MATEMATIKA SMK VEKTOR By Zulfan A R Vektor

MATEMATIKA SMK VEKTOR By: Zulfan A. R

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Skalar adalah besaran yang mempunyai besar saja tetapi tidak mempunyai arah.

Contoh: Vektor: 1. Kecepatan 2. Gaya 3. Perpindahan 4. Percepatan Skalar: 1. Tinggi Badan 2. Jumlah Siswa dalam kelas 3. Panjang sebuah meja 4. Volume bangun Ruang

Secara geometri: Vektor adalah ruas garis yang berarah u A B A : Titik Pangkal / titik tangkap B : Titik Ujung / Terminus Vektor u diwakili Vektor AB = AB

Jenis–jenis vektor 1. Vektor Baris : 2. Vektor Kolom : 3. Vektor Basis : AB = xi + yj 4. Vektor Polar (kutub) : AB = ( r, θ)

Tentukanlah vektor-vektor yang diwakili oleh AB, CD, EF, dan GH B D C E A G H F

Jawab: Vektor AB = a Vektor CD = - c Vektor EF = d Vektor GH = - e

VEKTOR PADA BIDANG KARTESIUS SB Y B ( X 2, Y 2) y 2 Vektor AB dalam bentuk pasangan Bilangan AB = y 1 O A (X 1, Y 1) x 1 x 2 SB X AB =

BESAR VEKTOR PADA BIDANG KARTESIUS Besar Vektor AB = AB SB Y B ( X 2, Y 2) y 2 atau y 1 A (X 1, Y 1) O X 1 X 2 SB Y

Contoh: Diketahui A( 2, 1), B( 6, 4). Tentukanlah: a. Vektor AB b. Besar Vektor AB Jawab :

Latihan: Tentukanlah Vektor dan Besar Vektor dari gambar berikut : E Sb y C A D B o F Sb x G

Jawab: Vektor OA = Vektor BC = Coba tentukan yang lainnya

VEKTOR SATUAN Vektor yang panjangnya satuan

Tentukanlah Vektor Satuan dari a Sb y a = 3 i + 4 j 4 a j 0 i 3 Sb x

Jawab: a = 3 i + 4 j

OPERASI VEKTOR 1. Penjumlahan 2. Pengurangan 3. Perkalian

Penjumlahan Vektor secara Grafis b a+b a

Pengurangan Vektor secara Grafis a b a a+(-b) = a - b -b

Perkalian Skalar dengan Vektor a 2 a - 3 a

Penjumlahan Vektor secara Analitis a θ b a ) b (a+ b 1800 - θ

Pengurangan Vektor secara Analitis a θ b (a-b ) -b a

Contoh : Jawab : 4 60 6

Latihan: 1. Diketahui a = 3 i + j , b = i – 2 j Tentukanlah : a. Vektor Satuan a b. Vektor Satuan 2 b c. Vektor Satuan ( a – 2 b)

2 5 120 8 3 12 90 5

4. b 150 o a

5. 6

PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR ( Dot Product)

Perkalian Skalar Dua Vektor Definisi : a b

Contoh: Tentukanlah perkalian skalar vektor a dan b Jawab : a=4 45 o b=6

Jika a = x 1 i + y 1 j + z 1 k b = x 2 i + y 2 j + z 2 k Maka Perkalian Skalar a dan b adalah : a. b = x 1. x 2 + y 1. y 2 + z 1. z 2

Bukti : a. b = (x 1 i+y 1 j+z 1 k). (x 2 i +y 2 j +z 2 k) = x 1. x 2. i. i + x 1. y 2. i. j + x 1. z 2. i. k + y 1. x 2. j. i + y 1. y 2. j. j + y 1. z 2. j. k + z 1. x 2. k. i + z 1. y 2. k. j + z 1. z 2. k. k = x 1. x 2. 1 + x 1. y 2. 0 + x 1. z 2. 0 + y 1. x 2. 0 + y 1. y 2. 1 + y 1. x 2. 0 + z 1. y 2. 0 + z 1. x 2. 1 a. b = x 1. x 2. + y 1. y 2. + z 1. z 2.

Keterangan : i. i = 1. 1. Cos oo = 1. 1. =1 j. j = 1. 1. Cos oo = 1. 1. =1 k. k= 1. 1. Cos oo = 1. 1. =1 i. j = 1. 1. Cos 90 o = 1. 0 = 0 i. k = 1. 1. Cos 90 o = 1. 0 = 0 j. k = 1. 1. Cos 90 o = 1. 0 = 0

Contoh: Diketahui a = 2 i + 4 j + 6 k dan b = 3 i – 5 j + 8 k Tentukan perkalian skalar a dan b Jawab : a. b = 2. 3 + 4. (-5) + 6. 8 a. b = 6 – 20 + 48 a. b = 34.

Perkalian Silang Dua Vektor ( CROSS PRODUCT )

Perkalian Silang Dua Vektor Definisi : a x b ê a Vektor satuan yang tegak lurus a dan b b

Jika a = x 1 i + y 1 j + z 1 k b = x 2 i + y 2 j + z 2 k Maka Perkalian Silang Vektor a dan b adalah : a x b = (y 1. z 2. - z 1. y 2. )i - (x 1. z 2. - z 1. x 2) j + (x 1. y 2 - y 1. x 2) k Atau secara determinan matrik sebagai berikut

Bukti: a x b = (x 1 i+y 1 j+z 1 k) x (x 2 i +y 2 j +z 2 k) = x 1. x 2. ixi + x 1. y 2. ixj + x 1. z 2. ixk + y 1. x 2. jxi + y 1. y 2. jxj + y 1. z 2. jxk + z 1. x 2. kxi + z 1. y 2. kxj + z 1. z 2. kxk = x 1. x 2. 0 + x 1. y 2. k + x 1. z 2. (-j) + y 1. x 2. (-k) + y 1. y 2. 0 + y 1. z 2. i + z 1. x 2. j + z 1. y 2. (-i) + z 1. x 2. 0

a x b = x 1. y 2. k y 1. z 2. i + x 1. z 2. (-j) + y 1. x 2. (-k) + + z 1. x 2. j + z 1. y 2. (-i) = x 1. y 2. k + y 1. x 2. (-k) + x 1. z 2. (-j) + z 1. x 2. j + y 1. z 2. i + z 1. y 2. (-i) = y 1. z 2. i + z 1. y 2. (-i) + x 1. z 2. (-j) + z 1. x 2. j + x 1. y 2. k + y 1. x 2. (-k)

a x b = (y 1. z 2. - z 1. y 2. )i - (x 1. z 2. - z 1. x 2) j + (x 1. y 2 - y 1. x 2) k

Keterangan : i x i = 1. 1. Sin oo. e = 1. 0. e = 0 j x j = 1. 1. Sin oo. e = 1. 0. e =0 k x k= 1. 1. Sin oo. e = 1. 0. e =0 i x j = 1. 1. Sin 90 o. k = 1. k = k k x i = 1. 1. Sin 90 o. j = 1. j = j j x k = 1. 1. Sin 90 o. i = 1. i = i j x i = 1. 1. Sin 90 o (. -k)= 1. ( -k )= -k i x k = 1. 1. Sin 90 o. (-j) = 1. (-j )= -j k x j = 1. 1. Sin 90 o. (-i ) = 1. (-i ) = -i k j i e

Contoh : Diketahui a = 2 i + j – 4 k , b = 5 i – 6 j + 3 k Tentukan a x b Jawab: = (1. 3 - (-4)(-6))i - ( 2. 3 - (-4). 5)j + (2. (-6) - 1. 5)k = ( 3 - 24) i - ( 6 + 20 ) j + (-12 - 5) k = -21 i - 26 j - 17 k

Luas Jajargenjang Definisi Perkalian Silang b Ø h a Luas Jajargenjang adalah = alas x tinggi =axh = a. b Sin Ø Jadi Luas Jajargenjang = Besar Vektor Perkalian Silang Dua Vektor Luas Jajargenjang = a x b