Matematin analiz ir tiesin algebra 10 paskaita Tiesins

Matematinė analizė ir tiesinė algebra 10 paskaita.

Tiesinės lygtys • Tiesine lygtimi su n nežinomųjų vadinama lygybė a 1 x 1 + a 2 x 2+. . . + anxn=b; čia a 1, a 2, . . . , an ir b yra žinomi dydžiai (vadinami lygties koeficientais ir laisvuoju nariu), o x 1 , x 2 , . . . , xn - nežinomi dydžiai (vadinami nežinomaisiais arba kintamaisiais). • Rinkinys z=(z 1, z 2, . . . , zn) vadinamas tiesinės lygties sprendiniu, jeigu galioja lygybė a 1 z 1 + a 2 z 2+. . . + anzn= b. • Tiesinės lygties sprendinių aibė X={z=(z 1, z 2, . . . , zn): a 1 z 1 + a 2 z 2+. . . + anzn= b}. • Dvi tiesinės lygtys vadinamos ekvivalenčiomis, jeigu jų sprendinių aibės sutampa. 2

Tiesinis darinys • Dviejų tiesinių lygčių a 11 x 1 + a 12 x 2+. . . + a 1 nxn=b 1; a 21 x 1 + a 22 x 2+. . . + a 2 nxn=b 2; tiesinių darinių vadinama tiesinė lygtis (c 1 a 11 +c 2 a 21) x 1 + (c 1 a 12 +c 2 a 22) x 2+. . . + (c 1 a 1 n +c 2 a 2 n) xn= (c 1 b 1 +c 2 b 2) ; čia c 1, c 2, - realieji skaičiai. Kai c 1 = c 2 =1, tai tiesinis darinys yra lygčių suma. Lygčių skirtumas yra tiesinis darinys su c 1 = 1, c 2 = -1. • Panašiai apibrėžiamas ir didesnio tiesinių lygčių skaičiaus tiesinis darinys. Jeigu ak 1 x 1 + ak 2 x 2+. . . + aknxn=bk , k=1, 2, . . . , m yra tiesinės lygtys, o ck , k=1, 2, . . . , m , - bet kokie realieji skaičiai, tai tiesinė lygtis Vadinama šių lygčių tiesinių darinių. Skaičiai ck , k=1, 2, . . . , m , vadinami tiesinio darinio koeficientais. 3

Tiesinių lygčių sistemos • Tarkime, kad n kintamųjų x 1 , x 2 , . . . , xn sąryšiai išreikšti m tiesinėmis lygtimis ak 1 x 1 + ak 2 x 2+. . . + aknxn=bk , k=1, 2, . . . , m , ir reikia rasti jų bendruosius (tinkančius visoms lygtims) sprendinius. Tokiu atvėju sakoma, kad sprendžiama m tiesinių lygčių sistema su n nežinomųjų. • Žinomi dydžiai aij vadinami sistemos koeficientais; bi – sistemos laisvaisiais nariais, o nežinomi dydžiai xj – sistemos nežinomaisiais (kintamaisiais). • Tiesinių lygčių sistemos sprendiniu vadinamas toks nežinomųjų reikšmių rinkinys x=(x’ 1 , x’ 2 , . . . , x’n ), kuris tinka kiekvienai sistemos lygčiai. • Jei X – sistemos sprendinių aibė, o ja sudarančių lygčių sprendinių aibės – atitinkamai X 1 , X 2 , . . . , Xn , tai X= X 1 ∩ X 2 ∩. . . ∩ Xn. 4

Tiesinių lygčių sistemų elementarieji pertvarkiai • Tiesinių lygčių sistemos sprendinių aibė nesikeičia: • bet kurią lygtį pakeitus tos lygties ir nelygaus nuliui skaičiaus sandauga; • bet kurią lygtį pakeitus tos lygties ir kitos lygties suma; • bet kurios sistemos lygtis sukeitus vietomis; • pašalinus iš sistemos tapatybę. • Išvardyti veiksmai vadinami tiesinių lygčių sistemos elementariais pertvarkiais. 5

Gauso metodas • Gauso metodu vadinamas tiesinių lygčių sistemos sprendimo būdas, kai elementariais pertvarkiais eliminuojant nežinomuosius siekiama gauti trikampę tiesinių lygčių sistemą kurios koeficientai c 11, c 22, . . . cnn nelygūs nuliui, arba trapecinę sistemą kurios koeficientai c 11, c 22, . . . ckk nelygūs nuliui. 6

Gauso metodas • Trapecinė tiesinių lygčių sistema turi be galo daug sprendinių. Parinkę bet kurias nežinomųjų xk+1, xk+2 , . . . , xn reikšmes, pavyzdžiui, xk+1=tk+1 , xk+2=tk+2 , . . . , xn=tn , gauname trikampė k lygčių sistemą su k nežinomųjų. Kadangi koeficientai c 11, c 22, . . . ckk nelygūs nuliui, tai ji turi vienintelį sprendinį x=(x’ 1 , x’ 2 , . . . , x’k), atitinkanti laisvai pasirinktą skaičių rinkinį (tk+1 , tk+2 , . . . , tn ). Todėl rinkinys (x’ 1 , x’ 2 , . . . , x’k , tk+1 , tk+2 , . . . , tn) yra sistemos sprendinys. • Jei gauname lygtį pavidalo 0 x 1 + 0 x 2+. . . + 0 xn=d, kur d≠ 0, tai sistema sprendinių neturi. • Jei gauname lygtį pavidalo 0 x 1 + 0 x 2+. . . + 0 xn=d, kur d=0, tai tapatybę iš sistemos pašaliname. 7

Gauso ir Žordano metodas • Gauso ir Žordano metodu vadinamas tiesinių lygčių sistemos sprendimo būdas, kai elementariais pertvarkiais eliminuojant nežinomuosius siekiama gauti diagonalinę tiesinių lygčių sistemą kurios koeficientai c 11, c 22, . . . cnn nelygūs nuliui. Ši sistema turi vienintelį sprendinį 8

Modifikuotas Gauso ir Žordano metodas • Tarkime, kad turime tiesinių lygčių sistemą • Šia sistemą užrašome lentelės pavidalu x 1 x 2 . . . xn B Σ a 11 a 12 . . . a 1 n b 1 σ1 a 22 . . . a 2 n b 2 σ2 . . . . am 1 am 2 . . . amn bm σm čia 9

Modifikuotas Gauso ir Žordano metodas • Lygčių sistemą modifikuotų Gauso ir Žordano metodu sprendžiama pagal tam tikras taisykles pereinant nuo vienos lentelės prie kitos. • Taisyklės: 1. Tarp koeficientų prie nežinomųjų parenkamas bet kuris nelygus nuliui elementas, vadinamas vedančiuoju elementu. Pvz. , aij≠ 0. Eilutė, kurioje yra vedantysis elementas, vadinama vedančiąja eilute, o stulpelis – vedančiuoju stulpeliu. 2. Vedančiosios eilutės elementus daliname iš vedančiojo elemento ir užrašome 2 lentelėje. Vedančiojo stulpelio vietoje 2 lentelėje rašome nulius. 3. Visus kitus 2 lentelės elementus skaičiuojame pagal stačiakampio taisyklę: 10

Modifikuotas Gauso ir Žordano metodas 4. Apskaičiuojami 2 lentelės kontrolės stulpelio Σ elementai: Skaičiavimai bus atlikti teisingai, jeigu elementai, apskaičiuoti pagal stačiakampio taisyklę, sutampa su gautais sudedant eilutės elementus. • Toliau naujoje lentelėje vedantį elementą parenkame iš kitos eilutės ir pagal nurodytas keturias taisykles pereiname prie 3 lentelės ir t. t. , kol vedantysis elementas bus parinktas kiekvienoje eilutėje, arba gausime, kad sistema nesuderinta (neturi sprendinio). • Sistemos nesuderinamumo požymis – gauta eilutė pavidalo 0 0. . . 0 br σr kur br≠ 0. • Pilnai nuline eilutę iš lentelės pašaliname. 11