Matematiki fakultet Univerziteta u Beogradu IZOMETRIJA RAVNI ODREENA

Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu IZOMETRIJA RAVNI ODREÐENA SA TRI TAČKE Profesor: Srđan Vukmirović Asistent: Tijana Šukilović Marko Pavlović Sara Stojković Filip Radulović Andrea Kolaček

Osnovni pojmovi: § Direktne i indirektne izometrijske transformacije § Invarijantne tačke § Koincidencija

TEOREMA Svaka izometrijska transformacija I euklidske ravni E 2 može se predstaviti kao kompozicija konačnog broja osnih refleksija. Minimalan broj osnih refleksija zastupljenih u takvoj kompoziciji nije veći od tri. Dokaz sledi iz razmatranja četiri različita slučaja:

Prvi slučaj: § Najviše tri invarijantne, linearno nezavisne tačke. § Takva izometrijska transformacija predstavlja koincidenciju I = S p * Sp

Drugi slučaj: § Najviše dve invarijantne, p linearno nezavisne tačke. § Van prave p izometrijska transformacija I nema invarijantnih tačaka. § Postoji X takvo da: I(X) = X’ i X ≠ X’ A B X I = Sp X’

Treći slučaj: § Jedna invarijantna, linearno nezavisna tačka. § Kompozicija Sp*I poseduje dve razne invarijantne tačke A i X. § Sp*I predstavlja osnu refleksiju Sq I = Sp*Sq p q A X X’

Četvrti slučaj: § Nema invarijantnih tačaka. § Izometrija I može se predstaviti kao kompozicija sastavljena iz dve ili tri osne refleksije. I = S p * Sq p∩q = ø I = S p * S q * Sr

Primeri § Osna Refleksija § Indirektna izometrijska transformacija p B B’ C C’ A A’

Primeri § Translacija § Diretna izometrijska transformacija § p i q se ne seku p B C q B’’ B’ C’ A A’ C’’ A’’

Primeri § Rotacija § Direktna izometrijska transformacija § ɣ predstavlja ugao rotacije p B’ B C A A’ q C’ C’’ B’’ ɣ A’’

Primeri § Klizajuća refleksija § Indirektna izometrijska transformacija p B q B’’ B’ C’ C A C’’ A’ r C’’’

HVALA NA PAŽNJI!