Matematikaoktats a gyakorlatban 2011 szeptember 15 Szombathely 1

Matematika-oktatás a gyakorlatban 2011. szeptember 15. Szombathely

1. feladat Egy falra szerelhető munkaasztalt látunk az ábrán oldalnézetben. A BCD lehajtható munkalapot az XC fémszalag segítségével mozgathatjuk: az A pontban levő szegecsen (mely a szekrény BF oldalába van erősítve) csúszhat a fémszalag. Legyen BC=36 cm, AB=48 cm. Zárt helyzetben a D és X pontok egybeesnek az F ponttal. Teljesen nyitott helyzetben a D és G pontok egybeesnek, valamint az X és A pontok is egybeesnek.

a) Milyen hosszú az asztal lehajtható BD lapja? b) Milyen távol lesz az X pont a szekrény BF oldalától, ha az asztallapot B körül 60 o-kal lehajtjuk?

2. feladat Egy 1240 m hosszú svájci alagút bejáratának keresztmetszetét látjuk az ábrán egy koordinátarendszerbe helyezve, ahol az egység mindkét tengelyen 1 m. Az alagút oldalfalai 6, 2 m magasak. Az alagút tetejét jó közelítéssel írja le az f(x) függvény grafikonjának egy darabja. Egy svájci szabvány szerint egy közúti alagút szellőzőrendszerét úgy kell megtervezni, hogy 800 m 3 -ként legyen egy szellőző. Hány szellőzőt kell tervezni ebben az alagútban?

3. feladat Egy arab épületet és annak egy tengelymetszetét látjuk az ábrán. A tengelymetszet ABCD téglalapjának AD oldala 7 m, AB oldala pedig nagyobb, mint 14 m. Egy kis kör érinti az AD és DC oldalakat, valamint kívülről érinti az AB oldalra emelt félkört. Egy másik kis kör a DC oldalt és a félkört belülről érintő körök legnagyobbika. Mekkora e kis körök sugara, ha tudjuk, hogy e sugarak egyenlők?

4. feladat Péter megajándékozta a barátnőjét születésnapjára egy üveg márkás fürdősóval. A fürdősót egy négyzetes hasáb alakú üvegben adták. Péter az ajándékot egy 1, 2 m hosszú díszes szalaggal akarta bekötni. Ha a bal ábrán látható módon köti össze a szalagot, akkor 8 cm hiányzik ahhoz, hogy be tudja kötni. Ha viszont a jobb oldali ábrán látható módon köti át szalaggal az edényt, akkor 8 cm megmarad, amiből még egy kis csomót is köthet a szalagra. Hány liter fürdősó fér az edénybe?

5. feladat Egy 120 o-os körcikk alakú telekre négyzet alapterületű házat szeretnénk építeni; a négyzet egy-egy csúcsa egyegy sugárra, két csúcsa pedig a körívre illeszkedik. Egy helyi szabvány szerint a telekre csak olyan ház építhető, melynek alapterülete nem haladja meg a telek területének 50%-át. Megépíthetjük-e a házat?

Z. Kochanski (1631 -1700)

6. feladat Leo-Cüng ősi kínai várost kör alakú kőfallal vették körbe, melynek sugara 2 km. A városfalnak négy kapuja volt az egyes égtájaknak megfelelően. Az északi kaputól északra, a déli kaputól pedig délre 1 -1 km-re volt egy-egy világítótorony.

a) A déli világítótoronytól nyugati irányba haladva mennyit kell menni, hogy olyan P pontba jussunk, ahonnan megpillanthatjuk az északi világítótornyot? b) Egy vándor éppen a P pontban volt, amikor megpillantotta a nyugat felöl közeledő ellenséget. A déli vagy a nyugati kapuhoz siessen, hogy mihamarabb beérjen a városba?

a)

b)

7. feladat Az ábrán egy autó hátsó szélvédőjét és annak ablaktörlőjét látjuk. Ez egy 10 cm-es és egy 20 cm-es egymáshoz 120 o-os szögben csatlakozó kar, melynek 10 cm-es darabja a hajtókar, 20 cm-es darabja a gumilapát. A hajtókar a szimmetrikus trapéz alakú hátsó ablak hosszabbik alapjának felezőpontja körül tud elfordulni 120 o-os szögben. (A hátsó ablakot tekintsük síkbeli alakzatnak. ) Hány százalékát törli le a gumilapát a hátsó ablaknak?

8. feladat Egy félgömb alakú tartály sugara 0, 8 m. A tartályba egy csapon keresztül igen erősen párolgó folyadékot folyatnak 2 liter/perc sebességgel. A párolgás sebessége 1, 3 liter/perc m 2 -enként. Milyen magas lesz a folyadék szintje a tartályban, amikor beáll az egyensúlyi állapot ?

9. feladat Az ábrán egy térképhez rögzített koordinátarendszert szemléltettünk. (Az egység mindkét tengelyen 1 km. ) Az autópálya egyenlete Az origóban van a K község. Az országos útfelügyelet szeretne egy, a községet elkerülő utat építeni, mely az A(-4; 2) pontban csatlakozik le az autópályáról és a B(4; 2) pontban csatlakozik vissza az autópályára.

a) Az egyik terv szerint az elkerülő út A-ból érintőlegesen egy köríven haladna B felé, és B-ben érintőlegesen csatlakozna vissza az autópályára. Milyen hosszú az elkerülő út? b) Egy másik terv szerint az elkerülő út A-ban érintőlegesen egy parabola mentén haladna, és B-ben érintőlegesen csatlakozna be az autópályába. Adja meg a parabola egyenletét! c) Az elkerülő parabola ívű út és az autópálya közötti területet füvesíteni akarják. Mekkora ez a terület?

10. feladat A futball-labda jó közelítéssel egy olyan test, melynek 32 lapja van és minden lapja szabályos hatszög vagy szabályos ötszög. Minden ötszög 5 db hatszöggel és minden hatszög 3 db hatszöggel és 3 db ötszöggel határos (lásd ábra). a) Hány db hatszög és hány db ötszög határolja a futball-labdát? b) Hány éle és hány csúcsa van a testnek?

11. feladat Egy templomi oltár mellett látható az ábrán szemléltetett kereszt, mely két csúcsánál fogva lett felfüggesztve (lásd bal oldali ábra). A felfüggesztő kötelek egyike sajnos elszakadt, így a kereszt lebillent úgy, hogy annak A-val jelölt csúcsa a földre került az A* helyre (lásd jobb oldali ábra). Határozza meg az A* pont helyzetét a földön!

12. feladat Egy egyenes hasáb alaplapja olyan egyenlő szárú háromszög, melynek alapja 1 m, szára az alap kétszerese. A hasáb az alapjára illeszkedő oldallapján fekszik a földön a fal mellett, és ilyen helyzetben magasságának feléig megtöltöttük vízzel. a) Milyen magasan áll a víz a testben, ha azt elforgatva a falnak támasztjuk? b) A test D csúcsában van egy dugó. Miután a hasábot a leírt módon a falnak támasztottuk, kihúztuk a dugót, ahonnan a víz 12 liter/perc átlagos sebességgel folyik ki a testből. Mennyi ideig folyik a víz, ha a hasáb magassága 4 m?

13. feladat Egy színpadi díszletelemet látunk az ábrán. A díszleten 2 m magasságban van egy 1, 6 m magas ablak. A díszlet mögött 2 m távolságban 4, 5 m magasan elhelyezett R reflektorral az ablakon keresztül világítják meg a színpadot. Milyen mélységben világítja meg a színpadot a reflektor (azaz mekkora az x-szel jelölt távolság)?

14. feladat Az ábrán egy mobil-garázs keresztmetszetét látjuk. A két függőleges oldalfalat a nyilak irányában mozgatva a garázs teteje az A, B és C csuklóknál elfordulva magasítható az ábrán látható módon. A gyártók tapasztalatból tudják, hogy a függőleges oldalfalak egymás felé mozgatása közben a garázs légtere (tehát az ábra keresztmetszete) egy pontig növekszik, majd utána folyamatosan csökken.

a) Mekkora a keresztmetszet területe, ha =45 o? b) Milyen esetén lesz a garázs légtere a legnagyobb?

15. feladat A gyerekek focizás közben sajnos kitörték az osztály bejárati ajtaja fölött levő üveget. Ez egy olyan körszelet, melynek magassága 28 cm, szélessége pedig 112 cm. A pótláshoz szükséges üveg ára 9640 Ft/m 2. Mennyibe kerül a pótláshoz szükséges üveg?

16. feladat Biológia órán egy rovar fejéről készült rajzot tanulmányoznak a gyerekek. Egy egyenlő szárú háromszög oldalaira kifelé egy-egy félkört rajzoltak. A szárakra emelt félkörök a rovar szemei, az alapra emelt félkör a rovar szájszerve. A diákok észrevették, hogy a szárakra rajzolt félkörök közös érintőszakasza fele olyan hosszú, mint az egyik szárra és az alapra rajzolt félkörök közös érintőszakasza. Mekkorák a háromszögei?