Matematika Teori Diskret Graph Heru Cahya Rustamaji M

Matematika Teori Diskret Graph Heru Cahya Rustamaji, M. T. Rifki Indra, M. Eng. Fak. Teknologi Industri

Pendahulua n q Graph digunakan untuk merepresentasikan objek diskret dan hubungan antar objek tersebut q Berikut ini contoh graf yang menggambarkan peta jalan raya dengan kota di jawa tengah. Fak. Teknologi Industri

Definisi Graph v Graph G = (V, E) yang di dalam hal ini : Ø V = vertex (simpul) Ø E = edge (sisi) Atau ü V = himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices) {v 1, v 2, v 3, …, vn} ü E = himpunan edges yang menghubungkan sepasang simpul-simpul (vertices) {e 1, e 2, …. , en} Fak. Teknologi Industri

Contoh pada gambar 1 diatas : § G 1 adalah graph dengan V={1, 2, 3, 4}; E={(1, 2)(1, 3)(2, 4)(3, 4)} § G 2 adalah graph dengan V={1, 2, 3, 4}; E={(1, 2)(2, 3)(3, 1)(1, 3)(2, 4)(4, 3)(3, 4)} atau {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7} § G 3 adalah graph dengan V={1, 2, 3, 4}; E={(1, 2)(2, 3)(3, 1)(1, 3)(2, 4)(4, 3)(3, 4)(3, 3) atau {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8} § Pada G 2, edges e 3 dan e 4 dinamakan pararel edges karena bertumpu pada vertex yang sama yaitu 1 dan 3 § Pada G 3, edge e 8 dinamakan loop edge karena berawal dan berakhir pada satu vertex yaitu 3 Fak. Teknologi Industri

Jenis Graph Berdasarkan ada tidaknya loop dan pararel edges, maka graph digolongkan menjadi : 1. Fak. Teknologi Industri

Jenis Graph (2) Berdasarkan orientasi arah pada sisi, graph dibedakan menjadi : 1. Graph tak berarah (undirected graph) Graph yang tidak memiliki arah pada sisi/edges-nya. Lihat contoh 1 semuanya merupakan graph tak berarah. 2. Graph berarah Graph yang memiliki arah pada sisi/edges-nya. Lihat contoh 2 berikut ini Fak. Teknologi Industri

Fak. Teknologi Industri

Contoh Terapan Graf 8

9

3. Jejaring makanan (Biologi) 10

11

5. Pemodelan Mesin Jaja (vending Machine) 12

Graf kelakuan mesin jaja (no refund) misal mesin jaja yang menjual coklat 15 ribu rupiah Keterangan: a : 0 ribu dimasukkan b : 5 ribu dimasukkan c : 10 ribu dimasukkan d : 15 ribu atau lebih dimasukkan 13

Terminologi Graph 1. Adjacent (ketetanggaan) q Dua buah simpul (V) dikatakan bertetanggaan apabila keduanya terhubung langsung. q Tinjau G 1 : V 1 adjacent V 2 dan V 3 Bagaimana dengan G 2 : V 2 adjacent V 1, V 3, V 4 dan G 3? : V 1 tidak adjacent dengan V 4 Fak Teknologi Industri

2. Incidency (bersisian) v Untuk sembarang sisi (edge) dikatakan bersisian jika e(vi, vj) berlaku e bersisian dengan vi atau e bersisian dengan vj. Tinjau Graph G 2 : e 2 bersisian dengan V 1 atau V 2 : e 3 bersisian dengan V 1 atau V 3 : e 4 tidak bersisian dengan V 1 Fak. Teknologi

3. Isolated Vertex (simpul terisolasi) ü Simpul terisolasi adalah simpul yang tidak memiliki sisi langsung dengannya ü Tinjau Graph G 3 : V 5 merupakan isolated vertex : V 6 ? : V 4 merupakan pendant vertex ( 1 tetangga) Fak. Teknologi

4. Null Graph (graph kosong) • Graph yang himpunan kosong. Fak. Teknologi Industri sisinya adalah

5. Degree (derajat) Ø Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tsb. Ø Derajat titik yang berhubungan dengan sebuah loop adalah 2 (garis suatu loop di hitung 2 kali). Ø Notasi : d(v) Ø Tinjau G 1 : d(1)=d(4)=2; d(2)=d(3)=3 Ø Tinjau G 3 : d(4)=1; d(5)=0 Fak. Teknologi

Tinjau G 2 : d(1)=d(2)=3; d(3)=4

Khusus graph berarah Tinjau gambar G 4 : din(1)=2; dout(1)=1 sehingga d(1) = 3 din(2)=2; dout(2)=3 sehingga d(2) = 5 din(3)=2; dout(3)=1 sehingga d(3) = 3 din(4)=1; dout(4)=2 sehingga d(4) = 3 Fak. Teknologi Industri

Teorema lemma jabat tangan Lemma Jabat Tangan. Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka Tinjau graf G 1: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 2 = 10 = 2 jumlah sisi = 2 5

2. Tinjau graf G 2: d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 4 = 10 = 2 jumlah sisi = 2 5

Latihan soal sederhana: 1. Dapatkah kita menggambarkan graph jika diketahui graf dengan derajat masing-masing simpul (V) sbb : a. 3, 2 b. 2, 4, 1, 2 c. 2, 1, 3, 4 d. 3, 1, 1, 1 e. 2, 1, 2, 2 f. 3, 2, 1, 2, 4 Fak. Teknologi Industri

6. Path (lintasan) o Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal Vo ke simpul tujuan Vn di dalam graph G ialah barisan selang seling simpul dan sisi yang berbentuk vo, e 1, v 1, e 2, v 2, e 3, …. , vn-1, en o Tinjau G 1 : lintasan 1, 2, 4, 3 adalah (1, 2)-(2, 4)(4, 3) dengan panjang 3 Fak. Teknologi Informasi

Tinjau juga untuk G 4 dan G 5 1. Untuk lintasan 1, 2, 3 pada G 4 ? panjangnya? 2. Untuk lintasan 1, 3, 4, 3, 2 pada G 5 ? panjangnya? 3. Untuk lintasan 1, 2, 4, 3 pada G 4? panjangnya? Fak. Teknologi Industri

7. Circuit (sirkuit) q Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul (v) yang sama. q Lihat G 1 : lintasan 1, 2, 4, 3, 1 adalah sirkuit, dengan panjang 4 q Lihat G 7 : buat semua sirkuit yang mungkin dari u ke u minimal 4 sirkuit Fak. Teknologi Industri

8. Connected (terhubung) ü Dua buah simpul v 1 dan v 2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v 1 ke v 2 ü G disebut graph terhubung jika untuk setiap pasang simpul vi dan vj dalam himpunan V terdapat lintasan dari vi ke vj v 1 Fak. Teknologi Industri v 2

q Graph G dikatakan terhubung kuat jika terdapat lintasan dari v ke u dan dari u ke v q Graph G dikatakan terhubung lemah jika tidak ada lintasan pulang pergi. Fak. Teknologi

Latihan soal 1. Gambarkan sebuah graph dengan 5 simpul, 3 simpul berderajat 2 dan 2 simpul berderajat 3 2. Berapakah jumlah edge/busur yang dimiliki graph jika memiliki simpul dengan derajat 3, 1, 2, 1, 1? Gambarkan graphnya. Fak. Teknologi Industri

Pengantar Adjacency Matrix Lihat Graph G 8 berikut, G 8 merupakan graph dengan 4 vertices (1, 2, 3, 4). Dapat dibuat Adjacency matrix dari G 8 dengan mengidentifikasi lintasan-lintasan terlebih dahulu. Lintasan G 8 adalah (1, 2)(2, 1)(2, 2)(1, 4)(4, 1)(4, 2)(2, 4)(2, 3)(3, 2)(3, 4)(4, 3) matrix Fak. Teknologi Industri

Terima kasih Fak. Teknologi Industri