Matematika Ekonomi 1 Ruang Lingkup Himpunan Hubungan Fungsi

Matematika Ekonomi 1

Ruang Lingkup: Himpunan, Hubungan, Fungsi, Kalkulus, dan Matriks. • Tujuan : Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-kosep Matematika dalam penerapannya pada persoalan ekonomi. Matematika Ekonomi 2

• Kompetensi: • Mampu menyelesaikan persoalan Ekonomi dan Bisnis dengan alat analisis Matematika. • Literatur • Chiang A. C, 1984. Fundamental Methods of Mathematical Economics. Third Edition, Mc Graw-Hill Book Inc. New York • Johannes, H dan Handoko, BS. 1994. Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Edisi ke empat belas. LP 3 ES. Jakarta Matematika Ekonomi 3

• Materi: • • • Pegertian Matematika Himpunan Sistem Bilangan Fungsi Linear Fungsi non Linear Diferensial Fungsi Sederhana Diferensial Fungsi Majemuk Aljabar Matriks Matematika Ekonomi 4

MATEMATIKA ASAL KATA Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau belajar. Dengan mempelajari matematika, seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dgn sistematis. Berpikir matematis: Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.

Berpikir matematis: Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajar menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik, dia perlu pengetahuan matematika. Matematika, merupakan sarana = pendekatan untuk suatu analisa. Dengan mempelajari matematika, membawa sese-orang kepada kesimpulan dalam waktu yang singkat. Matematika Ekonomi 6

Ekonomi dan Matematika Ekonomi Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya: a. Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana. b. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktifkan logika dengan asumsi-asumsinya. c. Dapat memakai sebanyak n variabel dalam menggambarkan sesuatu (hubungan antar variabel) Mis Qd = f(Pr, Inc, Pi, … ), Pr = harga komoditi ybs Inc = pendapatan, Pi = harga kom. substitusi Matematika Ekonomi 7

Kelemahannya pendekatan matematis: a. Bahasa matematis tidak selalu mudah dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering menimbulkan kesukaran. Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis tersebut, mis dalam: permintaan, produksi, pendapatan nas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari matematika. b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan dasar matematika, ada kecenderungan: (1) membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis Matematika Ekonomi 8

(2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi. Kesimpulan dari bahasa adalah: 1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu ekonomi. 2. Pendekatan matematis merupakan “ mode of transportation” yaitu membawa pemikiran kepada kesimpulan dengan singkat (model) Matematika Ekonomi 9

Matematika Ekonomi dan Ekonometrika adalah pengetahuan yang berkaitan dengan penerapan statistika untuk menganalisa data ekonomi. Matematika Data Ekonomi Ekonometrika - Deduksi - Induksi - Model - Mengolah data - Mengambil kesimpulan Matematika Ekonomi 10

Teori Ekonomi Fakta deduktif Model atau Hipotesis Data Ekonomi Satu Persamaan Teori Statistika Metode Ekonometrika Simultan induktif Teori Diterima Teori Ditolak Matematika Ekonomi Teori Disempurnakan 11

Bidang Matematika Ekonomi yang dibahas: Menurut “Social Science Research Council, seorang ahli ekonomi harus mengerti matematika : Himpunan (gugus), hubungan dan fungsi, teori matriks, kalkulus (limit fungsi, diferensial, persamaan diferensi, partial differentiation, integrasi multipel). Matematika Ekonomi 12

HIMPUNAN = GUGUS Silabus: • Definisi, pencatatan dan himpunan khas • Himpunan Bagian • Pengolahan (operasi) himpunan • Hubungan Matematika Ekonomi 13

1. Definisi, pencatatan dan himpunan khas Himpunan adalah kumpulan dari obyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini menjadi penciri yg membuat obyek/unsur itu termasuk dalam himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z (kapital) Obyek atau unsur atau elemen dilambangkan a, b, c, … atau 1, 2, 3, … Perhatikan (… tiga titik) dibaca dan seterusnya. Matematika Ekonomi 14

Dua cara pencatatan suatu himpunan a. Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 } P = nama himpunan/gugus tanda kurawal buka dan kurawal tutup “ dan “ menyatakan himpunan 2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen Artinya, himpunan P beranggotakan bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4. b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap} X = nama himpunan x = obyek/unsur/elemen tanda “/” dibaca dengan syarat x bil genap = sifat atau ciri Matematika Ekonomi 15

Cara pendefinisian sifat yang lain: J={x/2 <x<5} x merupakan unsur Sifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunan semua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 5 Himpunan khas: a. Himpunan Semesta (S) atau Universum (U) Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang sedang dibicarakan S = { x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjil b. Himpunan kosong (emty set) E = { } himpunan kosong atau dicatat dengan “ø” Matematika Ekonomi 16

Perhatikan: P = { 2, 3, 4 } Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan “€” Jadi: 2 € P 3€P 4 € P. Tanda € baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam” Sebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur P dicatat 5€P 6€P Tanda € dibaca “bukan unsur” atau “bukan elemen” atau “diluar”. Matematika Ekonomi 17

2. Himpunan bagian Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap unsur A juga merupakan unsur himpunan B. A = { 2, 4, 6 }; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Dicatat : A B, baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B Sebaliknya dicatat: B A, baca B mencakup A Tanda dibaca bukan himpunan bagian dan tanda dibaca tidak/bukan mencakup Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih unsur himp itu sebagai unsurnya. Matematika Ekonomi 18

Contoh: X = { 1, 2, 3, 4 } Himpunan bagiannya: a. Memilih semua unsur: X 4 = { 1, 2, 3, 4 } b. Memilih tiga unsur X 31 = { 1, 2, 3 } X 32 = { 1, 2, 4 } X 33 = { 1, 3, 4 } X 34 = { 2, 3, 4 } c. Memilih dua unsur X 21 = { 1, 2 }; X 22 = { 1, 3 } X 23 = { 1, 4 }; X 24 = { 2, 3 } X 25 = { 2, 4 }; X 26 = { 3, 4 } Matematika Ekonomi 19

d. Memilih 1 unsur: X 11 = { 1 }; X 12 = { 2 } X 13 = { 3 }; X 14 = { 4 } e. Tanpa memilih X 0 = { } Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2 n 1 elemen: 2 elemen: 3 elemen: 4 elemen: 1 1 2 2 himp bag 1 1 4 himp bag 1 3 3 1 8 himp bag 1 4 6 4 1 16 himp bag 5 5 10 10 5 1 32 himp bag Disebut segitiga Pascal = bilanga Binom Newton Matematika Ekonomi 20

• Latihan: Matematika Ekonomi 21

3. Pengolahan (operasi) Himpunan Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan, pembagian. Operasi himpunan: gabungan (union), potongan (irisan) dan komplemen. Operasi Gabungan ( U ) A U B = { x / x ε A atau x ε B } A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B. Jika A = { 3, 5, 7 ); B = { 2, 3, 4, 8 } A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 } Matematika Ekonomi 22

Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir S A B Sifat-sifat gabungan a. A U B = B U A Hukum komutasi b. A (A U B) dan B (A U B) Matematika Ekonomi 23

Operasi potongan (irisan) = ∩ A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B } A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A ∩ B = { 5, 15 } Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir: s A B Matematika Ekonomi 24

Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A b. (A ∩ B) (hukum komutasi) A dan (A ∩ B) B Operasi selisih Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B = { x / x € A, tetapi x € B } Diagram Venn A – B sebagai berikut: S A B Matematika Ekonomi 25

Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A – B = { a, c } serta B – A = { f, g } A – B sering dibaca “A bukan B”. Sifat: a (A – B) A; (B – A) B b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus Matematika Ekonomi 26

Komplemen A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A” Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp. bil bulat positip A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir) S A A A’ Matematika Ekonomi 27

Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A Latihan 1 Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan bagian A serta B jika: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {2, 3, 5, 7 } B = {1, 3, 4, 7, 8 } Kemudian selesaikan : a). A – B b). B – A d). A U B e) A ∩ B’ g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’ c) A ∩ B f) B ∩ A’ Matematika Ekonomi 28

Latihan 2 Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau € A B € € € € A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’ Matematika Ekonomi 29

Hubungan Himpunan Hasil kali Cartesius Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y). Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3. Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3} Himpunan hasil kali Cartesius adalah: X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y} Matematika Ekonomi 30

Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: X 1 2 3 4 1 Y 2 3 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) X x Y = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} Matematika Ekonomi 31

Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut: Y PR = {1, 2} malas = {3, 4} rajin 3 • H 1 • • H 4 • 2 • • 1 • 0 1 • H 2 • • 2 3 U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar • H 3 Terdapat 4 himp bag • 4 PR X Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah Matematika Ekonomi H 1 = {malas ttp pintar} H 2 = {malas dan krg mengerti} H 3 = {rajin ttp krg ngerti} H 4 = {rajin dan pintar} 32

Daerah dan Wilayah (Range) hubungan • Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan • Dh = {1, 2, 3, 4} Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan: • Wh = {1, 2, 3} Matematika Ekonomi 33

Kesimpulan: • Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y. • X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y } • Daerah hubungan Dh = { x / x € X} • Daerah hubungan: Wh = { y / y € Y} Matematika Ekonomi 34

SISTEM BILANGAN 1. Pembagian bilangan Bilangan 2; -2; 1, 1; -1, 1 Nyata + dan - Khayal Akar negatip Rasional Irrasional Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0, 1492525 Bulat √(-4) = ± 2 Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0, 14925253993999… π, ℮ 1; 4; 8; termasuk 0 Pecahan Matematika Ekonomi ½; 2/7 dsb 35

2. Tanda pertidaksamaan • Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” • Tanda > melambangkan “lebih besar dari” • Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” • Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat • Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b • Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x. a ≤ x. b • Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x. a ≥ x. b • Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d Matematika Ekonomi 36

Fungsi Silabus: a. Pengertian b. Macam-macam fungsi c. Fungsi Linear d. Fungsi non Linear Matematika Ekonomi 37

Pengertian Himpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap unsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y) Dengan denah Venn sbb: X Y ◦ • Hubungan 1 - 1 Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau fungsi. Jelasnya fungsi LINEAR Matematika Ekonomi 38

Perhatikan juga contoh berikut: Y y = f(x) • x 1 y 1 • • • x 2 • xn 0 x 1 x 2 • y 1 • yn X X Y Gambar di atas, nilai x 1 dan x 2 dalam X, dihubungkan dengan nilai y 1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x) Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di transformasikan di dalam himpunan y. Matematika Ekonomi 39

Transformasi mengandung pengertian yang luas: a. x menentukan besarnya nilai y b. x mempengaruhi nilai y c. Dll. Pernyataan y = f(x) dibaca: y merupakan fungsi dari x atau dicatat : f : x y aturan ditransformasi simbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasi unsur himp. X kedalam himpunan Y Lebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hub fungsional antara satu variabel dengan variabel lain Matematika Ekonomi 40

Perhatikan: y = f(x) x merupakan sebab (variabel bebas) y akibat dari fungsi (variabel terikat) Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai Domain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebut dengan Range atau Wilayah fungsi (Rf = Wf). Df = { x / x ε X } Wf = { y / y ε Y } Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari merupakan fungsi dari output Q tiap hari: C = 150 + 7 Q. Perusahaan memiliki kapasitas limit sebesar 100 unit per hari. Berapa Daerah dan Range dari fungsi biaya? Jawaban: Df = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 } Rf = { C / 150 ≤ C ≤ 850 } Dapat Anda jelaskan ? Matematika Ekonomi 41

Macam-macam fungsi a. Fungsi Polinomial Bentuk umumnya : y = a + bx + cx 2 +. . . + pxn y y Slope = a 1 x a 0 case c < 0 x a 0 Konstan, jika n = 0 Linear, jika n = 1 Kuadratik, jika n = 2 y=a y = a + bx Y = c + bx + ax 2 Matematika Ekonomi 42

y • Titik maksimum Titik belok Fungsi kubik • y = d + cx + bx 2 + ax 3 x y Titik maksimum Fungsi polinom derajad 4 y = e + dx + cx 2 + bx 3 + ax 4 Titik minimum x Matematika Ekonomi 43

b. Fungsi Rasional Fungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi hiperbola. y Hiperbola: = (a/x), a > 0 y x 0 c. Fungsi eksponensial dan logaritma y y Eksponensial y = bx , b>1 0 x Matematika Ekonomi 0 Logaritma y = logbx 44 x

Fungsi linear • Fungsi linear merupakan bentuk yang paling dasar dan sering digunakan dalam analisa ekonomi • Fungsi linear merupakan hubungan sebab-akibat dalam analisa ekonomi – misalnya: - antara permintaan dan harga - invests dan tingkat bunga - konsumsi dan pendapatan nasional, dll • Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1 atau fungsi polinom derajad-1. Matematika Ekonomi 45

• Bentuk umum • Diturunkan dari fungsi polinom: y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +. . . + a n x n • Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu y = a + bx bentuk umum Contoh: y = 4 + 2 x a = 4 b=2 Pengertian: a = 4 = penggal garis pada sumbu vertikal y b = 2, adalah koefisien arah atau lereng atau slope garis. Matematika Ekonomi 46

y y= x +b a a a ∆y = a ∆x a 0 = penggal garis y = ax + b, pada sumbu y yaitu nilai y saat x = 0 b 0 1 2 3 4 5 x a = lereng garis atau ∆y/Δx pada x = 0, ∆y/∆x = a; pada x = 1, ∆y/∆x = a Matematika Ekonomi 47

• Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu konstan. • Latihan-1 y = 4 + 2 x Penggan garis pada sumbu y = …………… Lereng garis : x 0 y ∆x ∆y - - ∆y/∆x = a - 1 Mendapatkan penggal garis pada sumbu y ketika x = 0 2 3 4 Matematika Ekonomi 48

Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2 x x y ∆x ∆y ∆y/∆x = a -3 Mendapatkan penggal garis pada sumbu x ketika y = 0 -2 -1 0 1 2 3 4 Matematika Ekonomi 49

Kurva (grafik) fungsi • Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karena lerengnya sama. • Misalkan y = 36 – 4 x maka a = -4 (∆y/∆x) b = 36 • Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik potong (penggal) dengan: sumbu x dan penggal dengan sumbu y • Hubungkan kedua titik penggal tersebut • Titik penggal pada sb x, y =. . , x = … atau titik (…, …) Titik penggal pada sb y, x =. . , y = … atau titik (…, …) Matematika Ekonomi 50

Grafik: y 36 • (0, 36) y = 36 – 4 x 18 (9, 0) 0 x • 9 Grafik dengan lereng negatip Matematika Ekonomi 51

• Gambarkan grafik fungsi: • y = 2 + 4 x • Titik penggal dg sb x y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0) Titik penggal dg sb y x = 0, y = 2, (0, 2) • Gambarkan : y y = 2 + 4 x 0 x Grafik dengan lereng positip Matematika Ekonomi 52

Fungsi non linear (kuadratik) • Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang sering digunakan dalam analisa ekonomi • Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear juga merupakan hubungan sebab-akibat • Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2 atau fungsi polinom derajad-2. • Bentuk umum • Diturunkan dari fungsi polinom: y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +. . . + a n x n • Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a 2 ± 0, yaitu y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 atau sering ditulis: y = ax 2 + bx + c Matematika Ekonomi 53

• Contoh - 1: • y = 8 – 2 x – x 2 = -1 (a < 0) b = -2 c=8 a • Contoh - 2: • y = 2 x 2 + 4 x + 6 a = 2 a > 0) b=4 c=2 Menggambar kurva non linear kuadratik a. Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0 0 = 8 – 2 x – x 2 atau 8 – 2 x – x 2 = 0 Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua cara: 1. Faktorisasi Maksudnya, menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruasnya atau disebut bentuk perkalian dua fungsi yang lebih kecil Matematika Ekonomi 54

Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan: (2 - x)(4 + x) f(x) = g(x). h(x) (2 - x)(4 + x) = 0 (2 - x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0) (4 + x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0) 2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar) -b ± √ b 2 – 4 ac x = ----------2 c - (-2) ± √ (-2)2 – 4(-1)(8) x = ---------------2(-1) Matematika Ekonomi 55

2 ± √ 4 + 32 2± 6 x = -------- = -----2 -2 x 1 = (2 + 6)/(-2) = -4, titik (-4, 0) x 2 = (2 – 6)/(-2) = 2, titik (2, 0) Hasilnya sama dengan cara faktorisasi. b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0 y = 8 – 2 x – x 2, untuk x = 0, y = 8, titik (0, 8) c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksim atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka titik ini harus dicari. Matematika Ekonomi 56

• Mencari titik maks atau min • Sifat fungsi kuadratik a. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik ekstrim. Titik maks jika a < 0 dan min jika a > 0 b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan: -b b 2 – 4 ac x = ----, dan y = -----2 a -4 a c. Kurvanya simetri pada titik xmaks/min y = 8 – 2 x – x 2, a < 0 berarti maks xmaks = -(-2)/(2)(-1) = -1 ymaks = [(-2)2 – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9. titik maks (-1, 9). Matematika Ekonomi 57

• Gambarkan kurvanya: y 0 Matematika Ekonomi x 58

• Latihan: Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2: y = 2 x 2 + 4 x + 6 Matematika Ekonomi 59

Lanjutan: Matematika Ekonomi 60

• Hubungan dua garis Dua buah garis dengan fungsi linier dapat: a. berimpit b 1 + x a b 2 1 + = x y 1 a 2 = y 2 Berimpit: Jika dan hanya jika a 1 = a 2 b 1= b 2 b. Sejajar y 1 = + a 1 x a 2 x = y 2 b 1 Sejajar: Jika dan hanya jika + b 2 a 1 = a 2 b 1 ± b 2 Matematika Ekonomi 61

c. Berpotongan y Ttk pot y • 2 y 1 = =a 2 x + a 1 x Berpotongan: jika dan hanya jika b 1 a 1 ± a 2 b 1 ± b 2 +b 2 x Dua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanya dapat berpotongan. y a<0 • Ttk pot + b 1 x a 1 = y 1 y 2 = ax 2 + bx + c Ttk pot • a>0 x Matematika Ekonomi 62

• Mencari titik potong dua garis/persamaan • Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada perpotongan tersebut • Caranya: (1) Bentuk fungsi harus y = f(x) (2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik potong • Cari titik potong fungsi x = 15 – 2 y dan 3 y = x +3 x = 15 – 2 y y = -(1/2)x + 15/2 3 y = x +3 y = (1/3)x + 1 -(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1 -(1/2)x – (1/3)x = 1 – 15/2 x = 78/10 Matematika Ekonomi 63

• Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada salah satu fungsi: y = (1/3)x + 1, untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1 y = 26/10 Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10) Matematika Ekonomi 64

• Mencari titik potong dua garis/persamaan (1) 2 x + 3 y = 21 dan (2) x + 4 y = 23 Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada saat perpotongan tersebut. • Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x) (1) 2 x + 3 y = 21 – 2 x atau y = 7 – (2/3)x (2) x + 4 y = 23 – x atau y = (23/4) – (1/4)x Titik potong kedua garis: 7 – (2/3)x = (23/4) – (1/4)x 7 – (23/4) = (2/3)x – (1/4)x 5 = (5/12)x x = 12. y = 11/4 (12, 11/4) Matematika Ekonomi 65

Latihan Matematika Ekonomi 66

Penggunaan Fungsi dalam ekonomi Analisa keseimbangan pasar Keseimbangan pasar – Model linear Asumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika “ekses demand” = 0 atau (Qd – Qs = 0) Asumsi-2: Qd = jumlah permintaan adalah fungsi linear P (harga). Jika harga naik, maka Qd turun. Asumsi-3: Qs = jumlah penawaran adalah fungsi linear P. Jika harga naik, maka Qs juga naik, dengan syarat tidak ada jlh yang ditawarkan sebelum harga lebih tinggi dari nol. Persoalan, bagaimana menentukan nilai keseimbangan ?

Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadi pada saat: Qd = Q s Qd = a - b. P, slope (-) (1) Qs = -c + d. P, slope (+) (2) Gambarnya sbb: Qd , Q s a Qd = a -b. P Qs = -c + d. P keseimbangan Q 0 0 P 1 P 0 P -c Matematika Ekonomi 68

Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb: Qs = 4 – p 2 dan Qd = 4 P – 1 Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalam ekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21) tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerah positip) maka keseimbangan pada (1, 3)} 4 QS = 4 p - 1 1, 3 3 keseimbangan QD = 4 - p 2 0 -1 1 2 Matematika Ekonomi 69

• Latihan • Temukan keseimbangan dari Qd dan Qs tersebut Matematika Ekonomi 70

Keseimbangan pasar (lanjutan) Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-an permintaan dan penawaran dari suatu komoditi tertentu jika: Qd = 16 – P 2 , (Permintaan) QS = 2 p 2 – 4 p (penawaran) Gambarkan grafiknya Apa yang terjadi jika p = 3. 5 dan p = 2. 5 Matematika Ekonomi 71

Penjelasan Pada saat keseimbangan maka Qd = Qs 16 – p 2 = 2 p 2 – 4 p 3 p 2 – 4 p – 16 = 0 Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2 dengan bentuk umum: ax 2 + bx + c Koefisien a = 3, b = -4, dan c = -16 p = (-b) ± (b 2 – 4 ac)1/2 = 4 ± (16 + 192)1/2 = 3. 1 (+) 6 2 a Qd = 16 – p 2 = 16 - (3. 1)2 = 6. 4 Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas 6. 4 dan harga 3. 1. Atau (Q, p) = (6. 4 , 3. 1) Matematika Ekonomi 72

Grafik: Fungsi Permintaan: Qd = 16 – p 2 a. Titik potong dengan sb Q p = 0; Q = 16, (16, 0) b. Titik potong dengan sb p Q = 0; 16 – p 2 = 0 (p – 4)(p + 4). p – 4 = 0, p = 4, ttk (0, 4) p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4) c. Titik maks/min: (Q, p) Q = (-b/2 a) = 0/-2 = 0 p = (b 2 – 4 ac)/(-4 a) = 0 – 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16 atau pada titik (0, 16) Matematika Ekonomi 73

Grafik: Fungsi penawaran Qs = 2 p 2 – 4 p a. Titik potong dengan sb Q p = 0; Q = 0, (0, 0) b. Titik potong dengan sb p Q = 0; 2 p 2 – 4 p = 0 Atau 2 p(p – 2) = 0; 2 p = 0; ttk pot (0, 0) (p – 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2) c. Titik maks/min: (Q, p) Q = (-b/2 a) = 4/4 = 1 p = (b 2 – 4 ac)/(-4 a) = (-4)2 – 4(2)(0)/(-4)(2) = 2 atau pada titik (1, 2) Matematika Ekonomi 74

Grafik: Qs p 4 3. 1 Qd 2 0 6. 4 16 Q Apa yang terjadi jika p = 3. 5 dan p = 2. 5 Untuk p = 3. 5, terjadi ekses supply dan p = 2. 5, terjadi ekses demand. Matematika Ekonomi 75

Penjelasan ekses suplai dan ekses demand Qs Qd Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses supply mendorong harga turun. Matematika Ekonomi 76

DERIFATIF 1. 1. Pengantar Kalkulus khususnya bahasan matematika tentang a. Fungsi b. Derivatif atau fungsi turunan c. Derivatif parsial dan d. Integral sangat luas penggunaannya dalam ilmu ekonomi. Khusus tentang derivatif (kalkulus diferensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmu ekonomi diantaranya: 1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan Matematika Ekonomi 77

2) Elastisitas produksi 3) Biaya total, rata-rata dan marginal 4) Revenue dan marginal revenue 5) Maksimisasi penerimaan dan profit. 6) dll. Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa ini membuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric. Economist, atau agribussines manager perlu mendalami pengetahuan kalkulus diferensial dan integral. Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan. Matematika Ekonomi 78

1. 2. Limit fungsi Pandanglah fungsi h yang diberikan dengan persamaan: 2 x 2 + x - 3 h(x) = ------x-1 Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (perhatikan pembagi/penyebut) maka nilainya ± 0/0 (bentuk tak tentu) Matematika Ekonomi 79

Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas faktornya, sehingga: 2 x 2 + x - 3 h(x) = ------- = x-1 (x-1)(2 x +3) ------= 2 x + 3 x-1 x 2 - 4 Demikian juga jika g(x) = -----, nilainya akan tak x-2 tentu, untuk x = 2 Karena itu g(x) disederhanakan menjadi: (x – 2)(x + 2) g(x) = ---------- = x + 2. x-2 Matematika Ekonomi 80

Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai berikut: Fungsi h tdk terdefinisi di titik x = 1. Untuk x ± 1, maka h(x) = 2 x + 3. Sehingga untuk x mendekati 1, h(x) akan mendekati 5. Dikatakan limit fungsi h dititik x = 1 adalah 5. y 5 ◦ 4 y = h(x) 3 2 1 0 1 x Matematika Ekonomi 81

Keadaan di atas, dicatat sebagai: 2 x 2 + x - 3 lim h(x) = lim ------- = 5 x 1 x-1 Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1 Demikian juga dengan g(x) di atas x 2 - 4 lim g(x) = lim ----- = 4. x-2 x 2 Matematika Ekonomi 82

1. 3. Pengertian Derivatif Suatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai (terdefinisi) pada x = x 0 dan y = f(x) kontinu di titik tersebut, maka: lim f(x) = f(x 0) x -> x 0 Y Y = f(x) diskontinu pada x = x 0 Y = f(x) Y=f(x) y 0 y 1 y 0 • Y = f(x) kontinu pada x = x 0 x ◦ • x 0

0 Sehingga f(x) – f(x 0) ---------- = x – x 0 0 Maka lim f(x) – f(x 0) disebut dengan derivatif ------x->x 0 x – x 0 fungsi f dititik x = x 0. Dengan mensubstitusi Δx = x – x 0, atau x = x 0 + Δx, untuk x-> x 0 berarti Δx ->0 atau: lim Δx-> 0 f(x 0 + Δx) – f(x 0) ---------Δx Matematika Ekonomi merupakan derivatif atau turunan fungsi. 84

Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg: f’(x) atau dy/dx atau y’ atau Dxy. Atau dengan penjelasan lain: Ump. y = f(x) dengan kurva sbb: y y 1 y Y = f(x) ◦ Δx x = f(x) y + Δy = f(x + Δx) Δy x 1 Besarnya pertambahan adalah: Δy = f(x + Δx) – f(x). Dibagi dg Δx: Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) ---------------Δx Matematika Ekonomi 85

lim Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) Δx->0 --------------- Δx adalah turunan fungsi tsb yaitu: y’ = f’(x) = dy/dx Contoh. Cari turunan y = f(x); y = x 2 + 1, dititik x = 5. Jika x ditambah sebesar Δx, maka y akan bertambah sebesar Δy. y + Δy = (x + Δx)2 + 1 y = x 2 + 1 (-) Matematika Ekonomi 86

Dengan pengurangan: Δy = (x + Δx)2 + 1 – x 2 – 1 = x 2 + 2 xΔx + (Δx)2 + 1 – x 2 – 1 = 2 xΔx + (Δx)2 Δy/Δx = 2 x Δx + (Δx)2 Δx = 2 x + Δx lim Δy/Δx = lim 2 x + lim Δx Δx ->0 dy/dx = 2 x + 0 = 2 x dititik x = 5, berarti dy/dx untuk x = 5 adalah 10. Matematika Ekonomi 87

1. 4 Rules of differentiation Rule 1: Derivative of a power function. Fungsi pangkat (power function) y = xn y + Δy = (x + Δx)n – y Δy = (x + Δx)n – xn Ingat kembali bil. Binom Newton (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a + b)4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4 = C(0, 4)a 4 + C(1, 4)a 3 b + C(2, 4)a 2 b 2 + C(3, 4)ab 3+C(4, 4)b 3 Matematika Ekonomi 88

C(i, n) baca kombinasi tingkat i dari n unsur. C(i, n) adalah teori kombinasi yang menyatakan memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk menjadi anggota himpunan bagiannya. C(0, 4) berarti kombinasi tingkat 0 dari 4 unsur. n! C(i, n) = ------i ! – (n – i)! Matematika Ekonomi 89

n! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 0! = 1 Sekarang: Δy = (x + Δx)n – xn = C(0, n)xn + C(1, n)xn-1Δx + C(2, n)xn-2Δx 2 + C(3, n)xn-3Δx 3 + C(4, n)xn-4Δx 4 + ………… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn Matematika Ekonomi 90

Δy = (x + Δx)n – xn = xn + nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx 2 + C(3, n)xn-3Δx 3 + 2 C(4, n)xn-4Δx 4 + …… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn = nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx 2 + C(3, n)xn-3Δx 3 + C(4, n)xn-4Δx 4 + …… + C(n-1, n)xΔxn-1 Matematika Ekonomi 92

Δy = nxn-1+ n(n-1)xn-2Δx + 2 Δx C(3, n)xn-3Δx 2 + C(4, n)xn-4Δx 3 + …… + C(n-1, n)xΔxn-2 Δy Lim ---- = lim nxn-1 atau Δx->0 Δx Δx->0 dy/dx = nxn-1 Contoh: y = x 5 dy/dx = 5 x 4. Mis C = total cost, q = output C = q 3 derivatif C thdp q = 3 q 2. Matematika Ekonomi 93

Rule 2: Multiplication by a constant. y = f(x)= cx 2, c adalah konstanta, dy/dx? y + Δy = c(x + Δx)2 Δy = cx 2 + c 2 xΔx + c(Δx)2 – cx 2 = c 2 xΔx + c(Δx)2 Δy ---- = c 2 x + c(Δx) Δx Δy lim ---- = lim c 2 x , Jadi dy/dx = c 2 x Δx->0 Δx Δx->0 Matematika Ekonomi 94

Contoh: y =f(x) = 5 x 2 f’(x) = 5(2)x 2 -1 = 10 x Rule 3: Derivative of a sum f(x) = g(x) + h(x) Dengan pembuktian yang sama spt rule (1) dan (2) diperoleh: f’(x) = g’(x) + h’(x) Demikian juga untuk: f(x) = g(x) + h(x) + k(x) f’(x) = g’(x) + h’(x) + k’(x) Matematika Ekonomi 95

Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan pengurangan atau selisih. f(x) = g(x) – h(x); f’(x) = g’(x) – h’(x). Contoh: Cari derivatif f(x) = 7 x 4 + 2 x 3 – 3 x + 37 g(x) = 7 x 4; g’(x) = 28 x 3 h(x) = 2 x 3; h’(x) = 6 x 2 k(x) = -3 x; k’(x) = -3 l(x) = 37; l’(x) = 0 jadi f’(x) = 28 x 3 + 6 x 2 – 3. Matematika Ekonomi 96

Rule 4: derivative of a product Fungsi hasil kali berbentuk y = f(x) = g(x). h(x) f’(x) = g(x). h’(x) + h(x). g’(x) Contoh: y = f(x) = (2 x + 3)(3 x 2) g(x) = (2 x + 3); g’(x) = 2 h(x) = 3 x 2; h’(x) = 6 x Jadi: f’(x) = (2 x + 3)(6 x) + (3 x 2)(2) = 12 x 2 + 18 x + 6 x 2 = 18 x 2 + 18 x. Matematika Ekonomi 97

Rule 5: derivatif of a quotient Bentuk umum hasil bagi dua fungsi: y = f(x) = g(x)/h(x). f’(x) = g’(x)h(x) – g(x)h’(x) [h(x)] 2 Matematika Ekonomi 98

Contoh: f(x) = (2 x – 3)/(X + 1). g(x) = 2 x – 3; g’(x) = 2 h(x) = x + 1; h’(x) = 1 f’(x) = (2)(x + 1) – (1)(2 x – 3) (x + 1)2 = 2 x + 2 – 2 x + 3 = 5 2 2 (x + 1) Matematika Ekonomi 99

Rule 6: Chain rule Fungsi berantai bentuknya sbb: y = f(u) u = g(x) Dicari derivatif y terhadap x atau dy/dx. Dari u = g(x) didpt du/dx. Dari y = f(u) didpt dy/du, Maka dy = dy. du dx y = f(z) z = g(u) u = h(x) Dengan cara yang sama dy du dz dy = du dz dx dx Matematika Ekonomi 100

Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapat menghasilkan y unit gandum dan z adalah roti yg terbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan (x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga: y = 2 x Untuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15 unit roti (z), yang digambarkan sebagai: z = 15 y Apabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x), maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadi dari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masalah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif). Matematika Ekonomi 101

dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlah kecil perubahan x yaitu dy/dx = 2 Perubahan z apabila ada perubahan y dz/dy = 15 Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubahan x menjadi: dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit. Matematika Ekonomi 102

Contoh: Jika y = uv, dimana u = s 3 dan s = 1 – x. v = t 2 dan t = 1 + x 2 s 3, 3 s 2 u= du/ds = 1 – x ds/dx = -1 v = t 2, dv/dt = 2 t t = 1 + x 2 dt/dx = 2 x y = uv, adalah bentuk hasil kali berarti dy/dx = u. dv/dx + v. du/dx = u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx) = s 3(2 t)(2 x) + t 2(3 s 2)(-1) = 4 s 3 tx -3 t 2 s 2 = s 2 t(4 sx – 3 t) Substitusi, dy/dx = (1 -x)2(1+x 2)[4(1 -x)(x) – 3(1+x 2)] Matematika Ekonomi 103

Contoh: Jika y = (1 + x 2)3, dapatkan dy/dx. Dengan memakai derivatif fungsi berantai: Mis u = 1 + x 2, dan oleh karena itu y = u 3 dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3 u 2)(2 x) = 6 x(1 + x 2)2. Matematika Ekonomi 104

1. 5. Derivatif of higher order Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat sebagai dy/dx atau f’(x). Derivatif kedua dilambangkan dengan: d 2 y/dx 2 atau f”(x) atau y” Demikian seterusnya untuk derivatif yang lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang sudah dibahas, berlaku untuk mencari derivatif orde yang lebih tinggi. Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x 3 – 3 x 2 + 4, dan hitung nilainya untuk x = 2. Matematika Ekonomi 105

f(x) = x 3 – 3 x 2 + 4, f’(x) = 3 x 2 – 6 x, f”(x) = 6 x – 6 f”’(x) = 6 f(2) = 8 – 12 + 4 = 0 f’(2) = 12 – 12 = 0 f”(2) = 6 f”’(2) = 6. Matematika Ekonomi 106

1. 5 Derivatif parsial Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel. Contoh: Qd = f(h, hkl, s. K, i, ) dimana h = harga komoditi itu sendiri hkl = harga komoditi lain s. K = selera konsumen i = income Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi: z = f(x , y), bila y dianggap tetap, maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z ke x dapat dihitung. Matematika Ekonomi 107

Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunan parsial dari z ke x dan dilambangkan dengan: ∂z/∂x atau ∂f/∂x atau fx Demikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatif parsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg: ∂z/∂y atau ∂f/∂y atau fy Derivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai: ∂z/∂x = lim Δz/Δx = lim f(x + Δx, y) – f(x, y) Δx->0 Δx Derivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai: ∂z/∂y = lim Δz/Δy = lim f(x, y + Δy) – f(x, y) Δy->0 Δy Matematika Ekonomi 108

Contoh: Jika z = 3 x 2 + 2 xy – 5 y 2 , maka: ∂z/∂x = 6 x + 2 y ∂z/∂y = 2 x – 10 y Derivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb: Contoh: z = (x 2 + y 2)3 ∂z/∂x = f. X = 3(x 2 + y 2)2(2 x) = 6 x(x 2 + y 2)2 ∂z/∂y = fy = 3(x 2 + y 2)2(2 y) = 6 y(x 2 + y 2)2 ∂2 z/∂x 2 = f. XX = 12 x(x 2 + y 2)(2 x) = 24 x 2(x 2 + y 2) ∂2 z/∂y 2 = fyy = 12 y(x 2 + y 2)(2 y) = 24 y 2(x 2 + y 2) ∂2 z/ ∂y∂x = fyx = 12 x(x 2 + y 2)(2 y) = derivatif ∂z/∂x thd y 24 xy(x 2 + y 2). ∂2 z/∂x∂y = fxy = 12 y(x 2 + y 2)(2 x) = 24 xy(x 2 + y 2) Matematika Ekonomi 109

Simbol derivatif parsial ∂z/∂x juga dilambangkan ∂f/∂x atau fx. Fungsi turunan kedua dilambangkan: ∂2 z/∂x 2 atau ∂2 f atau fxx Fungsi turunan fx terhadap y dilambangkan fyx Fungsi turunan fy terhadap x dilambangkan fxy fyx = fxy Matematika Ekonomi 110

Maksimum dan minimum y = f(x) akan maksimum pada saat: dy/dx = 0 dan d 2 y/dx 2 < 0 akan minimum pada saat: dy/dx = 0 dan d 2 y/dx 2 > 0 akan mempunyai titik belok (inflection point) pada: dy/dx = 0 dan d 2 y/dx 2 = 0 Matematika Ekonomi 111

Apabila fungsinya lebih dari dua variabel: z = f(x, y) atau f(x 1, x 2), Maksimum jika fx = 0, fy = 0 Minimum jika fx = 0, fy = 0 fxx < 0, fyy < 0 fxx > 0, fyy > 0 fxxfyy – (fxy)2 > 0 Matematika Ekonomi 112

Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempunyai titik maksimum, minimum atau titik belok dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut. y = f(x) = -x 2 + 4 x + 7 dy/dx = -2 x + 4 = 0; nilai x = 2 d 2 y/dx 2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks. pada x = 2. nilai ymaks atau f(x)maks = -(2)2 + 4(2) + 7 = 11 Matematika Ekonomi 113

Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari: z = x 2 + xy + y 2 – 3 x + 2 Langkah-langkah: a. Derivatif pertama: fx = 2 x + y – 3 fy = x + 2 y b. fx = 0 dan fy = 0 2 x + y – 3 = 0 x + 2 y = 0 Dari 2 x + y – 3, didapat y = 3 – 2 x. Substitusi y = 3 – 2 x ke persamaan x + 2 y = 0 didapat x + 2(3 – 2 x) = 0; x + 6 – 4 x = 0 atau 3 x = 6 x = 2. Matematika Ekonomi 114

Untuk x = 2, y = 3 – 2(2) = -1. Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau min c. Uji dengan derivatif kedua: fxx = 2; fyy = 2; fxy = fyx = 1 fxxfyy – (fxy)2 = 2. 2 – 12 = 3 > 0 artinya fungsi z mempunyai titik minimum pada titik (2, -1). d. Nilai zmin = (2)2 + (2)(-1) + (-1)2 – 3(2) + 2 = 4 – 2 + 1 – 6 + 2 = -1. Matematika Ekonomi 115

1. 5 Aplikasi dalam ekonomi 1) Elastisitas permintaan adalah persentase per-ubahan jumlah komoditi diminta apabila terdapat perubahan harga. Jika q = komoditi yg diminta, Δq = perubahannya p = harga komoditi; Δp = perubahannya Matematika Ekonomi 116

Δq/q Δq p dq p Ed = ------ = lim ---- -- = ---- -dp q Δp/p Δp->0 Δp q Contoh: Umpamakan fungsi permintaan q = 18 -2 p 2 hitung elastisitas permintaan jika harga berkurang 5% (bukan mendekati nol) dari p = 2, q = 10. Bandingkan hasil kedua pendekatan: definisi dan derivatif. Pendekatan definisi: p = 2; Δp = 0. 05 berarti p 1 = 2 – 2(0. 05) = 1. 9 Untuk p 1 = 1. 9, untuk p = 2, berarti q = 18 -2 p 2 = 18 – 2(1. 9)2 = 10. 78 q = 18 -2 p 2 = 18 – 2(2)2 = 10. Δq = 10. 78 – 10 = 0. 78 Matematika Ekonomi 117

Jadi menurut pendekatan definisi Ed = 7. 8%/-0. 05% = - 1. 56 Dengan pendekatan derivatif: Ed = (dq/dp)(p/q) = (-4 p)(p/q) = - 4 p 2/q pada harga p = 2, dan q = 10 Ed = -4(2)2/10 = - 1. 60. Perhatikan dengan derivatif, Δp mendekati nol, sementara menurut definisi, Δp = 0. 05%, jadi hasilnya sedikit berbeda. Matematika Ekonomi 118

2) Total Cost, Average cost and marginal cost TC = f(q), merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost, dan q = produk yang dihasilkan. TC/q = f(q)/q merupakan fungsi biaya rata-rata. MC = d. TC/dq merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya marginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya yg dibutuhkan per satuan tambahan produk. Matematika Ekonomi 119

Hubungan TC, AC dan MC, seperti kurva dibawah ini. TC Rp MC AC VC q Matematika Ekonomi 120

Contoh dengan data diskrit q FC VC TC AC MC 1 100 10 110. 00 - 2 100 16 116 58. 00 6. 0 3 100 21 121 40. 33 5. 0 4 100 26 126 31. 50 5. 0 5 100 30 130 26. 00 4. 0 6 100 36 136 22. 67 6. 0 7 100 45. 5 145. 5 20. 78 9. 5 8 100 56 19. 50 10. 5 9 100 72 19. 10 16 Matematika Ekonomi 121

Contoh dengan fungsi biaya: TC = q 3 – 4 q 2 + 10 q + 75. FC = Fixed Cost = 75 VC = Variable cost = q 3 – 4 q 2 + 10 q MC = d. TC/dq = 3 q 2 – 8 q + 10 AC = TC/q = q 2 – 4 q + 10 + 75/q 3) Revenue and Marginal revenue Apabila fungsi permintaan diketahui, maka Total Revenue (TR) adalah jumlah produk yang diminta dikali harga. Matematika Ekonomi 122

Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga dengan q = f(p) maka: TR = qp = f(p). p Marginal Revenue (MR) = d. TR/dq. MR = d. TR/dq Contoh: = 9/2 – 3 q Fungsi Permintaan; 3 q + 2 p = 9; TR, MR, p 2 p = 9 – 3 q atau p = 9/2 – (3/2)q MR 4 TR = p. q atau p TR = (9/2)q – (3/2)q 2 Matematika Ekonomi 0 3 q 123

4). Fungsi produksi Seorang produsen dalam teori ekonomi paling tidak harus mengambil dua keputusan apabila dilandasi oleh suatu asumsi produsen berusa-ha memperoleh profit maksimum, adalah: a. Jumlah produk yang akan diproduksi b. Menentukan kombinasi input-input yang digunakan dan jumlah tiap input tsb. Landasan teknis dari produsen dalam teori ekonomi disebut dengan FUNGSI PRODUKSI. Fungsi produksi = persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat penggunaan input-input dengan tingkat output. Matematika Ekonomi 124

Fungsi produksi, secara umum dicatat: Q = f(x 1, x 2, x 3, … , xn) Q = output xi = input-input yang digunakan, i = 1, 2, 3, … , n Apabila dalam proses produksi: Q = f(x 1/x 2, x 3, … , xn) input x. I ditambah terus menerus, sedangkan input lain tetap, maka fungsi produksi itu tunduk pada hukum : The law of diminishing returns “bila satu macam input, terus ditambah penggunaannya sedang penggunaan input lain tidak berubah, maka tam-bahan output yg dihasilkan dari setiap tambahan input, mulai-mula meningkat, kemudian menurun, dan akhirnya negatip”. Matematika Ekonomi 125

Tambahan output yg didapat karena adanya tambahan satu unit input dinamakan Produk Fisik Marginal (Produk Marginal = PM). PM = ∂Q/∂xi, i = 1, 2, 3, … , n Selain produk marginal, fungsi lain yang dapat diturunkan dari fungsi produksi adalah fungsi Produk Rata-rata (PR). PR = Q/x = f(x)/x Jadi ada hubungan antara Q atau produk total (PT) dengan PM dan PR. Hubungan tersebut ditunjukkan oleh kurva berikut ini. Matematika Ekonomi 126

Q X 1 Q Q = PT PM PR - 10 1 10 2 24 14 12 3 39 15 13 4 52 13 13 5 61 9 12. 2 x 6 66 5 11 7 66 0 9. 4 8 64 -2 8 PM PR Matematika Ekonomi x 127

Ciri-ciri grafik fungsi produksi dicatat sbb: a. Pada saat PT maks, maka PM = 0 b. Pada saat PR maks, maka PM = PR c. PR maks pada saat grs lurus dari titik nol (origin) menyinggung kurva PT. Kurva produksi yang dijelaskan di atas, hanya jika input variabel terdiri atas satu input. Untuk Q = f(x 1, x 2)/x 3, … , x. N) atau dua input variabel, maka kurvanya dalam ruang spt berikut: Matematika Ekonomi 128

z x 1 x 2 Matematika Ekonomi 129

MATRIKS Matriks artinya sesuatu yang membungkus, yang dibungkus adalah data kuantitatif yang disusun dalam bentuk “baris” dan “lajur”. Contoh: Harga gula pasir di 3 kota selama 3 bulan (rata-rata) Kota A B C Bulan J 4000 4500 4200 F 4200 4600 4500 M 4200 4700 4500

Dengan catatan matriks ditulis: A = 4000 4500 4200 B= 1 0 1 4 4200 4600 4500 3 2 6 7 4200 4700 450 Bentuk umum sbb: 9 8 4 1 Notasi matriks A = a 11 a 12 … a 1 n mxn a 21 a 22 … a 2 n : : : am 1 am 2 … amn Untuk menyederhanakan dicatat: A = (aij)mxn m = jlh baris; n = jlh lajur Matematika Ekonomi 131

Vektor. Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu baris disebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur disebur dengan VEKTOR LAJUR. Dengan demikian, dpt disebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektor baris dan beberapa vektor lajur. Vektor baris: Vektor lajur a’ = (4, 1, 3, 2) b= 1 u = u 1 2 u 2 8 : x’ = (x 1, x 2, … xn) un Matematika Ekonomi 132

Beberapa macam bentuk matriks a. Matriks segi: A = (aij)m. n dengan m = n A= 2 0 2 4 4 x 4 4 1 7 7 1 2 3 4 5 1 4 1 b. Matriks setangkup: B = (bij)n. n, bij = bji B=1 0 7 7 4 X 4 0 5 4 3 7 4 2 5 7 3 5 1 Matematika Ekonomi 133

c. Matriks diagonal D = (dij)n. n, dij = 0 utk i±j e. Matriks segitiga atas, jika semua unsur dibawah diagonal utama bernilai nol. D= 3 0 0 0 5 0 G= 9 9 3 0 0 7 0 1 3 0 0 2 d. Matriks identitas I 4 = 1 0 0 0 I 2 = 1 0 0 0 0 1 Diagonal utama Jika semua unsur diatas diagonal utama bernilai 0 = matriks segitiga bawah. Matematika Ekonomi 134

Penggandaan matriks Matriks A = (aij)m. n dapat digandakan dgn B = (bij)p. q jika dan hanya jika lajur matriks A = baris matriks B atau n = p Cara penggandaan adalah vektor baris x vektor lajur dimana setiap baris A digandakan dengan setiap lajur B seperti contoh berikut ini. 1 1 0 8 -1 2 4 5 1 1 6 7 8 1 2 Matematika Ekonomi 135

1 1 0 2 4 5 6 7 8 8 -1 = (1 1 0) 8 , (1 1 0) -1 1 1 2 1 2 = (2 4 5) 8 , ( 2 4 5) -1 1 2 (6 7 8) 8 , (6 7 8) -1 1 1 Matematika Ekonomi 136

(1)(8) + (1)(1) + (0)(1), (1)(-1) + (1)(1) + (0)(2) (2)(8) + (4)(1) + (5)(1), (2)(-1) + (4)(1) + (5)(2) (6)(8) + (7)(1) + (8)(1), (6)(-1) + (7)(1) + (8)(2) 9 0 Contoh-2: 3 6 0 x 25 12 4 2 -7 y 63 17 = z 3 x + 6 y 4 x + 2 y – 7 z Matematika Ekonomi 137

Putaran matriks Matriks A = (aij)m. n, putarannya adalah A’ = (a’ij)n. m, sedangkan (a’ij) = (aji). Contoh: A = 3 8 -9 A’ = 3 1 1 0 4 8 0 -9 4 D= 1 0 4 D’ = 1 0 4 0 3 7 4 7 2 Matematika Ekonomi 138

Determinan matriks segi Determinan suatu matriks segi adalah hasil perkalian unsur-unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur, dengan tanda tertentu. Determinan matriks A dicatat det (A) atau |A| Contoh: Hitung determinan matiks A = 2 7 4 9 det A = (2)(9) – (4)(7) = - 10. Matematika Ekonomi - + 139

Contoh: Cari determinan matriks C= 1 4 7 8 2 5 6 9 3 Cara Sarrus, yaitu dengan menambahkan lajur 1 sebagai lajur 4 dan lajur 2 sebagai lajur 5 kemudian menggandakan angka yang tidak sebaris dan tidak selajur. - - - + + + det C = 1 4 7 1 4 8 2 5 8 2 6 9 3 6 9 = (1)(2)(3) + (4)(5)(6) + (7)(8)(9) -(7)(2)(6) - (1)(5)(9) – (4)(8)(3) = 405 Matematika Ekonomi 140

Untuk matriks dengan dimensi/ukuran 4 x 4, cara Sarrus tidak dapat digunakan melainkan dicari perkalian unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur. Pangkat suatu matriks Suatu matriks segi dengan determinan ± 0, maka matriks itu disebut berpangkat penuh atau matriks tak singular. Sebaliknya, disebut matriks berpangkat tak penuh atau dinamakan matriks singular. Jika suatu matriks B berukuran nxn, maka pangkat matriks itu dicatat p(B) = n, jika matriknya berpangkat penuh. Matematika Ekonomi 141

Tetapi jika determinannya = 0, maka pangkat matriks B, lebih kecil dari n, yaitu dimensi salah satu anak matriksnya yang memiliki det ± 0. Contoh A = 1 1 0 , karena det A = 0, maka 3 x 3 2 -1 1 p(A) ± 3, dan kemungkinan 4 1 1 p(A) = 2. Untuk memeriksa, ambil salah satu anak matiksnya: A 11 = 1 1 , det A 11 = - 3 ± 0. Berarti p(A) = 2 2 -1 Matematika Ekonomi 142

Dalam sistem persamaan linear, yang mencari nilai x dari sistem persamaan tersebut, maka matriks penyusun persamaan linear dimaksud harus ± 0 atau tak singular atau berpangkat penuh. Misal: 7 x 1 - 3 x 2 – 3 x 3 = 7 2 x 1 + 4 x 2 + x 3 = 0 - 2 x 2 - x 3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh 7 -3 -3 x 1 = 7 2 4 1 x 2 0 0 -2 -1 x 3 2 Matematika Ekonomi 143

Det. Matriks: 7 -3 -3 = -8 ± 0, berarti nilai-nilai x 2 4 1 dari persamaan li- 0 -2 -1 near itu dpt dicari. Matematika Ekonomi 144

Persamaan linear dan jawabannya. Persamaan linear adalah himpunan dari persamaan linear dengan beberapa nilai yang hendak dicari. Contoh: 5 x 1 + 3 x 2 = 30 6 x 1 – 2 x 2 = 8 7 x 1 – x 2 – x 3 = 0 10 x 1 – 2 x 2 + x 3 = 8 6 x 1 + 3 x 2 – 2 x 3 = 7 Dari persamaan tersebut akan dihitung x 1 dan x 2 Matematika Ekonomi 145

Dengan aturan Cramer, menggunakan cara determinan, sistem persamaan linear di atas dapat diselesai-kan dg cara sbb: a. Buat persamaan linear menjadi dalam bentuk perkalian matriks. 5 3 x 1 = 30 6 -2 x 2 8 x d A b. Cari nilai det (A); det A = -28 c. Dapatkan matiks A 1 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-1 dengan vektor d. Matematika Ekonomi 146

A 1 = 30 3 8 -2 d. Dapatkan matriks A 2 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-2 dengan vektor d. A 2 = 5 30 6 8 e. Cari det A 1 dan det A 2; det A 1 = -84; det A 2 = -140 f. Nilai x 1 = det A 1/det A, dan x 2 = det A 2/A. x 1 = -84/-28 = 3; x 2 = -140/-28 = 5. Matematika Ekonomi 147

Contoh 2 7 -1 -1 x 1 = 0 10 -2 1 x 2 8 6 3 -2 x 3 7 x d A a. Det A = -61 b. Det A 1 = 0 -1 -1 = -61; det A 2 = 7 0 -1 = -183 8 -2 1 10 8 1 7 3 -2 6 7 -2 det A 3 = 7 -1 0 = -244 10 -2 8 6 3 7 Matematika Ekonomi 148

MATRIKS KEBALIKAN Jika A = (aij)n. n maka matriks kebalikannya dicatat sebagai A-1. Cara mencari matriks kebalikan: a. Dengan matriks adjoint b. Dengan transformasi penyapuan c. Dengan metode Doolittle Matematika Ekonomi 149

Mencari matriks kebalikan dengan matiks adjoint Umpamakan dibicarakan matiks A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Untuk mencari matriks kebalikannya ditempuh langkah-langkah sbb: a. Mencari minor setiap unsur apq atau Mpq, dimana p=q = 1, 2, 3. (baris = p, lajur = q = 1, 2, 3) Definisi: Minor unsur apq adalah determinan anak matriks dengan menghapus baris p dan lajur q. Jadi M 11 dihitung dengan cara berikiut: Matematika Ekonomi 150

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Minor unsur a 11 = M 11 = a 22 a 23 = a 22 a 33 – a 23 a 32 a 33 Minor unsur a 12 = M 12 = a 21 a 23 = a 21 a 33 – a 23 a 31 a 33 Minor unsur a 13 = M 13 = a 21 a 22 a 31 a 32 = a 21 a 32 – a 22 a 31 Matematika Ekonomi 151

Minor unsur a 21 = M 21 = a 12 a 13 = a 12 a 33 – a 13 a 32 a 33 Minor unsur a 22 = M 22 = a 11 a 13 = a 11 a 33 – a 13 a 31 a 33 Minor unsur a 23 = M 23 = a 11 a 12 a 31 a 32 = a 11 a 32 – a 12 a 31 Matematika Ekonomi 152

Minor unsur a 31 = M 31 = a 12 a 13 = a 12 a 23 – a 13 a 22 a 21 a 23 Minor unsur a 32 = M 32 = a 11 a 13 = a 11 a 23 – a 13 a 21 a 23 Minor unsur a 33 = M 33 = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 – a 12 a 21 Matematika Ekonomi 153

b. Kofaktor unsur apq ialah αpq = (-1)p+q. Mpq. Kofaktor unsur a 11 = α 11 = (-1)1+1 M 11 Kofaktor unsur a 12 = α 12 = (-1)1+2 M 12 Kofaktor unsur a 13 = α 13 = (-1)1+3 M 13 Kofaktor unsur a 21 = α 21 = (-1)2+1 M 21 Kofaktor unsur a 22 = α 22 = (-1)2+2 M 22 Kofaktor unsur a 23 = α 23 = (-1)2+3 M 23 Kofaktor unsur a 31 = α 31 = (-1)3+1 M 31 Kofaktor unsur a 32 = α 32 = (-1)3+2 M 32 Kofaktor unsur a 33 = α 33 = (-1)3+3 M 33 Matematika Ekonomi 154

Setelah dapat kofaktor dari setiap unsur, susunlah matriks kofaktor K: K = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 Matriks kebalikan dari A = A-1 = (1/det A)(K’) Perhatikan, kofaktor unsur sebenarnya hanya soal tanda dari minor sauté unsur. Jika indeksnya genap, tandanya + dan jika indeksnya ganjil, tandanya negatip. Matematika Ekonomi 155

Contoh: Cari matriks kebalikan dari B = 4 1 -1 0 3 2 3 0 7 Matriks kofaktor K= 3 2 - 0 2 0 3 = 21 6 -9 0 7 3 0 -7 31 3 1 -1 4 1 5 -8 12 0 7 3 7 1 -1 4 1 0 2 0 3 3 2 - - Matematika Ekonomi - 3 0 156

Matriks putaran K = K’ = 21 -7 5 6 31 -8 -9 3 12 Matriks kebalikan = B-1 adalah: (1/det B)K’. det (B) = (4)(3)(7) + (1)(2)(3) + (0)(0)(-1) -(-1)(3)(3) -(2)(0)(4) -(1)(0)(7) = 99 B-1 = (1/99) 21 -7 5 Matematika Ekonomi 6 31 -8 -9 3 12 157

Untuk menguji, maka: BB-1 = I 4 1 -1 21/99 -7/99 5/99 = 1 0 0 0 3 2 6/99 31/99 -8/99 0 1 0 3 0 7 -9/99 3/99 12/99 0 0 1 B B-1 Matematika Ekonomi I 158

PENGGUNAAN MATRIKS KEBALIKAN DALAM EKONOMI (INPUT – OUTPUT Analysis) Dalam analisis ekonomi dikenal keterkaitan antar industri (atau sektor industri). Artinya output suatu sektor dipakai untuk memenuhi sektor lain, dan memenuhi permintaan akhir rumah tangga, pemerintah, pembentukan modal maupun ekspor. Sementara Input suatu sektor dibeli dari sektor lain. Matematika Ekonomi 159

Dalam analisis ekonomi, sering hubungan antar satu sektor dgn sektor lain dinyatakan dengan himpunan persamaan linear. Contoh analisis input-output Leontief. Dengan notasi matriks model I-O sbb: AX + F = X atau X - AX = F atau (I – A)X = F pers matriks Leontief X = F/(I - A) = (I – A)-1. F. Matriks kebalikan Leontief Matematika Ekonomi 160

0. 2 0. 3 0. 2 , x 1 , 0. 4 0. 1 0. 2 x 2 5 0. 1 0. 3 0. 2 x 3 6 x F A 10 Mis. Sektor perekonomian terdiri dari 3 sekt. Pert, Ind, dan Jasa. 1 0 0 - 0. 2 0. 3 0. 2 = 0. 8 -0. 3 -0. 2 0 1 0 0. 4 0. 1 0. 2 -0. 4 0. 9 -0. 2 0 0 1 0. 3 0. 2 -0. 1 -0. 3 I 0. 8 A 0. 8 -0. 3 -0. 2 x 1 = 10 -0. 4 0. 9 -0. 2 x 2 5 -0. 1 -0. 3 x 3 6 I-A 0. 8 x Ekonomi Matematika F 161

Matriks Kofaktor dari (I – A) adalah M 11 -M 12 M 13 = 0. 66 0. 34 0. 21 , K’ = 0. 66 0. 30 0. 24 -M 21 M 22 -M 23 0. 30 0. 62 0. 27 0. 34 0. 62 0. 24 M 31 -M 32 M 33 0. 24 0. 60 0. 21 0. 27 0. 60 (I – A)-1 = 1/(det (I-A)K’ = 1 0. 66 0. 30 0. 24 0. 384 0. 34 0. 62 0. 24 0. 21 0. 27 0. 60 = 1. 72 0. 78 0. 63 = R 0. 90 1. 61 0. 63 0. 55 0. 70 1. 56 Matematika Ekonomi 162

Arti dari matriks kebalikan Leontief: Mis r 12 = 0. 78, artinya untuk menopang setiap permintaan akhir akan produk Industri, harus diproduksi sebanyak 0. 78 satuan produk pertanian. R 23 = 0. 68, artinya untuk menopang setiap permintaan akhir akan produk Jasa, maka harus diproduksi sebanyak 0. 68 satuan produk Industri. Matematika Ekonomi 163

Vektor x adalah vektor permintaan akhir yaitu: (I – A)-1 F X = x 1 = 1/0. 384 [0. 66(10) + 0. 30(5) + 0. 24(6)] = 24. 84 x 2 1/0. 384 [0. 34(10) + 0. 62(5) + 0. 24(6)] = 20. 68 x 3 1/0. 384 [0. 21(10) + 0. 27(5) + 0. 60(6)] = 18. 36 Artinya: Berdasarkan permintaan akhir yang ada, maka diramalkan output sektor pertanian, industri dan jasa masing akan menjadi 24. 84 satuan, 20. 68 satuan dan 18. 36 satuan. Dengan analogi yang sama, jika permintaan akhir mau dinaikkan, maka ramalan output tiap sektor dapat diketahui. Matematika Ekonomi 164