Matematika Teknik Arsitektur PENDAHULUAN 1 1 Sistem Bilangan

Matematika Teknik Arsitektur

PENDAHULUAN 1. 1 Sistem Bilangan Real • Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol. • C : {bilangan cacah} = {0, 1, 2, 3, . . . } • N : {bilangan asli} = {1, 2, 3, . . . } • Z : {bilangan bulat} = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . } • Q : {bilangan rasional} = { • Qc : {bilangan tak-rasional} { , π, . . . } • R : {bilangan real} = Q U Qc

Sifat-sifat Medan : 1. Hukum komutatif. x + y = y + x dan xy = yx 2. Hukum asosiatif. x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z 3. Hukum distribusi. x(y + z) = xy + xz 4. Elemen-elemen identitas. Terdapat dua bilangan riil yang berlainan 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x. 1 = x 5. Balikan (Invers) setiap bilangan x mempunyai balikan aditif, (disebut juga sebuah negatif), -x, yang memenuhi x + (-x) = 0. juga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian (disebut juga kebalikan) x-1, yang memenuhi x. x-1 = 1. Sifat-sifat Urutan : 1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu di antara yang berikut berlaku: x < y atau x = y atau x > y 2. Ketransitifan. x < y dan y < z x < z 3. Penambahan. x < y x + z < y + z 4. Perkalian. Bilangan z positif, x < y xz < yz. Bilamana z negatif, x < y xz > yz.

1. 2 Aturan Preseden Dalam Menyederhanakan Persamaan Aritmetik • • • Pada beberapa operasi yang terjadi pada persamaan aritmetika, urutan keharusan mutlak harus diikuti. Urutan prioritas adalah : 1. Kurung 2. Pangkat dan akar 3. Perkalian dan Pembagian 4. Penjumlahan dan pengurangan Catatan : – Persamaan dalam kurung harus disederhanakan pertama – Jika dua operasi yang presedennya sama pada posisi berurutan, urutan pertama dari kiri diselesaikan pertama. • contoh : sederhanakan persamaan K = 2, 76 x (8, 45 + 3, 14) + 3, 452 – 4, 89 : 2, 18 • Persamaan dalam kurung K = 2, 76 x 11, 59 + 3, 452 – 4, 89 : 2, 18 • Selesaikan pangkat dan akar K = 2, 76 x 11, 59 + 11, 9025 – 4, 89 : 2, 18 • Perkalian dan pembagian K = 31, 9884 + 11, 9025 – 2, 2431 • Akhirnya penjumlahan dan penguranga K = 43, 8908 – 2, 2431 K = 41, 6478

1. 3 Transposisi Formula Contoh : Transposisi formula dengan I menjadi Subjek

Kalikan kedua ruas dengan (E-I. r) : n. (E-I. r) = I. R n. E = I. R + n. I. r n. E = I. (R + n. r) 1. 4 Perkalian Persamaan Aljabar Dengan Variabel Tunggal Contoh : (2. x + 5). (x 2 + 3. x + 4) x 2 + 3. x + 4 2. x + 5 Dikalikan 2. x Dikalikan 5 Dijumlahkan x 2. x 3 + 6. x 2 + 8. x 5. x 2 + 15. x + 20 + 2. x 3 + 11. x 2 + 23. x + 20 (2. x + 5). (x 2 + 3. x + 4) = 2. x 3 + 11. x 2 + 23. x + 20

1. 5 Pembagian Satu Persamaan Dengan Persamaan Lain Kita perhatikan (12. x 3 – 2. x 2 – 3. x + 28) : (3. x + 4) Susun sebagai pembagian panjang angka Untuk membuat 12. x 3, 3. x harus dikalikan 4. x 2, sehingga kita dapat menyisip ini sebagai bentuk pertama hasil bagi ; kalikan pembagi (3. x + 4) dengan 4. x 2 dan kurangi ini dari dua bentuk pertama.

1. 6 Faktorisasi Persamaan Aljabar 1. Faktor sekutu bentuk sederhana faktorisasi adalah ekstra faktor persekutuan dari persamaan. • Contoh : (10. x + 8) dapat dengan jelas ditulis 2. (5. x + 4) Serupa dengan (35. x 2. y 2 – 10. x. y 3) = 5. x. y 2. (7. x – 2. y) (8. x 4. y 3 + 6. x 3. y 2) = 2. x 3. y 2. (4. x. y + 3) 2. Faktor persekutuan kelompok persamaan empat bentuk dapat seringkali difaktorisasi dengan pengelompokan kedua persamaan binomial dan masing diekstrak faktor persekutuannya. • Contoh : 2. a. c + 6. b. c + a. d + 3. b. d = (2. a. c + 6. b. c) + (a. d + 3. b. d) = 2. c. (a + 3. b) + d. (a + 3. b) = (a + 3. b). (2. c + d) • x 3 – 4. x 2. y + x. y 2 – 4. y 3 = (x 3 – 4. x 2. y) + (x. y 2 – 4. y 3) = x 2. (x – 4. y) + y 2. (x – 4. y) = (x – 4. y). (x 2 + y 2)

• 12. x 2 – y 2 + 3. x – 4. x. y 2 = 12. x 2 + 3. x – y 2 – 4. x. y 2 = (12. x 2 + 3. x) – (y 2 + 4. x. y 2) = 3. x. (4. x + 1) – y 2. (1 + 4. x) = (4. x + 1). (3. x – y 2) Perkalian Dua Faktor Linear Yang bermanfaat Harus diingat (a + b)2 = (a + b) = a 2 + a. b + b. a + b 2 = a 2 + 2. a. b + b 2 (a – b)2 = (a – b) = a 2 – a. b – b. a + b 2 = a 2 – 2. a. b + b 2 (a – b). (a + b) = a 2 + a. b – b. a – b 2 = a 2 – b 2 Contoh : 1. x 2 + 10. x + 25 = (x)2 + 2. (x). (5) + (5)2, seperti a 2 + 2. a. b + b 2, = (x + 5)2 x 2 + 10. x + 25 = (x + 5)2 2. 4. a 2 – 12. a + 9 = (2. a)2 – 2. (2. a). (3) + (3)2, seperti a 2 - 2. a. b + b 2 = (2. a – 3)2 4. a 2 – 12. a + 9 = (2. a – 3)2 3. 25. x 2 – 16. y 2 = (5. x)2 – (4. y)2 = (5. x – 4. y). (5. x + 4. y) 25. x 2 – 16. y 2 = (5. x – 4. y). (5. x + 4. y)

Latihan :