MATEMATIKA EKONOMI yennykhairinayahoo com FUNGSI FUNGSI NON ALJABAR

MATEMATIKA EKONOMI yenny_khairina@yahoo. com

FUNGSI

FUNGSI NON ALJABAR ATAU TRANSSEDEN FUNGSI ALJABAR FUNGSI IRRASIONAL FUNGSI POLINOM FUNGSI LINIER FUNGSI KUADRAT FUNGSI KUBIK FUNGSI BIKUADRAT FUNGSI RASIONAL FUNGSI PANGKAT FUNGSI EKSPONEN FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI FUNGSI HIPERBOL

FUNGSI IRRASIONAL : Y = ( 1 + 2 X – 3 X 2 + 4 X 3 + … + 12 X 11) 1/11 FUNGSI POLINOM : Y = 1 + 2 X – 3 X 2 + 4 X 3 + …+ 12 X 11 FUNGSI LINIER : Y = 1 + 2 X FUNGSI KUADRAT : Y = 1 + 2 X – 3 X 2 FUNGSI KUBIK : Y = 1 + 2 X – 3 X 2 + 4 X 3 FUNGSI PANGKAT : Y = X n , n = bulat positif FUNGSI EKSPONEN : Y = 2 X FUNGSI LOGARITMA : Y = n Log X FUNGSI HIPERBOLA : Y = X n , n = riil negatif

PENERAPAN FUNGSI LINIER Fungsi linier merupakan suatu fungsi yang sangat sering digunakan oleh para ahli ekonomi dan bisnis dalam menganalisa dan memecahkan masalah-masalah ekonomi. Hal ini dikarenakan bahwa kebanyakan masalah ekonomi dan bisnis dapat disederhanakan atau diterjemahkan ke dalam model yang berbentuk linier.

Beberapa penerapan fungsi linier dalam bidang ekonomi dan bisnis antara lain : a. Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar b. Keseimbangan Pasar dua Macam Produk c. Pengaruh Pajak dan Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar. d. Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan Analisis Pulang Pokok (BEP=Break Even Point) e. Fungsi Konsumsi dan Tabungan f. Model Penentuan Pendapatan Nasional

KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBU Kemiringan (slope) dari fungsi linier dengan satu variabel bebas X adalah sama dengan perubahan dalam variabel terikat (dependent) dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas (independent). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m. Jadi, ΔY Y 2 – Y 1 Kemiringan = m = atau ΔX X 2 – X 1 Y Y 0 X 0 (a) Kemiringan positif Y X (b) Kemiringan negatif Y 0 X (c) Kemiringan nol 0 X (d) Kemiringan tak tentu

BENTUK UMUM FUNGSI LINIER Y=a 0 + a 1 X di mana a 1 ≠ nol. Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringantitik potong (slope-intercept). Bentuk seperti ini bila dilihat dari letak kedua variabel X dab Y, dapat disebut sebagai eksplisit, dimana variabel bebas X dan variabel terikat Y saling terpisah oleh tanda sama dengan (=)

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS Metode Dua Titik Y Y – Y 1 = X – X 1 Y 2 – Y 1 X 2 – X 1 A (X 2, Y 2) A (X 1, Y 1) A (X, Y) 0 X

Menentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan (4, 6) Penyelesaian : X 1 = 3, X 2 = 4, Y 1 = 2, dan Y 2 = 6 Y – Y 1 Y 2 – Y 1 = X – X 1 X 2 – X 1 Persamaan garis Y = 4 x - 10 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4. 3. Y Y– 2 6– 2 = X– 3 4– 3 6– 2 Y– 2 = Y– 2 Y Y = 4 (X – 3) = 4 X – 12 = 4 X - 10 4– 3 Y = 4 X - 10 X (X – 3) 0 1 5 (0, -10) 2 3

METODE SATU TITIK DAN KEMIRINGAN Y – Y 1 = m (X – X 1) Contoh Carilah persamaan garis yang melalui titik (6, 4) dan kemiringannya -2/3 Penyelesaian : Diketahui (X 1, Y 1) = (6, 4) dan m = - 2/3 Y Y – Y 1 = m (X – X 1) Y – 4 = -2/3 (X – 6) Y = -2/3 X + 4 Y = -2/3 X + 8 Persamaan garis Y = -2/3 X + 8 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4. 4. (0, 8) 8 6 Y = - 2/3 X + 8 4 2 (12, 0) 0 X

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS Y Y 0 a 1 ≠ b 1 a 1 = b 1 ao ≠ b 0 X 0 (a) Berpotongan Y X (b) Sejajar Y a 1. b 1 = -1 a 1 = b 1 ao ≠ b 0 ao = b 0 0 X (c) Berimpit 0 X (d) Tegak Lurus

SISTEM PERSAMAAN LINIER PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL 1. METODE ELIMINASI Contoh 5. 1. Carilah nilai-nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut ini : 3 X – 2 Y = 7 (5. 1) 2 X – 4 Y = 10 (5. 2) Penyelesaian : 1. Variabel yang akan dieliminasikan adalah variabel Y. 2. Karena variabel Y yang dipilih, maka Persamaan (5. 1) harus dikalikan dengan konstanta 2, dan Persamaan (5. 2) dikalikan dengan konstanta 1, sehingga kedua persamaan menjadi, 3 X – 2 Y = 7 (kalikan dengan 2), maka 6 X – 4 Y = 14 2 X + 4 Y = 10 (kalikan dengan 1), maka 2 X + 4 Y = 10 3. Karena kedua koefisien dari variabel Y tandanya berbeda, maka harus dijumlahkan, dan menjadi, 6 X – 4 Y = 14 2 X + 4 Y = 10 + 8 X + 0 = 24 X=3 4. Subtitusikan nilai X = 3 kedalam salah satu persamaan semula agar diperoleh nilai Y. Bila disubtitusikan pada Persamaan (5. 1), maka akan menghasilkan, 3 (3) -2 Y = 7 - 2 Y = 7 – 9 Y=1

2. METODE SUBSTITUSI Contoh 5. 2. 3 X – 2 Y = 7 2 X + 4 Y = 10 (5. 1) (5. 2) Misalkan variabel X yang dipilih pada persamaan (5. 2), maka akan menjadi, 2 X = 10 – 4 Y X = 5 – 2 Y (koefisien variabel X=1) Karena Persamaan (5. 2)’ yang dipilih, maka subtitusikan kedalam persamaan pertama, sehingga menjadi, 3 (5 – 2 Y) – 2 Y 15 – 6 Y – 2 Y 15 – 8 Y -8 Y Y =7 =7 =7 = 7 – 15 =1 Substitusikan nilai Y = 1 ini kedalam salah satu persamaan mula-mula, misalkan Persamaan (5. 1)’, sehingga memperoleh hasil, 3 X – 2 (1) 3 X X =3 =7 =7+2 Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan urut (3. 1).

Fungsi Kuadrat Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah y = a x 2 + bx + c Maka, D = b 2 – 4 ac Bentuk grafik dari fungsi kuadrat adalah PARABOLA x 1 x 2 a+ x x 1 x 2 a-

Titik Ekstrem Parabola Titik Maksimum dan titik Minimum Fungsi Maksimum dan minimum fungsi sangat ditentukan oleh nilai dari a y = a x 2 + bx + c Titik Maksimum didapat jika a , dan titik maksimumnya x x 1 Titik Miminum didapat jika a , dan titik minimumnya x 2 x 1 a- Titik x 1, 2 dapat dicari dengan: x 2 a+

Posisi Parabola Jika D , maka parabola memotong sb x pada titik (x 1, 0) dan (x 2, 0) Jika D = 0 , maka parabola menyinggung sb x pada titik x 1 x 2 x a+ x 2 a- x -b/2 a x 1 -b/2 a x a- a+ x Jika D , maka parabola TIDAK memotong sb x x a+ a- Definit Positif Definit Negatif

FUNGSI PERMINTAAN Qdx, t = ƒ (Px, t, Py, t, Yt, Pe. X, t+1, St) Dimana Qdx, t = Jumlah produk X yang dibeli/diminta oleh konsumsi dalam periode t. Px, t = Harga produk X dalam periode t. Py, tt = Harga produk yang saling berhubungan dalam periode t. Yt = Pendapatan konsumen dalam periode t. Pex, t+1 = Harga produk X yang diharapkan dalam periode mendatang t + 1. St = Selera dari konsumen pada periode t. P Qdx = ƒ(Px) (0, P) Bila fungsi permintaan ini ditranformasikan kedalam bentuk persamaan linier, maka bentuk umumnya adalah, Qx = a – b. Px Qd = a - bp Dimana Qx = Jumlah produk X yang diminta Px = Harga produk X a dan b = Parameter 0 (Q, 0) X

Hukum Permintaan Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang diminta turun, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang diminta naik, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope negatif (miring ke kiri)

Notasi fungsi permintaan akan barang x adalah: P a/b Qd = a - b. P Qx = f (Px) Qx = a – b P x dimana: Qx = Jumlah produk x yang diminta Px = Harga produk x a dan b = parameter 0 b Q d

Contoh Suatu produk jika harganya Rp. 100 akan terjual 10 unit, dan bila harganya turun menjadi Rp. 75 akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dan gambarkanlah grafiknya? Penyelesaian : Diketahui: P 1 = 100; P 2 = 75; Q 1 = 10; Q 2 = 20 Q – Q 1= Q 2 – Q 1 P – P 1 P 2 – P 1 P (0, 125) Q – 10 = 20 – 10 P – 100 75 – 100 Q = 50 – 2/5 P 100 (Q – 10) = 10/-25 (P-100) 75 (Q – 10) = 40 – 2/5 P 50 Q = 50 – 2/5 P atau Q + 2/5 P – 50 = 0 25 Kurva permintaan ini ditunjukkan oleh Gambar disamping. 0 (50, 0) 10 20 30 40 50 Q

FUNGSI PERMINTAAN KHUSUS p p D D 0 Q

FUNGSI PENAWARAN Qsx, t = ƒ(Px, t , Tt , PF, t , PR, t , Pex, t+1) Dimana Qsx, t = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t. Px, t = harga produk X dalam periode t Tt = Teknologi yang tersedia dalam periode t PF, t = harga faktor-faktor produksi dalam periode t PR, t = harga produk lain yang berhubungan dalam periode t Pex, t+1 = harapan produsen terhadap harga produk dalam perideo t + 1 Qsx = g (Px) Dimana Px Qsx = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen P produk X = Harga S Qsx = a + b. P Qs = a + b. P - a/b 0 Q

Hukum Penawaran Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan turun, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope positif (miring ke kanan)

Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah: Qx = f (Px) P Qx = -a + b Px dimana: Qx = Jumlah produk x yang ditawarkan Px = Harga produk x a dan b = parameter Qs = -a + b. P a/b -a 0 Qd

Contoh Jika harga suatu produk adalah Rp. 500, maka jumlah yang akan terjual sebanyak 60 unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp. 700, maka jumlah produk yang terjual sebanyak 100 unit. Tunjukkanlah fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalam satu diagram Penyelesaian : Diketahui: P 1 = 500; P 2 = 700; Q 1 = 60; Q 2 = 100 Q – Q 1 = Q 2 – Q 1 P – P 1 P 2 – P 1 P (0, 125) Q – 60 = 100 – 60 P – 500 700 – 500 (Q – 60) = 40/200 (P-500) (Q – 60) = -100 +1/5 P 700 600 500 Q = -40 + 1/5 P atau Q + 1/5 P + 40 = 0 400 Kurva permintaan ini ditunjukkan oleh Gambar 200 (60, 500) Q = -40 + 0, 2 P 300 (50, 0) 100 0 20 40 60 80 100 Q

FUNGSI PENAWARAN KHUSUS p p S S 0 Q

KESEIMBANGAN PASAR SATU MACAM PRODUK p Qs Pe E (Qe, Pe) Qd 0 Qe Q

Contoh Jika fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang ditunjukkan oleh : Qd = 6 – 0, 75 P Qs = -5 + 2 P a)Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar? b)Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!

Penyelesaian: a) Syarat keseimbangan Qd = Qs Bila Qd = Qs, maka 6 – 0, 75 P = -5 + 2 P -2, 75 P = -11 P=4 Untuk memperoleh nilai Q substitusikan nilai P = 4 kedalam salah satu persamaan permintaan atau penawaran sehingga, Q = 6 – 0, 75 (4) Q=6– 3 Q=3 Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3, 4). b) Menggambarkan keseimbangan pasar : Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0, 75 P Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6, 0) Jika Q = 0, maka P = 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0, 8) Untuk fungsi permintaan Q = -5 + 2 P Jika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (5, 0) Jika Q = 0, maka P = 2, 5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0, 5/2)

Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh Gambar p 8 (0, 8) 7 Qs = -5 + 2 P 6 5 E (3, 4) 4 3 Qd = 6 – 0, 75 P 2, 5 2 1 (6, 0) 0 1 2 3 4 5 6 Q

Fungsi Kuadrat pada Fungsi Permintaan dan Penawaran Fungsi Permintaan n Fungsi Penawaran Variabel p selalu positif atau 0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak) Untuk setiap p ada satu nilai Q. Grafik fungsi turun. P Q n n n Variabel p selalu positif atau 0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak) Untuk setiap p ada satu nilai Q. Grafik fungsi naik. P Q

Latihan Tentukan titik keseimbangan pasar dan gambarkan grafiknya dari fungsi -fungsi permintaan dan penawaran berikut: 1. Pd = -Q 2 + Q + 2 dan Ps = Q 2 + Q - 2 P Jawab: Ps 2 -2 -1 1 Q 2 0 -2 Pd

KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK Di pasar terkadang permintaan suatu barang dipengaruhi oleh permintaan barang lain. Ini bisa terjadi pada dua macam produk atau lebih yang berhubungan secara substitusi (produk pengganti) atau secara komplementer (produk pelengkap). Produk substitusi misalnya: beras dengan gandum, minyak tanah dengan gas elpiji, dan lain- lain. Sedangkan produk komplementer misalnya: teh dengan gula, semen dengan pasir, dan lain sebagainya. Dalam pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk saja. Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi penawaran produk yang beinteraksi mempunyai dua variabel bebas. Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2) hargaproduk lain yang saling berhubungan.

Notasi fungsi permintaan menjadi: Qdx = a 0 - a 1 Px + a 2 Py Qdy = b 0+ b 1 Px - b 2 Py Sedangkan fungsi penawarannya: Qsx = -m 0 + m 1 Px + m 2 Py Qsy = -n 0 + n 1 Px + n 2 Py Dimana: Qdx= Jumlah yang diminta dari produk X Qdy= Jumlah yang diminta dari produk Y Qsx= Jumlah yang ditawarkan dari produk X Qsy= Jumlah yang ditawarkan dari produk Y Px= Harga produk X Py = Harga produk Y a 0, b 0, m 0, n 0 = konstanta

SYARAT KESEIMBANGAN PASAR DICAPAI JIKA: Qsx = Qdx dan Qsy = Qdy Contoh : Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut: Qdx = 5 -2 Px + Py Qdy = 6 + Px – Py dan Qsx = -5 + 4 Px - Py Qsy = -4 - Px + 3 Py Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar

Penyelesaian: Syarat keseimbangan pasar : Qsx = Qdx -5 + 4 Px – Py = 5 - 2 Px + Py 4 Px + 2 Px – Py = 5 + 5 6 Px – 2 Py = 10 …(1) Qsy = Qdy -4 – Px + 3 Py = 6 + Px – Py -Px – Px + 3 Py + Py = 6 + 4 -2 Px + 4 Py = 10 - Px + 2 Py = 5 …(2) (1)Dan (2) 6 Px – 2 Py = 10 - Px + 2 Py = 5 5 Px Px = 3 Py = 4 = 15 Qsx = 3 Qsy = 5 MEx = ( 3, 3 ) MEy = ( 5, 4 )

KESEIMBANGAN PASAR (FUNGSI KUADRAT) Contoh : Carilah secara aljabar dan geometri harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi permintaan dan penawaran berikut ini : Pd = 24 – 3 Q 2 Ps = Q 2 + 2 Q + 4 Penyelesaian : Syarat keseimbangan pasar adalah Pd = Ps

24 – 3 Q 2 = Q 2 + 2 Q + 4 4 Q 2 + 2 Q - 20 = 0 Substitusikan nilai Q yang memenuhi ke dalam salah satu persamaan permintaan penawaran, sehingga diperoleh nilai P, yaitu P = 24 – 3(2) P = 24 – 12 = 12

Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar adalah E (2, 12). Selanjutnya, berdasarkan fungsi permintaan Pd = 24 – 3 Q 2 dan fungsi penawaran Ps = Q 2 + 2 Q + 4, maka gambar dari keseimbangan pasar dapat digambarkan seperti dibawah. s P P =q 2 + 2 Q + 4 24 (3, 19) 20 16 12 E (2, 12) P =24 – 3 Q 8 4 Q 0 1 2 2, 83

PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASAR Adanya pajak yang dikenakan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menaikkan harga jual barang tersebut sebesar tarif pajak per unit (t), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula. Fungsi penawaran setelah pajak menjadi: Ps = f ( Q ) + t Qs = f ( P ) – t

Keseimbangan Sebelum Pajak (tax) P d = Ps Keseimbangan Setelah Pajak (tax) Pd = Ps + tax P Demand St Pt (Qt, Pt) (Q, P) P 0 S Qt Q Qd, Qs

Contoh: Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P=15 - Q dan fungsi penawaran P= 0, 5 Q + 3. Terhadap produk ini pemerintah mengenakan pajak sebesar Rp 3 per unit. a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak ? b. Berapa besar pajak per unit yang ditanggung oleh konsumen ? c. Berapa besar pajak per unit yang ditanggung oleh produsen ? d. Berapa besar penerimaan pajak total oleh pemerintah ?

Penyelesaian a. Keseimbangan pasar sebelum kena pajak: Pd = P s 15 – Q = 0, 5 Q + 3 15 – 3 = 0, 5 Q + Q Q=8 P=7 ME = ( 8, 7 )

Keseimbangan pasar setelah pajak : Fungsi penawaran setelah pajak: P = 0, 5 Q + 3 P = 0, 5 Q + 6 sehingga keseimbangan pasar setelah pajak: Pd = Pst Keseimbangan pasar setelah pajak : 15 – Q = 0, 5 Q + 6 15 – 6 = 0, 5 Q + Q Q=6 P=9 ME t = ( 6, 9 )

b. Besar pajak per unit yang ditanggung konsumen, sebesar selisih harga keseimbangan setelah pajak dengan harga keseimbangan sebelum pajak yaitu: 9 - 7 = 2 per unit. ME t = ( 6, 9 ) ME = ( 8, 7)

c. Besar pajak per unit yang ditanggung produsen, sebesar selisih tarif pajak per unit yang dikenakan dengan besar pajak per unit yang ditanggung konsumen, yaitu: 3 - 2 = 1 per unit. d. Besar penerimaan pajak total oleh pemerintah, adalah perkalian tarif pajak per unit dengan jumlah keseimbangan setelah pajak, yaitu: 3 x 6 = 18. ME t = ( 6, 9 )

Grafik keseimbangan pasar setelah kena pajak ini ditunjukkan oleh Gambar : P P = 0, 5 Q + 6 15 St 12 S Et (6, 9) 9 P = 0, 5 Q + 3 E (8, 7) 6 P = 15 - Q 3 0 2 4 6 8 10 12 14 15 Q

PENGARUH PAJAK-PROPORSIONAL TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR v Pajak Proporsional ialah pajak yang besarnya diterapkan berdasarkan persentase tertentu dari harga jual; tidak seperti pajak spesifik. § § § Jika persamaan penawaran semula P = a + b. Q (atau Q = -a/b + 1/b P); Dikenakan pajak proporsional sebesar t% dari harga jual; Persamaan penawaran yang baru akan menjadi : P = a + b. Q + t. P P – t. P = a + b. Q (l – t)P = a + b. Q t : pajak proporsional dalam %

v Contoh Diketahui : permintaan; P = 12 – Q penawaran; P = 2 + 0, 25 Q t = 20% Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak…? Penyelesaian : Sebelum pajak, Pe = 4 dan Qe = 8 , Sesudah pajak, fungsi permintaan tetap P = 15 – Q atau Q = 15 – P. Fungsi penawaran sesudah pajak (t = 20% ): P = 2 + 0, 25 Q + 0, 20 P 0, 8 P = 2 + 0, 25 Q Keseimbangan Pasar : P d = Ps Keseimbangan sesudah pajak: Q’e = 7, 24 dan P’e = 12 7, 24 = 4, 76 Pajak diterima pemerintah dari setiap unit barang : T=t x P’e = 0, 20 7, 24 = 1, 45

Kurvanya: § Pajak ditanggung konsumen: tk = P’e – Pe = 4, 76 – 4 = 0, 76 / barang Total pajak t= 20%(P’e) =0, 2*4, 76 = 0, 95 /unit barang Pajak ditanggung produsen : tp = t – tk = 0, 95 – 0, 76 =0, 19 Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah : § T=t P’e = 0, 20 4, 76 7, 24 = 6, 89

Adanya subsidi yang diberikan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menurunkan harga jual barang tersebut sebesar subsidi per unit (s), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula. Fungsi penawaran setelah subsidi menjadi: Ps = f(Q) – s Qs = f( P + s )

Keseimbangan Sebelum Subsidi (tr) Pd = Ps Keseimbangan Setelah Subsidi (tr) Pd = Ps - tr P Demand P Ptr ME Me t r Q Qtr Qd, Qs

Diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran : Qd = 11 – P dan Qs = - 4 + 2 P Kepada produsen , pemerintah memberikan subsidi (transfer) sebesar tr = Rp 1/unit barang a. Carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sebelum dan sesudah ada subsidi b. Gambarkan perubahan akibat subsidi tersebut c. Berapa tarif subsidi yang dinikmati konsumen d. Berapa tarif subsidi yang dinikmati produsen e. Berapa total subsidi yang ditanggung pemerintah f. Berapa total subsidi yang dinikmati konsumen g. Berapa total subsidi yang dinikmati produsen

solusi a. Market equilibrium sebelum subsidi 11 – P = -4 + 2 P P = 5, Q = 6 b. Market equilibrium setelah subsidi 11 - Qd = 2 + 1/2 Qs - 1 Qtr = 6, 67, Ptr = 4, 33 b. P 11 ME 5 4, 33 MEtr 2 1 0 6 6, 67 Qd, Qs

c. Tarif subsidi yang dinikmati konsumen : trk = ∆P = (5– 4, 33) = Rp 0, 67 d. Tarif subsidi yang dinikmati produsen trp = Tr - trk = Rp 1 -Rp 0, 67=Rp 0, 33 e. Total subsidi yang ditanggung pemerintah: Tpe = Tr x Qtr = 1 x 6, 67 = 6, 67 f. Total subsidi yang dinikmati konsumen Trk = ∆P x Qtr = Rp 0, 67 x 6, 67 = Rp 4, 47 g. Total subsidi yang dinikmati produsen Trp= Rp 0, 33 x 6, 67 = Rp 2, 20

Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan. Dilambangkan dengan R (revenue) atau TR (total revenue). Rumus : R = Px. Q Keterangan : P = harga jual perunit Q = jumlah produk yg dijual R R = f(Q) 0 Q

Contoh Misalkan suatu produk dijual dengan harga Rp 5. 000 perunit barang. Bagaimanakah fungsi penerimaannya ? Gambarkan fungsi penerimaan tersebut pada grafik JAWAB : R = Px. Q R = 5000 Q R R = 5000 Q Q

FUNGSI BIAYA Fungsi biaya diberi lambang C (cost) atau TC (total cost) Rumus : TC = FC + VC TC = FC + P. Q Keterangan : FC = fix cost = biaya tetap VC = variabel cost = biaya yg berubah FC , VC, TC TC VC FC Q 0

Contoh Sebuah perusahaan mengeluarkan biaya tetap sebesar Rp 100. 000 dan biaya variabelnya Rp. 3. 000 per unit barang Tentukan fungsi biayanya ? Gambarkan grafik fungsinya ? Jawab : TC = 100. 000 + 3000 Q TC TC 100. 000 0 Q

FUNGSI PENERIMAAN TOTAL (Bentuk Kuadrat) Penerimaan total dari suatu perusahaan (produsen) adalah hasil kali antara per unit produk dengan jumlah produk yang dijual, atau rumusnya adalah, TR = P. Q dimana : TR = Penerimaan Total Q = Jumlah produk yang dijual P = Harga produk per unit Jika fungsi permintaan linier dan menurun dari kiri atas ke kanan bahwa berarti harga P tidak tetap, maka penerimaan total (TR) akan berbentuk fungsi kuadrat. Jadi, bila fungsi permintaan dinyatakan oleh P = b – a. Q, maka akan diperoleh persamaan penerimaan total,

TR = P. Q TR = ( b – a. Q) Q TR = b. Q – a. Q 2 Fungsi penerimaan total bila digambarkan dalam bidang koordinat akan berbentuk kurva parabola yang terbuka ke bawah dan memotong sumbu Q di dua titik, yaitu : Q = 0 dan xxx. Karena puncak yang maksimum, yaitu : Titik Puncak Contoh Diketahui fungsi permintaan P = 20 – 2 Q, carilah penerimaan total maksimum dan gambarkanlah kurva dan penerimaan total dalam satu diagram!

Penyelesaian : TR = PQ TR = (20 – 2 Q)Q TR = 20 Q – 2 Q 2 TR = Maksimum Jika TR = 0, maka 20 Q – 2 Q 2 = 0 2 Q (10–Q) = 0 Q 1 = 0 Q 2 = 10 Kurva penerimaan total ini ditunjukkan oleh Gambar di bawah.

P, TR (5, 50) 50 TR = 20 Q – 2 Q 2 40 8, 30 30 2, 30 (0, 20) 20 10 P =20 – 2 Q (0, 0) 0 (10, 0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q

ANALISA BREAK-EVEN Break-even adalah suatu kondisi dimana perusahaan tidak untung maupun tidak rugi Break-even: TR = TC Untung : TR > TC Rugi : TR < TC TR, TC TR A LAB TC BEP Rp I UG R 0 Q Qe

Contoh Suatu perusahaan menghasilkan produknya dengan biaya variabel perunit Rp 4. 000 dan harga jualnya perunit Rp 12. 000. Manajemen menetapkan bahwa biaya tetap dari operasinya Rp 2. 000. Tentukan jumlah unit produk yg harus perusahaan jual agar mencapai pulang pokok Jawab : TR = TC 12000 Q = 2. 000 + 4000 Q 8000 Q = 2. 000 Q = 250 TR = 12. 000 Q = 12. 000 (250) = 3. 000

Grafik TR, TC (dlm juta) TR= 12000 Q TC = 2 jt + 4000 Q BEP 3 2 FC = 2 jt VC = 4000 Q 0 250 Q

KONSUMSI DAN TABUNGAN 1. KONSUMSI Dilihat dari sisi penawaran dalam perekonomian tertutup pendapatan yang diperoleh masyarakat (Y) hanya digunakan untuk tujuan komsumsi (C) dan Saving (S), atau : Y=C+S Besarnya konsumsi ditentukan oleh pendapatan (Y).

Fungsi Konsumsi Hubungan antara konsumsi (C) dan pendapatan (Y) disebut fungsi konsumsi. Secara matematis hubungan tsb ditulis sbb: C = a + b. Y Dimana : C = konsumsi a = parameter, yang menunjukkan konsumsi jika Y = 0 b = parameter, yang menunjukkan tambahan konsumsi (ΔC) akibat adanya tambahan pendapatan (ΔY) Y = pendapatan Nasional

Hasrat Mengkonsumsi Marjinal dan Rata-rata Hasrat mengkonsumsi / MPC (marginal propensity to consume) didefinisikan sbg perbandingan antara pertambahan konsumsi (ΔC) yang dilakukan dengan pertambahan pendapatan disposible (ΔY) Nilai MPC dapat dihitung dengan formula : (ΔC) MPC = (ΔY)

Hasrat mengkonsumsi rata-rata / APC (average propensity to consume), didefinisikan, sbb: Perbandingan antara tingkat pengeluaran konsumsi (C) dengan tingkat pendapatan disposibel pada tingkat konsumsi tsb dilakukan (Y). Nilai APC dapat dihitung dg formula C APC = Y

TABUNGAN Tidak semua pendapatan yang diperoleh langsung dikonsumsi pada periode yang sama. Sebagian diantaranya ada yang ditabung. Besarnya jumlah tabungan juga tergantung pada pendapatan. Makin tinggi jumlah pendapatan makin tinggi pula jumlah tabungan.

Fungsi Tabungan Fungsi tabungan adalah suatu persamaan yang menggambarkan sifat hubungan diantara tingkat tabungan rumah tangga dalam perekonomian dengan pendapatan nasional perekonomian tersebut. Dari persamaan Y = C + S, dapat ditulis kembali menjadi : S=Y–C Juga dari persamaan sebelumnya kita tahu C = a + b. Y

Dengan mensubstitusikan persamaan tersebut, maka hubungan antara tabungan dan pendapatan dapat dicari S=Y–C = Y – a – b. Y = -a + (Y-b. Y) = -a + (1 -b) Y

Hasrat menabung Marginal dan Rata-rata Hasrat menabung / MPS (marginal propensity to Save). Dapat didefinisikan sebagai perbandingan di antara pertambahan tabungan (ΔS) dengan per-tambahan pendapatan disposibel (ΔY). Nilai MPS dapat dihitung dg rumus : (ΔS) MPS = (ΔY)

Hasrat Menabung Rata-rata Hasrat menabung rata-rata / APS (average propensity to save), menunjukkan perbandingan antara tabungan (S) dengan pendapatan disposibel (Y). Nilai APS dapat dihitung dg formula : S APS = Y

Penentu-penentu Konsumsi dan Tabungan Beberapa faktor yang menentukan atau yang mempengaruhi tingkat konsumsi dan tabungan adalah : 1. Kekayaan yang telah terkumpul 2. Tingkat bunga 3. Keadaan perekonomian 4. Distribusi pendapatan 5. Tersedia tidaknya dana pensiun yang mencukupi

KURVA FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN C = a + b. Yd Y = (a + b. Yd) + s S = Y – (a + b. Yd) atau S = -a + (a - b) Yd MPS + MPC = 1 C. S C=Y g vin a S C = a + b. Y a E g vin a s Dis S = -a + (1 – b) Y 450 0 -a Y Ye

Contoh Jika fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan C = 15 + 0, 75 Yd, pendapatan disposibel Rp. 30 miliar (a) (b) (c) Berapa Konsumsi agregate, bila pendapatan disposibel Rp 30 miliar? Berapa besar keseimbangan pendapatan nasional? Gambarkanlah fungsi konsumsi dan tabungan secara bersama-sama! Penyelesaian: a) Jika Yd = Rp. 30 miliar, maka C = 15 + 75 (30) = 15 + 22, 5 = 37, 5 miliar b) Yd = C + S atau S = Y – C S = Yd – (15 + 0, 75 Yd) S = -15 + 0, 25 Yd

Gambar Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan C. S Y=C C = 15 + 0, 75 Yd 60 E (60, 60) 30 15 0 S = -15+ 0, 25 Yd Y 60 - 15 c) Keseimbangan pendapatan terjadi bila S = 0 Jadi, 0 = -15 + 0, 25 Yd 0, 25 Yd = 15 15 Yd = = (15)(4) = 60 miliar 0, 25 C = 15 + 0, 75 (60) C = 15 + 45 = 60 miliar

MODEL PENENTUAN PENDAPATAN NASIONAL Y=C+I+G+X–M C = a + BY Dimana: Y C I G X M = = = Pendapatan Nasional Konsumsi Nasional Investasi Pengeluaran Pemerintah Ekspor Impor Y = a + b. Y + I 0 + G 0 + X 0 – M 0 atau (1 -b)Y = a + I 0 + G 0 + X 0 – M 0 Jadi, nilai pemeceahan keseimbangan pendapatan Nasional adalah : a + I 0 + G 0 + X 0 – M 0 Y= (1 – b) C = a + b. Y = a + b(a + I 0 + G 0 + X 0 – M 0) (1 – b) = a (1 – b) + b(a + I 0 + G 0 + X 0 – M 0) (1 – b) C= a + b(a + I 0 + G 0 + X 0 – M 0) (1 – b)

Contoh 6. 10 Diketahui model pendapatan Nasional sebagai berikut : Y =C+I+G C = 25 + 0, 75 Y I = I 0 = 50 G = G 0 = 25 (a) Tentukan tingkat keseimbangan pendapatan Nasional! (b) Gambarkanlah grafik fungsi permintaan agregate Penyelesaian: Keseimbangan pendapatan Nasional jika hanya ada satu sektor, yaitu sektor konsumsi rumah tangga, C, maka nilainya adalah, S =0 S = -25 + 0, 25 Y O = -25 + 0, 25 Y = 25 Y = 100 Jika I = I 0 = 50 miliar, maka Y =C+I Y = 25 + 0, 75 Y + 50 Y - 0, 75 Y = 75 0, 25 Y = 75 Y = 300 Jika I = I 0 = 50 miliar; dan G = G 0 = 25 miliar, maka Y =C+I+G Y = 25 + 0, 75 Y + 50 + 25 Y = 100 + 0, 75 Y Y – 0, 75 Y = 100 0, 25 Y = 100 Y = 400

Jadi, keseimbangan pendapatan Nasional mula-mula hanya sektor konsumsi rumah tangga (C) adalah 100 miliar. Setelah ada pengeluaran investasi (1) 50 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional berubah menjadi 300 miliar. Selanjutnya, jika ditambah lagi pengeluaran pemerintah (G) sebesar 2 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional menjadi 400 miliar. Keseimbangan pendapatan Nasional ini dapat dilihat pada Gambar C, S E 11 400 Y=C+I+G Y=C+I Y = 25 + 0, 75 Y 300 E 1 200 100 75 E 25 Y 0 100 200 300 400 500 600

Hitung Keuangan Bunga Tunggal Bunga Majemuk Anuitas

1. Bunga Tunggal Ø Ø Ø Bunga adalah Selisih jumlah nominal uang yang dipinjam dan jumlah yang dikembalikan. Bunga pinjaman merupakan beban ganti rugi bagi peminjam. Hal ini disebabkan peminjam menggunakan uang pinjaman tersebut untuk usaha. Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase). Bunga tunggal adalah besarnya bunga sebagai jasa peminjaman yang dibayarkan tetap untuk setiap periode

Misalkan uang sebesar Rp 100. 000, 00 dibungakan atas dasar bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10%. Ø Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama: Rp 100. 000, 00 + (10% × Rp 100. 000, 00) = Rp 10. 000, 00 (1 +10%) Ø Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua: Rp 100. 000, 00 + (10% × Rp 100. 000, 00) Ø = Rp 100. 000, 00 (1 + 2 × 10%) Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga: Rp 100. 000, 00 + 10% × Rp 100. 000, 00 Ø = Rp 100. 000, 00 (1 + 3 × 10%) Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-: Rp 100. 000, 00 + 10% × Rp 100. 000, 00 +. . . + 10% × Rp 100. 000, 00 = Rp 100. 000, 00 ( 1+ t × 10%)

Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut. B=M ×t× r M = M (1 + t × r) Keterangan : M = modal t = periode waktu dengan tingkat suku bunga B = bunga Mt = besar modal pada akhir periode r = tingkat suku bunga

Contoh 1: Koperasi Jatra Lestari memberikan pinjaman kepada anggotanya atas dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Jika seorang anggota meminjam modal sebesar Rp 3. 000, 00 dengan jangka waktu pengembalian 1 tahun, tentukan a. besar bunga setiap bulannya; b. besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang ditentukan. Jawab: Besar bunga dihitung setiap bulan. Diketahui r = 2%, M = Rp 3. 000, 00, dan t = 12 bulan. a. Besar bunga setiap bulan adalah B=M × 1×r = Rp 3. 000, 00 × 1 × 2% = Rp 60. 000, 00

b. Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka 12 bulan adalah M = M (1 + t × r) M = Rp 3. 000, 00(1 + 12 × 2%) = Rp 3. 000, 00(1, 24) = Rp 3. 720. 000, 00

Contoh 2: Cecep meminjam uang di suatu bank sebesar Rp 2. 000, 00 dengan suku bunga tunggal 30% per tahun. Dalam waktu 60 hari, Cecep sudah harus mengembalikan uang tersebut. Berapa bunga dan jumlah uang yang harus dikembalikannya? (Asumsikan: 1 tahun = 360 hari) Jawab: Dari soal di atas diketahui M = Rp 2. 000, 00, r = 30% per tahun, dan t = 60 hari =tahun. a. Bunga B = M × t × r = Rp 2. 000, 00 × = Rp 100. 000, 00 × 30%

b. Jumlah uang yang harus dikembalikan Cecep adalah M = M (1 + t × r) =M +M ×t×r =M +B = Rp 2. 000, 00 + Rp 100. 000, 00 = Rp 2. 100. 000, 00

2. Bunga Majemuk Ø Ø Ø Bunga Majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. Bunga semacam ini biasanya disebut bunga yang dapat berbunga. Adapun perhitungannya dapat kalian pahami melalui perhitungan deret geometri. Misalkan modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) periode waktu. Besar modal pada periode ke-t (Mt ) dapat dihitung dengan cara berikut.

M = M + M × i = M (1 + i) M = M (1 + i) = [M (1 + i)] (1 + i) = M (1 + i) M = M (1 + i) = [M (1 + i) ](1 + i) = M (1 + i). . . M = M (1 + i) = [M (1 + i) ](1 + i) = M (1 + i) Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Keterangan : M 0= modal i = dasar bunga majemuk dengan tingkat suku bunga (dalam persen) periode tertentu Mt = besar modal pada periode ke-t

Contoh 1: Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga majemuk 3% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp 5. 000, 00 dan bank membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun? Jawab: Diketahui M = Rp 5. 000, 00, i = 3% = 0, 03, dan t = 12 bulan. Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah M = M (1 + i) M = Rp 5. 000, 00(1 + 0, 03) = Rp 5. 000, 00(1, 42576) = Rp 7. 128. 800, 00

Contoh 2: Ramli meminjam uang di suatu bank sebesar Rp 2. 000, 00. Bank tersebut memberikan bunga atas dasar bunga majemuk 20% per tahun dengan periode pembungaan setiap catur wulan. Jika Ramli meminjam uang dalam jangka waktu 3 tahun, tentukan jumlah uang yang harus dikembalikan pada akhir tahun ke-3. Jawab: Diketahui M = Rp 2. 000, 00 dan i = 20% = 0, 2. Pembungaan dilakukan setiap catur wulan (4 bulan). Jadi, banyak periode pembungaannya dalam setahun ada =3 kali. Jadi, jika lama peminjaman 3 tahun, banyak periode pembungaannya 3 × 3 = 9 kali. Dengan demikian, jumlah modal (uang) yang harus dikembalikan Ramli pada akhir tahun ke-3 adalah

M = M (1 + i) M = Rp 2. 000, 00(1 + 0, 2) = Rp 2. 000, 00(5, 159780) = Rp 10. 319. 560, 00

FUNGSI NON LINEAR 1. Fungsi Kuadrat Y = f(X) = a. X 2 + b. X + c Y Y X X

Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus: Titik puncak = -b - (b 2 – 4 ac) ----- , -------2 a 4 a -b ± b 2 – 4 ac X 1. 2 = ----------2 a Contoh: Jika fungsi kuadrat Y = X 2 – 8 X + 12 Carilah koordinat titik puncak dan gambarkan Koordinat Titik puncak = -b - (b 2 – 4 ac) ----- , -------2 a 4 a

Contoh : Jika fungsi kuadrat Y = X 2 – 8 X + 12, carilah koordinat titik puncak dan gambarkanlah parabolanya? Penyelesaian : Koordinat titik puncak Untuk X = 0, maka Y = 12 Titik potong sumbu Y adalah (0, 12) Untuk Y = 0, maka X 2 – 8 X + 12 = 0

Titik potong sumbu X adalah (2, 0) dan (6, 0). Berdasarkan nilai-nilai penyelesaian dari titik puncak dan titik potong sumbu X dan Y, maka kurva parabolannya dapat digambarkan seperti 7. 3.

Y Koordinat titik puncak = (0, 12) (8, 12) Y = a 0 = a 1 X + a 2 X 2+a 3 X 3 (2, 0) 2 x

FUNGSI PANGKAT TIGA Polinomial tingkat 3 dengan satu variabel bebas disebut sebagai kubik, dan mempunyai bentuk umum : Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 dimana : a 3 tidak sama dengan nol. fungsi kubik ini bila digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, kurvanya mempunyai dua lengkung (concave) yaitu : lengkung ke atas dan lengkung ke bawah, seperti tampak pada gambar di samping. Y Y = a 0 = a 1 X + a 2 X 2+a 3 X 3 a 0 0 x

Contoh Jika fungsi permintaan adalah Q = 64 – 8 P – 2 P 2, gambarkanlah fungsi permintaan tersebut dalam satu diagram! Penyelesaian : Jika P = 0, maka Q = 64, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (64, 0) Jika Q = 0, maka 64 - 8 P – 2 P 2 = 0 atau P = 4 P – 32 = 0 (P + 8) (P – 4) = 0 P = -8 (Tidak memenuhi) P=4 Jadi, titik potong dengan sumbu P adalah (0, 4) dan (0, -8). Koordinat titik puncak

Berdasarkan titik-titik potong dengan sumbu Q dan P serta koordinat Y titik puncat, maka gambar dari fungsi permintaan Q = 64 – 8 P – 2 P 2 dapat digambarkan seperti di bawah. P (0, 4) Q =64 – 8 P – 2 P 2 4 3 2 1 (64, 0) Q -1 8 -2 16 24 32 40 48 56 64 72 (72, -2) (2, 0)

KURVA INDEFERENS Kurva indiferens menunjukkan titik-titik kombinasi dari barang X dan Y yang dapat memberikan tingkat kepuasan atau utilitas total yang sama bagi konsumen. Kurva indiferens dapat diperoleh dari fungsi utulitas yang berbentuk, U = f (X, Y) dimana : U = Tingkat utilitas atau kepuasan total konsumen. X = Jumah barang X yang dikonsumsi X = Jumah barang Y yang dikonsumsi Bila kurva indiferens ini digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, maka akan tampak seperti gambar dibawah.

Y A (X 1, Y 1) Y 1 B (X 2, Y 2) Y 2 F (X, Y) = U X 0 X 1 X 2

Y A C D Y 1 B Y 2 f 3 (X, Y) = U 3 f 2 (X, Y) = U 2 f 1 (X, Y) = U 1 X 0 X 1 X 2 X 3