Matematika Diskrit Prodi Teknik Informatika UNIKOM Kontrak Belajar

Matematika Diskrit Prodi – Teknik Informatika UNIKOM

Kontrak Belajar Prasyarat : Logika Matematika Jadwal: Senin 3 SKS Penilaian: (bias berubah) UTS 30% UAS 30% Tugas, kuis 30% Kehadiran 10% (>=80%) Batas nilai akhir fleksibel (sesuai distribusi nilai tiap kelas) Tidak ada kuis/ tugas besar susulan/ perbaikan/ tambahan Jika ditemukan indikasi plagiarism dalam tugas, nilai akhir MK ini adalah E 2

Rencana MATERI 1. LOGIKA 2. HIMPUNAN 3. MATRIKS, RELASI & FUNGSI 4. INDUKSI 5. BILANGAN BULAT 6. KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT 7. ALJABAR BOOLEAN 8. GRAF & TREE REFERENSI: RINALDI MUNIR, PENERBIT INFORMATIKA KENNETH ROSSEN 3

LOGIKA (LOGIC) IF 34220 Matematika Diskrit Prodi Teknik Informatika UNIKOM

Pengertian Pernyataan 1 Pernyataan 2 Pernyataan n Penalaran (reasoning) Penalaran Kesimpulan 5

Proposisi Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya. 6

“Bilangan prima adalah bilangan yang memiliki faktor 1 dan bilangan itu sendiri Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? BENAR 7

“x adalah bilangan prima” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka. 8

“Para penumpang harap mengantri dengan rapi” Apakah ini sebuah pernyataan? TIDAK Ini adalah sebuah permintaan. Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK 9

“Yani lebih tinggi dari hani jika dan hanya jika hani lebih pendek dari Yani ” 10 Apakah ini pernyataan ? YA Apakah ini proposisi ? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ? BENAR

Formulasi Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, …. Contoh: p : 13 adalah bilangan ganjil. q : Soekarno adalah alumnus UGM. r: 2+2=4 11

Misalkan p dan q adalah proposisi. 1. Konjungsi (conjunction): p dan q Notasi p q, 2. Disjungsi (disjunction): p atau q Notasi: p q 3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p Kombinasi Proposisi Notasi: p p dan q disebut proposisi atomik Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition) 12

Contoh 3. berikut: Diketahui proposisi-proposisi p : Hari ini hujan q : Murid-murid diliburkan dari sekolah p q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah p q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah p : Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini tidak hujan) 13

14

15

Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kemungkinan Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kemungkinan. 16

17

18

19

Hukum-hukum Logika 20

21

Contoh soal Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa dia belajar Algoritma tetapi tidak belajar Matematika”. (a) Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik (ekspresi logika) (b) Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tsb (Petunjuk: gunakan hukum De Morgan) 22

Misalkan Penyelesaian p : Dia belajar Algoritma q : Dia belajar Matematika maka, (a) ~ (p ~ q) (b) ~ (p ~ q) ~ p q (Hukum De Morgan) dengan kata lain: “Dia tidak belajar Algoritma atau belajar Matematika” 23

Disjungsi Eksklusif Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam salah satu dari dua cara: 1. Inclusive or “atau” berarti “p atau q atau keduanya” 2. Exclusive or “atau” berarti “p Contoh: yang dibutuhkan atau q “Tenaga tetapi IT bukan menguasai Bahasa C++ atau Java”. keduanya”. Contoh: “Ia dihukum 5 tahun atau denda 10 juta”. 24

25

Proposisi Bersyarat (implikasi) Bentuk proposisi: “jika p, maka q” Notasi: p q Proposisi p disebut hipotesis, antesenden, premis, sebab atau kondisi Proposisi q disebut precedence, konklusi, akibat atau konsekuen. 26

Contoh 27 • Jika saya lulus ujian, maka saya mendapat hadiah dari ayah Jika suhu mencapai 80 C, maka alarm akan berbunyi Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri

Cara-cara Mengekspresikan Implikasi P Q: 28 Jika p, maka q Contoh : Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. Jika p, q Contoh : Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.

29 Cara-cara Mengekspresikan Implikasi P Q: (Lanjutan) p hanya jika q Contoh : Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition) ) Contoh : Syarat cukup agar lulus ujian adalah nilai akhir >=60.

30

31

Perhatikan bahwa dalam implikasi yang dipentingkan nilai kebenaran premis dan konsekuen, bukan hubungan sebab dan akibat diantara keduanya. Beberapa implikasi di bawah ini valid meskipun secara bahasa tidak mempunyai makna: “Jika 1 + 1 = 2 maka Paris ibukota Perancis” “Jika n bilangan bulat maka hari ini hujan” 32

33

Soal Latihan 2 Nyatakan pernyataan berikut: “Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu jika anda berusia di bawah 17 tahun kecuali kalau anda sudah menikah”. dalam notasi simbolik. 34

Penyelesaian Soal Latihan 2 “Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu jika anda berusia di bawah 17 tahun kecuali kalau anda sudah menikah”. Format: q jika p Bentuk standard: Jika p, maka q Jika anda berusia di bawah 17 tahun, kecuali kalau anda sudah menikah, maka anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu 35

Jika anda berusia di bawah 17 tahun, kecuali kalau anda sudah menikah, maka anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu m : Anda berusia di bawah 17 tahun. n : Anda sudah menikah. r : Anda dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu. maka pernyataan di atas dapat ditulis sebagai: (m ~ n) ~ r 36

BENTUK UMUM 37

Kaidah Penarikan Kesimpulan Kaidah metode-metode inferensi pada dasarnya adalah sebuah tautologi. Kaidah inferensi bermacam-macam, seperti 1. Modus ponen 2. Modus tollen 3. Silogisme 4. Simplifikasi 5. Penambahan 6. Konjungsi 38

Modus Ponen | Pag e 39

Modus Tolen | Pag e 40

Silogisma ◦

Silogisma Disjungtif Premis 1 Premis 2 Konklusi ◦ Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid : Premis 1 Premis 2 Konklusi ◦ : p q : ~ q : p q : ~ p Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas adalah valid.

Contoh ▫ Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (T) Premis 2 : Pengalaman ini tidak berbahaya (T) Konklusi : Pengalaman ini membosankan (T) ▫ Premis 1 : Air ini panas atau dingin (T) Premis 2 : Air ini panas (T) Konklusi : Air ini tidak dingin (T) ▫ Premis 1 : Obyeknya berwarna merah atau sepatu Premis 2 : Obyek ini berwarna merah Konklusi : Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)

Penambahan (Addition) Disjungtif ◦ Inferensi penambahan disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu kalimat dapat digeneralisasikan dengan penghubung ” ” ◦ Alasannya adalah karena penghubung ” ” bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar.

Penambahan (Addition) Disjungtif Contoh : ▫ Misalnya saya mengatakan ”Langit berwarna biru” (bernilai benar). ▫ Kalimat tersebut tetap akan bernilai benar jika ditambahkan kalimat lain dengan penghubung ” ”. Misalnya ”Langit berwarna biru atau bebek adalah binatang menyusui”. ▫ Kalimat tersebut tetap bernilai benar meskipun kalimat ”Bebek adalah binatang menyusui”, merupakan kalimat yang bernilai salah.

Penambahan (Addition) Disjungtif ◦ Addition : p p q atau q p q Premis 1 : p Konklusi : p q Atau Premis 1 : q Konklusi : p q ◦ ◦ Artinya : p benar, maka p q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q). Contoh : Simon adalah siswa SMU atau SMP

Konjungsi Premis 1 Premis 2 Konklusi ◦ : p : q : p q Artinya : p benar, q benar. Maka p q benar

Penyederhanaan Konjungtif (Simplification) ◦ Inferensi ini merupakan kebalikan dari inferensi penambahan disjungtif. ◦ Jika beberapa kalimat dihubungkan dengan operator ” ”, maka kalimat tersebut dapat diambil salah satunya secara khusus (penyempitan kalimat).

Penyederhanaan Konjungtif (Simplification) ◦ Addition : (p q) p atau (p q) q Premis 1 : p q Konklusi : p ATAU Premis 1 : p q Konklusi : q ◦ Contoh : ▫ Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat Langit berwarna biru ATAU Bulan berbentuk bulat

TUGAS I Ubah kalimat ini ke dalam ekspresi logika (notasi simbolik) 1. Anda hanya dapat mengakses internet dari kampus hanya jika anda mahasiswa Informatika atau anda bukan seorang sarjana. 2. Anda tidak dapat menaiki roller coaster jika anda tingginya kurang dari 150 cm kecuali jika anda berusia lebih dari 16 tahun. 50

TUGAS I 3. Sebagian besar orang percaya bahwa harimau Jawa sudah lama punah. Tetapi, pada suatu hari Amir membuat pernyataan-pernyataan kontroversial sebagai berikut: (a) Saya melihat harimau di hutan. (b) Jika saya melihat harimau di hutan, maka saya juga melihat serigala. Misalkan kita diberitahu bahwa Amir kadang suka berbohong dan kadang-kadang jujur. Gunakan tabel kebenaran untuk memeriksa apakah Amir benar-benar melihat harimau di hutan? 51