MATEMATK DNEM DEV KONU MATRSLER VE DETERMNANTLAR DERS

  • Slides: 69
Download presentation
MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR DERS ÖĞRETMENİ: BAŞLAMAK İÇİN TIKLAYIN. . .

MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR DERS ÖĞRETMENİ: BAŞLAMAK İÇİN TIKLAYIN. . .

LİNEER CEBİR • MATRİSLER • DETERMİNANTLAR

LİNEER CEBİR • MATRİSLER • DETERMİNANTLAR

TANIM: m, n için, (i=1, 2, 3, . . . , m ; j=1,

TANIM: m, n için, (i=1, 2, 3, . . . , m ; j=1, 2, 3, . . . , n) olmak üzere , sayılarından oluşturulan; reel i. satır j. sütun tablosuna, m x n biçiminde (tipinde) bir matris denir. Satranç tahtası 8 x 8 tipinde bir matris örneğidir.

A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve elemanındaki i sayısına birinci

A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve elemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir. elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütununun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin satır sayısını, n de sütun sayısını gösterir. . A matrisinin elemanlarına i. satır elemanları; elemanlarına da j. sütun elemanları denir.

Satır Matris Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her satırına, satır matrisi denir. B

Satır Matris Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her satırına, satır matrisi denir. B 1 = [a 11 a 12. . . a 1 n] (1. satır matrisi) B 2 = [a 21 a 22. . . a 2 n] (2. satır matrisi). . . Bm = [am 1 am 2. . . amn] (m. satır matrisi) A matrisi satır matrisine bağlı olarak, A= [aij]m x n = şeklinde gösterilir.

Sütun Matris Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi denir. •

Sütun Matris Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi denir. • • • A 1 : 1. satır matrisi A 2 : 2. satır matrisi. . . An : n. satır matrisi A matrisi sütun matrisine bağlı olarak , A= [aij]m x n = [A 1 A 2 A 3. . . An] şeklinde gösterilir.

Kare Matris Tanım: n x n tipindeki A= [aij]m x n matrisine, n. basamaktan

Kare Matris Tanım: n x n tipindeki A= [aij]m x n matrisine, n. basamaktan kare matris denir. matrisi , 2. sıradan bir kare matrisidir. Satranç tahtası aynı zamanda 8 x 8 ‘lik bir kare matris örneğidir.

Sıfır Matrisi Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise, sıfır matrisi denir ve O harfi

Sıfır Matrisi Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise, sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir. matrisi , 2 x 3 tipinde bir sıfır matristir.

Asal Köşegen , Yedek Köşegen Tanım : A= [aij]n x n kare matrisine a

Asal Köşegen , Yedek Köşegen Tanım : A= [aij]n x n kare matrisine a 11, a 22, a 33, . . . , ann elemanlarının oluşturduğu köşegene, asal köşegen; an 1, a(n-1)2, . . . , a 1 n terimlerinin oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir. a 11, a 22, a 33 : asal köşegen a 31, a 22, a 13 : yedek köşegen Yedek köşegen Asal köşegen

Köşegen Matris Tanım: A= [aij]n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların dışında,

Köşegen Matris Tanım: A= [aij]n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare matrise, köşegen matris denir. matrisi, 3. sıradan bir köşegen matrisidir.

Skalar Matris Tanım: A= [aij]n x n köşegen matrisinde a 11 = a 22

Skalar Matris Tanım: A= [aij]n x n köşegen matrisinde a 11 = a 22 = a 33. . . = ann = k ise, (k R) bu matrise, skalar matris denir. matrisi, 2. sıradan bir skalar matristir.

Birim Matris Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise,

Birim Matris Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim matris denir. n x n tipindeki birim matris In ile gösterilir. matrisi , 4. sıradan birim matrisidir. I 4 ile gösterilir. (asal köşegen)

Şekildeki bulmaca 15 x 15 tipinde bir matris örneğidir.

Şekildeki bulmaca 15 x 15 tipinde bir matris örneğidir.

İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, eşit matrisler

İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, eşit matrisler denir. (i, j) M x N için, aij = bij [aij]m x n = [bij]m x n ÖRNEK: é 5 a 3 a + 2 b ù A=ê ú b 5 û ëa + 2 b olmak üzere, A = B ise ve é 4 xù B=ê ú ë y 2û kaçtır ?

é 5 a 3 a + 2 bù é 4 x ù matrislerinin ÇÖZÜM

é 5 a 3 a + 2 bù é 4 x ù matrislerinin ÇÖZÜM : A = B ê ú =ê ú eşitliğinden, b + a 2 b 5 ë û ë y 2û 5 a = 4, 5 b = 2 , 3 a + 2 b = x , a + 2 b = y olduğundan 5 a = 22 5 b = 2 52 b = 22 5 a = 52 b den, a =2 b olur. Bulunan değer x/y de yerine yazılırsa; bulunur.

Çözüm: x + y = 6 x- y = 4 2 x = 10

Çözüm: x + y = 6 x- y = 4 2 x = 10 x = 5

MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ Tanım: A= [aij]m x n ve B= [bij]m x n matrisleri

MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ Tanım: A= [aij]m x n ve B= [bij]m x n matrisleri verilmiş olsun. A + B = [aij]m x n + [bij]m x n= A= [aij+ bij]m x n matrisine, A ve B matrislerinin toplamı denir. O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır.

ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B matrisi 3

ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır?

ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre; m+1 = n+1

ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre; m+1 = n+1 p-2 = 2 3 xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3 m =n 2 , p=4 , m=n p=4 k=2 k = 2 olmalıdır. m+p+k = 2+4+2 = 8 dir.

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELİKLERİ 1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özeliği vardır. 2. Matrisler kümesinde

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELİKLERİ 1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özeliği vardır. 2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği vardır.

3. Sıfır matrisi, toplama işleminin etkisiz elemanıdır. 4. matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi,

3. Sıfır matrisi, toplama işleminin etkisiz elemanıdır. 4. matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi, matrisidir. A+(-A) =

Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi Tanım: matrisi verilmiş olsun. matrisine , matrisinin toplama

Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi Tanım: matrisi verilmiş olsun. matrisine , matrisinin toplama işlemine göre tersi denir. Örneğin: matrisinin toplama işlemine göre tersi, matrisidir.

İKİ MATRİSİN FARKI Tanım : matrislerinin farkı,

İKİ MATRİSİN FARKI Tanım : matrislerinin farkı,

MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denir Örneğin:

MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denir Örneğin: k=5 bir reel skalar dır. Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun. k. A = k. [aij]m x n = A= [k. aij]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir. é 2 - 3ù Örnek : ê ú matrisi ve k = 3 sayısı için ë 4 1 û k. A matrisini bulalım. é 2 - 3ù é 6 - 9ù Çözüm : k. A = 3. ê ú=ê ú bulunur. ë 4 1 û ë 12 3 û

Skalarla Çarpmanın Özellikleri Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k 1, k

Skalarla Çarpmanın Özellikleri Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k 1, k 2 olsun. Her ve 1. k. (A+B) = k. A + k. B 2. (k 1+ k 2). A = k 1. A + k 2. A 3. k 1. (k 2. A) = (k 1. k 2). A

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için ; 1. matrisin sütun sayısı ,

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için ; 1. matrisin sütun sayısı , 2. matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. olmak üzere; elemanları toplamıyla bulunan matrislerinin çarpımı denir ve gösterilir. matrisine A ve B biçiminde

Örnek: bulalım. olduğuna göre A. B ve B. A’yı

Örnek: bulalım. olduğuna göre A. B ve B. A’yı

Çözüm: Buna göre A. B ve B. A birbirine eşit değildir.

Çözüm: Buna göre A. B ve B. A birbirine eşit değildir.

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A. B B. A

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A. B B. A 2. A O ve B O olduğu halde, A. B = O olabilir. ve olup; dır.

3. A. O = 0. A = 0 dır. Buna göre, sıfır matrisi çarpma

3. A. O = 0. A = 0 dır. Buna göre, sıfır matrisi çarpma işleminde yutan elemandır. 4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. I birim matris olmak üzere, A. I = I. A = A dır. 5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]p x r olmak üzere ; A. (B. C) = (A. B). C dir.

6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır. a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine

6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır. a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği; A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]n x p olmak üzere ; A. (B +C) = A. B + A. C dir. b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği; A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler, (A +B) C. = A. C + B. C olur.

7. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p ve k

7. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p ve k = R sayı ise, k. (A. B)=A. (k. B)=(k. A). B dir. 8. A sıfır değilken ve A. B=A. C iken, B=C olmayabilir. Örnek: olduğunu gösterelim. veriliyor. A. B=B. C

Çözüm: O halde A. B=A. C dir. Dikkat edilirse , A. B =A. C

Çözüm: O halde A. B=A. C dir. Dikkat edilirse , A. B =A. C iken , B , C’ye eşit değildir.

KARE MATRİSİN KUVVETİ Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. k N+

KARE MATRİSİN KUVVETİ Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. k N+ olmak üzere A 0 = In , A 1 =A, A 2 = A. A , A 3 =A. A 2 , . . . , Ak =A. Ak-1 dir.

BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için,

BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için, A. B=B. A= koşulunu sağlayan n. Sıradan B kare matrisi varsa; B matrisine , A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir. A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir. A. A-1 = A-1. A =In dir. Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özellikleri 1. olmak üzere , n. sıradan bir A kare matrisinin 2. çarpma işlemine göre tersi varsa,

2. n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, ve 3.

2. n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, ve 3. ise; ise, Eğer ad-bc=0 ise, dır. yoktur.

BİR MATRİSİN TRANSPOZU(DEVRİĞİ) Tanım: matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun haline getirmekle elde

BİR MATRİSİN TRANSPOZU(DEVRİĞİ) Tanım: matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun haline getirmekle elde edilen matrisine A matrisinin devriği denir ve AT veya Ad ile gösterilir. matrisinin transpozu, Teorem: A ve B matrisleri mxn türünden iki matris ve k bir skalar ise; 1. 2. 3.

Teorem: ve matrisleri için, dir. Teorem: A tersi olan bir matris ise, dir. é

Teorem: ve matrisleri için, dir. Teorem: A tersi olan bir matris ise, dir. é 1 -1 2ù T T Örnek: A. B = ê ise , B. A matrislerini bulalım. ú ë 3 4 5û Çözüm: T é 1 -1 2ù (A. B) = B. A için B. A = ê ú ë 3 4 5û T T T é 1 3ù = êê-1 4úú dir. êë 2 5úû

Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun; 1. =

Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun; 1. = A ise, A matrisine, simetrik matris denir. 2. = -A ise A matrisine, antisimetrik matris denir. 3. = Örnek: ise A matrisine, ortogonal matris denir. matrislerinin hangisinin simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim.

Çözüm: simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir. matrisi, antisimetrik matristir. Çünkü, AT

Çözüm: simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir. matrisi, antisimetrik matristir. Çünkü, AT = -A Antisimetrik matrislerde, asal köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır.

DETERMİNANTLAR Tanım: 1 x 1 biçimindeki dir. Örneğin; A=[7] matrisi için Tanım: 2 x

DETERMİNANTLAR Tanım: 1 x 1 biçimindeki dir. Örneğin; A=[7] matrisi için Tanım: 2 x 2 biçimindeki matrisinin determinantı, dir. matrisinin determinantı dir.

é 3 - 6ù yı hesaplayalım. Örnek: A = êú olduğuna göre , ë

é 3 - 6ù yı hesaplayalım. Örnek: A = êú olduğuna göre , ë 2 8û é 3 - 6ù Çözüm: A = êú = 3. 8 -(-2). (-6) = 24 -12 = 12 bulunur. ë 2 8û Tanım

é- 1 0 3 ù ê ú Örnek : A = ê 2 1

é- 1 0 3 ù ê ú Örnek : A = ê 2 1 0 ú olduğldu göre, A yı hesaplayalım. êë 0 5 - 4úû

MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN) Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır

MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN) Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, elemanının Minör’ü denir ve ile gösterilir. ifadesine, elemanının kofaktörü yada işaretli minörü denir. Tanım: 3 x 3 türünden bütün matrislerin kümesi olmak üzere, ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu denir. olsun.

Örnek: determinantını hesaplayalım. Çözüm: 3000=a dersek, olur. Buna göre, açılımını yapalım: =(a+1). (a-1)-(a-3). (a+3)=[(a.

Örnek: determinantını hesaplayalım. Çözüm: 3000=a dersek, olur. Buna göre, açılımını yapalım: =(a+1). (a-1)-(a-3). (a+3)=[(a. a)-1]-[(a. a)-9]=8 bulunur.

DETERMİNANT FONKSİYONU Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi Mn é êa êa ê ëa

DETERMİNANT FONKSİYONU Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi Mn é êa êa ê ëa 11 21 n 1 a a a 12 22 n 2 a a a ù ú M 2 n ú ú nn û olsun. 1 n n olmak üzere ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= matrisinin determinantı denir. ifadesine de A

Örnek: A = - 1 1 0 - 1 1 2 0 1 1

Örnek: A = - 1 1 0 - 1 1 2 0 1 1 3 2 4 değerini bulalım.

Çözüm: = -1. (-8+2+2 -6)+2. (4+1+1 -3) bulunur. = -1. (-10)+2. (3)=16

Çözüm: = -1. (-8+2+2 -6)+2. (4+1+1 -3) bulunur. = -1. (-10)+2. (3)=16

DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ 1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir. A karesel

DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ 1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir. A karesel matris ise, dir. 2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır. determinantı verilmiş olsun. Bu determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, dır.

3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise,

3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır. =0 dır. 4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir. (Asal köşegen altındaki elemanlar sıfırdır. )

5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir. ise

5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir. ise dır. (1. Satır ile 2. Satır yer değiştirmiştir. ) 6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar. ise olur.

7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak,

7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez. dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra eklenmiştir. )

8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa,

8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir. Determinantı aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılırsa ; olur.

9) Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya

9) Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur. 3. Sıradan bir determinantta a 11. A 21+a 12. A 22+a 13. A 23 = 0 dır. 10) N. Mertebeden A ve B matrisleri için, ve dir.

EK MATRİS Tanım: n. mertebeden olsun. aij elemanının kofaktörü Aij ise ; kare matrisi

EK MATRİS Tanım: n. mertebeden olsun. aij elemanının kofaktörü Aij ise ; kare matrisi verilmiş matrisine, A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir.

Örneğin; matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve

Örneğin; matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır. İşaretleri değişir. Yerleri değişir.

Ek Matris Özelliği A. Ek(A)=Ek(A). A= . I Yukarıdaki özelliği, A= =(ad-bc) matrisi için

Ek Matris Özelliği A. Ek(A)=Ek(A). A= . I Yukarıdaki özelliği, A= =(ad-bc) matrisi için gösterelim:

A-1 Matrisinin Ek Matris Yardımıyla Bulunuşu: Teorem: A matrisi olan bir matris olmak üzere,

A-1 Matrisinin Ek Matris Yardımıyla Bulunuşu: Teorem: A matrisi olan bir matris olmak üzere, ‘dır. İspat: A. Ek(A) = A. I eşitliğinin her iki tarafını, soldan A-1 ile çarpalım:

Örnek: matrisinin tersini bulalım. Çözüm: olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı bulalım.

Örnek: matrisinin tersini bulalım. Çözüm: olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı bulalım.