Matematika Untuk Kriptografi Bahan kuliah ke3 IF 5054

Matematika Untuk Kriptografi Bahan kuliah ke-3 IF 5054 Kriptografi Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 1

Pendahuluan n Perlu latar belakang matematika untuk memahami kriptografi. n Materi matematika yang utama untuk kriptografi adalah matematika diskrit. Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 2

Materi Matematika untuk Kriptorafi: 1. 2. Teori Bilangan - Integer dan sifat 2 pembagian - Algoritma Euclidean - Aritmetika modulo - Bilangan prima Probabilitas dan Statistik Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 3

3. 4. 5. Kompleksitas algoritma Teori informasi Medan berhingga (finite field) No. 1 s/d 3 sudah dipelajari di kuliah Matematika Diskrit dan Probabilitas dan Statistik Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 4

Teori Informasi n Mendefinisikan jumlah informasi di dalam pesan sebagai jumlah minimum bit yang dibutuhkan untuk mengkodekan pesan. n Contoh: - 1 bit untuk mengkodekan jenis kelamin - 3 bit untuk mengkodekan nama hari - 4 bit untuk mengkodekan 0 s/d 9 Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 5

n n Entropy: ukuran yang menyatakan jumlah informasi di dalam pesan. Biasanya dinyatakan dalam satuan bit. Entropi berguna untuk memperkirakan jumlah bit rata-rata untuk mengkodekan elemen dari pesan. Contoh: entropi untuk pesan yang menyatakan jenis kelamin = 1 bit, entropi untuk pesan yang menyatakan nama hari = 3 bit Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 6

n Secara umum, entropi pesan dihitung dengan rumus: X = pesan Si = simbol ke-i di dalam pesan p(Si) = peluang kemunculan Si ai = jumlah kemunculan Si Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 7

n Contoh: pesan X = ‘AABBCBDB’ n = 4 (A, B, C, D) p(A) = 2/8, p(B) = 4/8 p(C) = 1/8, p(D) = 1/8 H(x) = -2 2 log(2/8) - 4 2 log(4/8) -1 2 log(1/8) - 1 2 log(1/8) = 4 + 3 + 3 = 14 bit Entropi rata-rata = 14/4 = 1, 75 bit per simbol Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 8

n Entropi juga menyatakan ketidaktentuan (uncertainty) dari pesan. n Contoh: kriptogram “Y 6 Ru. PZ” menyatakan plainteks “MALE” atau “FEMALE”, maka uncertainty pesan = 1. Kriptanalis harus mempelajari hanya 1 bit yang dipilih secara tepat untuk menemukan plainteks. Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 9

n Entropi sistem kriptografi adalah ukuran ruang kunci, K. n Misal, sistem kriptografi dengan kunci 64 bit mempunyai entropi 64 bit. n Makin besar entropi, makin sulit memecahkan cipherteks. Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 10

n Laju bahasa (rate of a language): r = H(X)/N N = panjang pesan n Laju normal Bahasa Inggris: 1. 0 bit/huruf s/d 1. 5 bit/huruf untuk N besar. Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 11

n Laju mutlak (absolute rate): R = 2 log L L = jumlah karakter di dalam bahasa n Dalam Bahasa Inggris (26 huruf): R = 2 log 26 = 4. 7 bit/huruf Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 12

Redundansi bahasa (D): D=R–r n Pada Bahasa Inggris (r = 1. 3): D = 4. 7 – 1. 3 = 3. 4 bit/huruf artinya setiap huruf dalam Bahasa Inggris membawa 3. 4 bit informasi redundan (mubazir) n Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 13

n Pada pesan ASCII (256 karakter): R = 2 log 256 = 8 r = 1. 3 (sama seperti B. Inggris) D = 8 – 1. 3 = 6. 7 bit/karakter Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 14

n Kriptanalis menggunakan redundansi alami dari bahasa untuk mengurangi kemungkinan jumlah plainteks. n Contoh: kata “dan” dalam B. Indonesia redundan. Misalnya jika di dalam cipherteks banyak muncul kriptogram “ft. Y” (3 huruf) maka kemungkinan besar itu adalah “dan”. n Makin besar redundansi bahasa, makin Rinaldi Munir/IF 5054 mudah melakukan. Kriptografi kriptanalisis. 15

n Dalam dunia-nyata, implementasi kriptografi dilengkapi dengan program kompresi sebelum mengenkripsi pesan. n Kompresi mengurangi redundansi pesan. Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 16

Medan (Field) Medan adalah himpunan elemen dengan dua jenia operasi, perkalian dan penjumlahan. n Sebuah medan disebut berhingga (finite field) jika himpunannya memiliki jumlah elemen yang berhingga. n Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 17

Medan Berhingga Fp n Fp adalah himpunan bilangan bulat {0, 1, 2, …, p – 1} dengan p prima dan operas aritmetika sbb: 1. Penjumlahan Jika a, b Fp, maka a + b = r r adalah sisa hasil pembagian a + b dengan p 0 r p-1 Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 18

2. Perkalian Jika a, b Fp, maka a b = s s adalah sisa hasil pembagian a b dengan p 0 r p-1 Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 19

Contoh: F 23 mempunyai anggota {0, 1, 2, …, 22}. Contoh operasi aritmetika: 12 + 20 = 9 (karena 32 mod 23 = 9) 8 9 = 3 (karena 72 mod 23 = 3) Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 20

Medan Galois (Galois Field) Medan Galois adalah medan berhingga dengan pn elemen, p adalah bilangan prima. n Notasi: GF(p) n Artinya: Medan Galois berorde p n Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 21