Matematika II Fungsi Jl Sariasih No 54 Bandung

Matematika II Fungsi Jl. Sariasih No 54 Bandung 40151 Telp. 022 2019218, 022 95166572 Fax. 022 2019218 Oleh : Irayanti Adriant, S. Si, M. T

Pembahasan • • • Fungsi Notasi Fungsi Operasi Fungsi Macam-Macam Fungsi Genap / Ganjil Fungsi Komposisi Sifat-Sifat Fungsi Invers Domain dan Kodomain suatu fungsi invers

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunanlain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B

Fungsi • Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang memetakan setiap objek x dalam satu himpunan dengan satu nilai f(x) dari himpunan kedua. • Himpunan yang pertama disebut dengan daerah asal (domain) • Himpunan yang kedua disebut dengan daerah hasil (range). • Notasi Fungsi : y = f(x)

Notasi Fungsi • Notasi Fungsi : y = f(x) y • F: x y adalah suatu xrelasi yang menghubungkan dimana SETIAP anggota himpunan x mempunyai pasangan TEPAT SATU di anggota himpunan y.

Soal 1 • Dari gambar dibawah ini tentukan mana yang menyatakan: a. fungsi b. relasi 1 2 3 A B C (1) 1 2 3 4 A B C (2) A B C 1 2 3 (3)

1. Himpunan berikut ini mana yang merupakan fungsi: 1. A = {(1, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 2)} 2. B = {(3, 1), (2, 2), (4, 1), (3, 3)} 2. Dari grafik berikut ini tentukan : a. Domain (daerah asal) 1 b. Range (daerah hasil) 2 3 4 A B C D E F

Jenis-jenis fungsi Fungsi aljabar Fungsi irrasional Fungsi non-aljabar (transenden) Fungsi rasional F. Polinom F. Linier F. Kuadrat F. Kubik F. Bikuadrat F. Pangkat F. Eksponensial F. Logaritmik F. Trigonometrik F. Hiperbolik 8

• Fungsi polinom : fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya. y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +…. . . + anxn • Fungsi Linear : fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu (fungsi berderajat satu). y = a 0 + a 1 x a 1 ≠ 0 9

• Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua. y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 a 2 ≠ 0 • Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangan nyata). y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + …+ an-1 xn-1 + anxn an ≠ 0 10

• Fungsi Pangkat : fungsi yang veriabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol. y = xn n = bilangan nyata bukan nol. • Fungsi eksponensial : fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol. y = nx n > 0 11

• Fungsi logaritmik : fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik. y = nlog x • Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik : fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan goneometrik. persamaan trigonometrik y = sin x persamaan hiperbolik y = arc cos x 12

• Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya : fungsi eksplisit dan implisit 13

Linear y y y = a 0 + a 1 x Kuadratik y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 (Kasus a 2 < 0) Kemiringan = a 1 a 0 0 x (a) 0 x (b) 14

y Kubik y y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 Bujur sangkar hiperbolik y=a/x (a > 0) a 0 0 x (c) 0 x (d) 15

y y Eksponen Logaritma y = bx y = logb x (b > 1) 0 x (e) 0 x (f) 16

Operasi Fungsi • Diberikan dua fungsi f dan g : – Penjumlahan : (f+g) (x) = f(x) + g(x) – Pengurangan : (f-g) (x) = f(x) – g(x) – Perkalian : (f. g) (x) = f(x). g(x) – Pembagian: (f/g) (x) = f(x) / g(x)

• F(x) = x² - 4 G(x) = x+4 Tentukan: (a) (f+g)(x) (b) (f-g)(x) (c) (f/g)(x) (d) (f. g)(x)

Macam-Macam Fungsi • Fungsi Konstan f(x) = c c=konstanta contoh : f(x) = 3 • Fungsi Identitas f(x) = x contoh : f(1) = 1

• Fungsi Linier f(x) = ax + b, a≠ 0 Contoh: f(x) = 3 x-1 • Fungsi Modulus (mutlak) f(x) = |x| = x jika x ≥ 0 f(x) = |x| = -x jika x < 0 contoh : f(x) = |x|

Soal 3 • Buat grafik dari fungsi : – f(x) = |x-2| – f(x) = -2 x – f(x) = -2

• Contoh Persoalan Program Linear. 1. Perusahan konveksi “Maju” membuat dua produk, yaitu celana dan baju. Produk tersebut harus diproses melalui dua unit pemrosesan, yaitu pemotongan bahan dan penjahitan bahan. Pemotongan bahan mempersyaratkan kapasitas waktu 60 jam kerja. 22

Sedangkan fungsi penjahitan hanya 48 jam kerja. Untuk menghasilkan satu celana dibutuhkan 4 jam kerja pemotongan bahan dan 2 jam kerja penjahitan. Sementara utk menghasilkan satu baju dibutuhkan 2 jam kerja pemotongan bahan dan 4 jam kerja penjahitan. Laba tiap celana Rp 8. 000. - dan tiap baju Rp 6. 000. 23

Pertanyaan : Perusahaan yg bersangkutan ingin menentukan kombinasi terbaik dari celana dan baju yg hrs diproduksi dan dijual guna mencapai laba maksimum ! 24

Contoh PT. Sayang anak memproduksi dua jenis mainan yang terbuat dari kayu, yaitu bonek dan kereta api. Keuntungan yang diperoleh dari penjualan boneka yaitu 3000 /pcs dan dari kereta api adalah 2000/pcs 25

Contoh…(lanjutan) Untuk membuat boneka dan kereta api ini diperlukan 2 kelompok tenaga kerja yaitu tukang kayu dan tukang poles. Boneka memerlukan dua jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan kayu, sedangkan kereta api memerlukan 1 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan kayu. Jam kerja yang tersedia hanya 100 jam untuk pemolesan dan 80 jam untuk pekerjaan kayu. 26

Fungsi Genap dan Ganjil • Fungsi, y = f(x) dikatakan: – Genap, jika f(-x)=f(x) – Ganjil, jika f(-x) = - f(x) • Contoh: – Fungsi Genap • Grafik fungsi genap y = f(x) simetris terhadap sumbu y

– Fungsi Ganjil • Grafik fungsi ganjil y = f(x) simetris terhadap titik asal.

Soal 4 • Selidikilah apakah Fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya? • F(x) = x² + x³, Fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya?

Fungsi Komposisi • (f o g) (x) = f(g(x)) – Diberikan dua fungsi f dan g, yang dinyatakan dengan f x g – Daerah asal adalah himpunan semua bilangan x didaerah asal g sehingga g(x) di daerah asal x g(x) fog f(x)

• (g o f) (x) = g(f(x)) • ( f o g o h) (x) = f(g(h(x))) • Contoh: – F(x) = 2 x² - 3, G(x) = 3 x+1, hitung: • (f o g) (x) – Jawab: – f(g(x)) =f (3 x+1) = 18 x² + 12 x -1

Soal 5 1. F(x) = x² - 4 x + 3, hitung: (a) F(4) (b) F(4+h) (c) F(4+h)-f(4) 2. F(x) = 3 x² - 4 x + 3, hitunglah (f(x+h) – f(x))/h! 3. Tentukan f(x) jika g(x) = 3 -2 x dan (f o g)(x) = 11 -16 x!

4. F(x) = 2 x² - 3, G(x) = 3 x+1, hitung: – (g o f) (2) 5. f(x) = 3 x², g(x)= x-2, h(x) = 2 x-5, tentukan: a. (f o h o g) (x) = f(h(g(x))) b. (h o g o h)(-1)

Sifat-Sifat Fungsi • Fungsi injektif (satu-satu) – F: A B dikatakan f injektif apabila anggota himpunan B yang mempunyai pasangan dihimpunan A maka tepat satu. – Contoh : A B C A 1 2 3 B

• Fungsi Surjektif (onto) – F: A B dikatakan f surjektif apabila setiap anggota himpunan B mempunyai pasangan pada himpunan A – Contoh : A B C D 1 2 3

• Fungsi Bijektif (koreponden satu-satu) – Adalah fungsi injektif dan surjektif. – Contoh : 1 2 3 A B C

Fungsi Invers • Langkah-langkah menentukan invers y = f(x) – Nyatakan fungsi menjadi fungsi x dalam y : x = f(y) – Ganti menjadi f-1(x) dan y menjadi x – Contoh : • Tentukan invers f(x) = 3 x -6 jawab: y = 3 x-6 3 x = y+ 6 x = (y+6)/3 . : f-1(x) = (x + 6)/3 = 1/3 x + 2

Soal 7 1. Tentukan invers dari : – F(x) = (3 x +2) / (x-5) – F(x) = x² + 6 x – 2 – F(x) = 10 x, f-1(100)! 2. g(x) = 2 x-1 , f(x) = x/(x-+1), (f o g )-1 (x)!

Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Invers • Menentukan Domain – Linier / Persamaan Kuadrat • F(x) = ax + b • F(x) = ax² + bx + c : . Df = { x | x € R} – Rasional • F(x) = a/x : . Df = { x | x ≠ 0, x € R } – Akar • F(x) = √x : . Df = { x ≥ 0, x € R }

• Menentukan Kodomain – Kf = Df -1 • Contoh: • F(x) = (3 x+1) / (x-1) – Df = x-1 ≠ 0 x ≠ 1 = { x | x ≠ 1, x € R} – Kf = Df-1 = x – 3 ≠ 0 x ≠ 3 = { x | x ≠ 3, x € R}