Matematin analiz ir tiesin algebra 11 paskaita Matricos

Matematinė analizė ir tiesinė algebra 11 paskaita.

Matricos sąvoka • Stačiakampė skaičių lentelė vadinama m x n matmenų matrica. • Kai matricos eilučių skaičius m lygus stulpelių skaičiui n, ji vadinama nosios eilės kvadratine matrica. • Kvadratinės matricos elementai a 11, a 22, . . . , ann sudaro jos pagrindinė įstrižainę (diagonalę); elementai a 1 n, a 2 n-1, . . . , an 1 sudaro šalutinę įstrižainę (antidiagonalę). 2

Matricos • Kvadratinė (n-osios eilės) matrica vadinama (n-osios eilės) vienetinė matrica. • Jeigu visi m x n matmenų matricos A elementai lygūs nuliui, ji vadinama nuline matrica ir žymima O. 3

Matricos • n x m matmenų matrica yra m x n matmenų matricos transponuotoji matrica. Transponavimo veiksmas (eilutės ir stulpeliai sukeičiami vietomis) žymimas B=AT. • Jei B=AT , tai ir A=BT. Taigi (AT)T=A. 4

Matricos • Matricos, turinčios tik vieną eilutę arba tik vieną stulpelį vadinamos vektoriais. • Kartais matricos žymimos taip: A=(aij), arba A=║aij║. • Vienodų matmenų matricos vadinamos vienarūšėmis matricomis. • Dvi vienarūšės matricos vadinamos lygiomis (rašoma A=B), jeigu atitinkami jų elementai sutampa. • Dvi vienarūšės matricos A=(aij), B=(bij), gali būti susietos ir nelygybių (≥, ≤, >, <) ženklais. Pavyzdžiui, rašoma A ≥ B, jeigu aij, ≥ bij , visoms indeksų i ir j poroms. 5

Tiesiniai veiksmai su matricomis • m x n matmenų matricos A=(aij) ir skaičiaus c sandauga (rašoma c. A) yra m x n matmenų matrica B=(bij), kurios elementai skaičiuojami pagal formulę bij=caij. Teisinga lygybė c. A = Ac. • Kartais matricos žymimos taip: A=(aij), arba A=║aij║. • Vienarūšių m x n matmenų matricų A=(aij) ir B=(bij) suma (rašoma A+B) yra m x n matmenų matrica C=(cij), kurios elementai skaičiuojami pagal formulę cij=aij + bij. • Vienarūšių matricų A=(aij) ir B=(bij) skirtumas (rašoma A-B) yra matricų A=(aij) ir (-1)B=(-bij) suma: A – B = A + (-1)B = (aij - bij). • Matricų A 1 =(a 1 ij), A 2 =(a 2 ij), . . . , An =(anij) tiesinio darinio – matricos B B=c 1 A 1+c 2 A 2+. . . +cn. An elementus galima apskaičiuoti pagal formulę bij= c 1 a 1 ij + c 2 a 2 ij+. . . + cn anij 6

Matricų daugyba • Dviejų m x n matmenų matricų A=(aij) ir B=(bij) skaliarine sandauga vadinamas skaičius, gaunamas pagal formulę • Dažniau yra naudojama vektorių skaliarinė daugyba. Dviejų vektorių a=(a 1, a 2, . . . , an) ir b=(b 1, b 2, . . . , bn) skaliarine sandauga vadinamas skaičius • Tegu A=(aij) yra m x k matmenų matrica, o B=(bij) yra k x n matmenų matrica. Šių matricų sandauga (žymima AB) yra m x n matmenų matrica C=(cij), kurios elementai skaičiuojami pagal formulę 7

Matricų daugybos savybės AB≠BA (AB)C=A(BC) c. AB=Ac. B=ABc A(B+C)=AB+AC A(B-C)=AB-AC AE=EA=A OA=AO=O 8