Matematika Komputasi Logic Inference Predicate Quantifier Intro Sebagai
Matematika Komputasi Logic Inference + Predicate Quantifier
Intro • Sebagai landasan untuk pembuktian dalam matematika • Pembuktian matematika terdiri dari argumen yang valid yang menyatakan kebenaran dari pernyataan matematika • Argumen berisi beberapa penyataan yang dapat menghasilkan kesimpulan. • Dikatakan valid, apabila dari pernyataan-pernyataan yang ada (permis) harus menuju ke sebuah kesimpulan.
Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19
Single Statement Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19
Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Single Statement Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19
Multiple Statement Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19
Premis Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19 Conclusion
Argument Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19
h 1 h 2. . . hn ∴c h 1 Λ h 2 Λ. . . Λ hn → c Tautology Argument is Valid
h 1 : Jika Kasino anak gaul penggemar Dewa-19 maka ia penggemar Dewa-19 h 2 : Kasino adalah anak gaul ∴ Kasino adalah penggemar Dewa-19 h 1 : p → h 2 : p
h 1 : Jika Kasino anak gaul penggemar Dewa-19 maka ia penggemar Dewa-19 h 2 : Kasino adalah anak gaul ∴ Kasino adalah penggemar Dewa-19 h 1 : p → h 2 : p
h 1 : Jika Kasino anak gaul penggemar Dewa-19 maka ia penggemar Dewa-19 h 2 : Kasino adalah anak gaul ∴ Kasino adalah penggemar Dewa-19 h 1 : p → q h 2 : p c: q
p q (p q) ʌ p q 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1
Contoh: • Contoh 1: Jika Anda punya password, anda bisa login ke network Anda mempunyai password p→q Jadi p Anda bisa login ke network • Contoh 2: ∴q Jika Anda punya akses ke e-learning, Anda bisa submit tugas Anda punya akses ke e-learning Anda bisa submit tugas
RULE OF INFERENCE
VA p→q p ∴q LID Modus Law Ponen of Detachment
Contoh: Contoh 1: Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bil. genap 20 habis di bagi 2 ∴ 20 adalah bilangan genap Contoh 2: If it snows today, we will go skiing It snows today ∴ We will go skiing
Modus Tollen p→q ¬q ∴ ¬p
Contoh: Contoh 1: Jika n bilangan ganjil, maka n 2 bernilai ganjil n 2 bernilai genap; keduanya benar ∴ n bukan bilangan ganjil Contoh 2: Jika n bilangan ganjil, maka n 2 bernilai ganjil n 2 bernilai genap; keduanya benar ∴ n bukan bilangan ganjil
Silogisme Hipotesis p→q q→r ∴p→r
Contoh: Jika saya belajar dengan giat maka saya lulus ujian Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah ∴ jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah
Silogisme Disjungtif p. Vq ¬q ∴p
Contoh: Saya belajar dengan giat atau saya menikah th. depan Saya tidak belajar dengan giat ∴ Saya menikah tahun depan
Simplifikasi Penyederhanaan Konjungtif pΛq ∴p pΛq ∴q
• Contoh: Hamid adalah mahasiswa UB dan mahasiswa Unmuh Hamid adalah mahasiswa UB • Contoh: Hamid adalah mahasiswa UB dan mahasiswa Unmuh Hamid adalah mahasiswa Unmuh
Konjungsi p q ∴pΛq
Contoh: Kasino mengambil matakuliah diskrit Kasino mengulang matakuliah algoritma ∴ Kasino mengambil matakuliah diskrit dan mengulang matakuliah algoritma
Addition p ∴p. Vq
Contoh: Kasino mengulang matakuliah algoritma ∴ Kasino mengambil matakuliah diskrit atau mengulang matakuliah algoritma
Dilema. Konstruktif (p→q)Λ(r→s) p. Vr ∴ q. Vs
Dilema. Destruktif (p→q)Λ(r→s) ¬q. V¬s ∴
Contoh Tunjukkan bahwa: • It is no sunny this afternoon and it is colder than yesterday • We will go swimming only if it is sunny • If we do not go swimming, then we will take a canoe trip • If we take a canoe trip, then we will be home by sunset Akan menghasilkan kesimpulan: • We will be home by sunset
• • • p: it is sunny this afternoon q: it is colder than yesterday r: we will go swimming s: we will take a canoe trip t: we will be home by sunset Dengan pernyataan yang ada kita dapat dengan mudah membentuk: ¬p ^ q, r p, ¬r s, s t dan menghasilkan kesimpulan t Tapi kita harus memberikan argumen yang valid seperti berikut:
Step Alasan 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. • • ¬p ^ q ¬p r p ¬r ¬r s s s t t Premise Simplifikasi (1) Premise Modus tollen (2) dan (3) Premise Modus ponen (4) dan (5) Premise Modus ponen (6) dan (7)
Latihan 1 • Buktikan apakah argumen berikut valid apa tidak! • pʌq (p v q) => r r
Latihan 2 • Diketahui beberapa kondisi: • • p = kacamataku ada di dapur q = aku melihat kacamataku ketika sarapan r = aku membaca koran di ruang tamu s = aku membaca koran di dapur t = kaca mata ku letakkan di meja tamu u = aku membaca buku di ranjang w = kacamataku kuletakkan di meja samping ranjang • fakta yang diketahui: • • • p=>q rvs r=>t ~q u=>w s=>p • Tentukan letak kacamata itu sekarang !!
Any Questions? ?
Predicate & Quantifier
Kalimat terbuka • Terdiri dari satu atau banyak variable • Bukan kalimat, tetapi akan menjadi kalimat jika variable-nya diganti dengan nilai tertentu • Contoh: x + 2 merupakan bilangan bulat genap
Kuantor ( Quantifier ) • Suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan.
Predikat & Kuantifier Pernyataan “x > 3” punya 2 bagian, yakni “x” sebagai subjek dan “ adalah lebih besar 3” sebagai predikat P. Kita dpt simbolkan pernyataan “x > 3” dengan P(x). Sehingga kita dapat mengevaluasi nilai kebenaran dari P(4) dan P(1). Subyek dari suatu pernyataan dapat berjumlah lebih dari satu. Misalkan Q(x, y): x - 2 y > x + y
Kuantifikasi Universal “P(x) benar untuk semua nilai x dalam domain pembicaraan” x P(x). Soal 2. Tentukan nilai kebenaran x (x 2 x) jika: x bilangan real x bilangan bulat Untuk menunjukkan x P(x) salah, cukup dengan mencari satu nilai x dalam domain shg P(x) salah. Nilai x tersebut dikatakan contoh penyangkal (counter example) dari pernyataan x P(x).
• Contoh : Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5 Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( bernilai salah )
Kuantifikasi Eksistensi “Ada nilai x dalam domain pembicaraan sehingga P(x) bernilai benar” x P(x). • Contoh : Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5 Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( bernilai benar ) Soal 3. Tentukan nilai kebenaran dari x P(x) bila P(x) menyatakan “x 2 > 12” dan domain pembicaraan meliputi semua bilangan bulat positif tidak lebih dari 4.
Negasi “Setiap mhs dalam kelas ini telah mengambil Kalkulus I” [ x P(x)] Apakah negasi dari pernyataan ini…. ? “Ada seorang mhs dalam kelas ini yang belum mengambil Kalkulus I” [ x P(x)] Jadi, x P(x) x P(x).
Negasi (2) Soal 4. Carilah negasi dari pernyataan berikut: “Ada politikus yang jujur” “Semua orang Indonesia makan pecel lele” Soal 5. Tentukan negasi dari: x(x 2 > x) x (x 2 = 2)
Kuantifier Bersusun (Nested Quantifier) x y (x+y = y+x) berarti x+y = y+x berlaku untuk semua bilangan real x dan y. x y (x+y = 0) berarti untuk setiap x ada nilai y sehingga x+y = 0. x y z (x+(y+z) = (x+y)+z) berarti untuk setiap x, y dan z berlaku hukum asosiatif x+(y+z) = (x+y)+z.
Soal-soal Soal 6. Artikan kalimat ini dalam bhs Indonesia: x (C(x) y ( C(y) F(x, y))), bila C(x) : “x mempunyai komputer”, F(x, y): “x dan y berteman”, dan domainnya adalah semua mhs di kampus. Soal 7. Bagaimana dengan berikut ini: x y z((F(x, y) F(x, z) (y z) F(y, z)) Soal 8. Nyatakan negasi dari pernyataan x y (xy=1).
Tugas 1 (take home) • Buat Rangkuman tentang Predicate Quantifier • • • Maks 5 lembar Soft copy Dikerjakan individu Sertakan referensi Dikumpulkan di ketua kelas. Setelah terkumpul dikirim ke: fitra. bachtiar@ub. ac. id Deadline hari minggu jam 23. 00
Tugas 2 (Tugas Kelas) • Buatlah soal dan jawaban lain yang mengacu pada slide 30 -35 • Kerjakan Latihan 2.
Terimakasih Enrollkey:
- Slides: 52