘ (x 3) = 0 dır. a x 1 x 6 x 2 x 4 x 3 x 5 b x 2. f, (a, x 1), (x 2, x 3) aralıklarında azalan. Bu nedenle f ‘(x 4)<0, f ‘(0)<0 dır. 3. f, (x 1, x 2), (x 3, b) aralıklarında artan. Bu nedenle f ‘(x 6) >0, f ‘(x 5)>0 olur.

İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI İkinci türevin pozitif olduğu aralıklarda eğri içbükey, negatif olduğu aralıklarda eğri dışbükey dir. F “(x 0) = 0 için, x 0 da ikinci türev işaret değiştiriyorsa, x = x 0 da dönüm noktası vardır denir. Öğrendiklerimizi aşağıdaki grafikte özetleyelim. y y=f(x) D. N x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 D. N x 6 x 7 x 8 x 1. f(x 1) = 0, f ‘(x 1)> 0, f “(x 1)< 0 2. f “(x 4) = f “(0) = 0, f ‘(x 3) = f ‘(x 5) = f ‘(x 6), = f ‘(x 8) = 0 3. f(x 2) > 0, f ‘(x 2)> 0, f “(x 2) < 0

SONUÇLAR I. f ‘(x 1) = 0, f “(x 1) > 0 ise, x 1 de yerel minimum vardır. II. f ‘(x 2) = 0, f “(x 1) < 0 ise, x 2 de yerel maximum vardır. ÖRNEK f(x) = x 3 – 6 x 2 – 1 fonksiyonunun artan – azalan olduğu aralıklar, extramum noktalar ve dönüm noktasını bulunuz. ÇÖZÜM x 0 2 4 y’=3 x 2 -12 x + - - + y’’=6 x-12 - - + + Artan dış Azalan Artan iç bükey max. bükey iç bükey D. N min

ÇÖZÜMLÜ TESTLER SORU - 1 1) = ? f(x) =[x+1]+ x 2 -x-6 +sgn x ise f ‘( ___ 2 A) 0 B) – 1 C) 1 D) – ___ 1 2 E) ÇÖZÜM 1 civarında; [x+1] = 1, x 2 -x-6 = -x 2+x-6 ve sgn(x) = 1 olduğundan, x = ___ 2 1 +1 = 0 bulunur. 1) = -2. ___ f ‘(x) = 0 -2 x+1+0 = -2 x+1 ve f ‘( ___ 2 2 YANIT : A ___ 1 2

SORU - 2 )=? f(x) =x 2 , g(x) = 6 x – 1 ve h(x) = sinx olduğuna göre (fogoh)’(_____ 6 A) 12 V 3 B) 6 V 3 C) 3 V 3 D) 2 V 3 E) 3 ÇÖZÜM (fogoh)’(x) = f ‘(g(h(x))). g’(h(x)). h’(x) olduğundan, f ‘(x) = 2 x f ‘(g(h(x))) = 2. (6 sinx – 1) g ‘(x) = 6 g‘(h(x)) = 6, h’(x) = cosx olduğundan, ) 2. (6 sin___ (fogoh) ‘(x) = 2. (6 sinx – 1). 6. Cosx ve (fogoh) ‘ (___ - 1). 6. cos ___ 6 6 6 1 V 3 = 12 V 3 2. (6. ___ -1). 6. _____ olur. 2 2 YANIT : A

SORU - 3 1 - arctan _____ 1 x = arctan _____ 2 3 1 A) _____ 7 B) 1 _____ V 7 C)_____ 2 olduğuna göre, sin x = ? _____ 5 D) V 2 E) _____ 1 5 V 2 ÇÖZÜM 1 - arctan _____ 1 x = arctan _____ her iki tarafın tanjantı alınırsa; 2 3 1 ) – tan(arctan __ 1 ) 1 1 tan(arctan __ _____ 1 _________________ 2 3 tanx = 3 2 ________ 6 1 tanx 1 = __ 1 + tan(arctan ) 1 1 1 2 3 1 + _____ 2 3 6 1 1. ____ 6 _____ olur. = 7 = 6 7 YANIT : E sinx = _____ 1 5 V 2 bulunur.

SORU - 4 lim _______ sin x = ? x 2+ x 2 – 4 x + 4 1 A) - ___ 2 B) 1 - ___ 4 C) - 1 D) + ÇÖZÜM lim _______ . cos x = + lim _______ sin x = x 2+ 2 x - 4 x 2+ x 2 – 4 x + 4 YANIT : D E) -

SORU - 5 9 x -1 y= f(x) 6 y y = 9 x – 16 doğrusunu apsisi – 4 olan A noktasından kesen ve aynı doğruya B noktasında teğet olan üçüncü derece fonksiyonu hangisidir ? y= B 0 -4 2 x A A) f (x) = x 3 – 3 x B) f (x) = x 3 – 3 x – 2 D) f (x) = x 3 – 3 x – 1 E) f (x) = x 3 – 3 x – 3 ÇÖZÜM C) f (x) = x 3 – x + 1 f (x) = x 3 + ax 2 + bx olur. x = 2 f (x) = 2 ve 4 a + 2 b = - 6 2 a + b = - 3 ( I ) Ayrıca, ortak çözüm x = - 4 için sağlanmalıdır. Buna göre; x 3 + ax 2 + bx = 9 x - 16 ifadesinde; x = - 4 ise, - 64 + 16 – 4 b = - 36 – 16 4 a – b = 3 ( II ) 2 a + b = - 3 a = 0, b = - 3 ve f (x) = x 3 – 3 x olur. 4 a – b = 3 YANIT A

y SORU - 6 f : [0 , 6] R olmak üzere üçüncü dereceden y = f (x) polinom fonksiyonunun grafiği yandaki şekilde verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi YANLIŞTIR ? A) f (3) < 0 B) f ‘(3) < 0 D) f ‘(1) > 0 E) f “(1) > 0 2 4 0 5 6 x D. N C) f “(3) < 0 ÇÖZÜM f , x = 1 civarında dış bükey olduğundan f ”(1) < 0 olmalıdır. Oysa, E çeldiricisinde bunun tersi yazılıdır. YANIT E

SORU - 7 x 2 + ax + 2 f (x) = x 2 + 2 x A) – 2 B) – 1 eğrisinin – 1 apsisli noktasında extramumu vardır. a = ? C) 0 D) 1 E) 2 ÇÖZÜM (2 x+a)(x 2+2 x) – (2 x+2) (x 2+ax+2) f ‘(x) = (x 2+2 x)2 x = - 1 f ‘(x) = 0 olduğundan, (- 2 + a) (1 - 2) – (-2 + 2) (1 - a + 2) = 0 - 2 + a = 0 a = 2 olur. YANIT E

SORU - 8 f (x) = x A) x 2 - 1 1 2 ise f ’ (1) = ? B) C) 2 D) 0 ÇÖZÜM x 2 – 1 y 1 = 2 x l nx + 1 y=x olsun. l ny = (x 2 – 1). l nx x y f ’(x) = x x 2 – 1 . [ 2 x. l nx+ x 2 -1 ] f ’(1)=10. [2. 1. 0. 0]=0 bulunur. x YANIT D E) 1 . (x 2 – 1). l nx

SORU - 9 e f (x) + e – f (x) = 2 x ve f (1) = 2 olduğuna göre f ‘(1) = ? 2 A) e 2 – e-2 2 e B) 2 -2 e –e C) e 4 – e 2 D) 2 e – 1 e 2 E) e ÇÖZÜM (ef (x) + e-f (x))’ = (2 x)’ f ‘(x). ef (x) - f ‘(x). e-f (x) = 2 f ‘(x) = f ‘(1) = 2 e 2 – e-2 YANIT D 2 ef (x) – e-f (x) olur.