MATEMATIKA DISKRIT KULIAH 1 Oleh Didin Rosyadi S

MATEMATIKA DISKRIT KULIAH 1 Oleh : Didin Rosyadi, S. Kom TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH GRESIK 2009

Pengertian Matematika Diskrit Mate Diskrit ilmu mate yg mempelajari elemen yang terpisah EX : Kunci bisa dipisah-pisah Integer 1, 2, 3, 4, 5 bisa dipisah-pisah EX yg bukan diskrit (kontinyu) : Air tidak bisa dipisah-pisah Real 1, 1112 1, 1113

Kegunaan dan Contoh Mate Diskrit Matematika Diskrit digunakan : Ketika objek dapat dihitung Proses memerlukan analisa step by step Membangun argumen matematika Pintu gerbang untuk mempelajari ilmu yang lebih tinggi, ex: DB, Automata, Compiler, OS Contoh MD : Ada berapa cara untuk memilih password pada komputer ? Berapa probabilitas untuk memenangkan undian ? Rute terpendek antara 2 kota Mengurutkan angka

Matematika Diskrit dg Ilmu. Komputer (dijital) beroperasi secara diskrit, yaitu dengan unit terkecil yg disebut sebagai bit. • Dengan demikian, baik • Struktur (rangkaian) dan juga Operasi (eksekusi algoritma) Dapat dijelaskan dengan matematika diskrit

Perangkat Matematika Perangkat yang berguna dalam matematika diskrit: Logika Matematika (Logic) Teori Himpunan (Set Theory) Fungsi (Functions) Deretan (Sequences)

LOGIKA, PROPOSISI Sub-bab 1. 1 – 1. 2

Logika Mempelajari penjabaran (reasoning) secara benar Logic mempelajari bgm cara mengambil kesimpulan yang benar menurut aturan yang ada , ex: or, and, not, dll Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence). Contoh: 1) Doni adalah mahasiswa ITS. 2) Semua mahasiswa ITS pandai. 3) Doni orang pandai. Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan isi kalimat; jika diketahui bahwa dua kalimat pertama di atas benar, maka kalimat ketiga harus benar.

Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 / salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q, dsb. Proposisi kalimat yg dapat bernilai benar atau salah Biasanya berbentuk kalimat deklaratif Contoh proposisi: Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23. Untuk setiap bilangan bulat n, ada bilangan prima yang lebih besar daripada n Contoh bukan proposisi: Berapa harga tiket ke Manila? Silakan duduk.

Konektif Jika p dan q adalah proposisi, dapat dibentuk proposisi (majemuk) baru (compound proposition) dengan menggunakan konektif Macam-macam konektif: AND (konjungsi) Inclusive OR (disjungsi) EXclusive OR(XOR) NOT (negasi) Implikasi ganda Simbol v Simbol

Tingkat Presedensi NEGASI (NOT) KONJUNGSI (AND) DISJUNGSI (OR, XOR) IMPLIKASI GANDA Catatan: mengatasi tingkat presedensi dengan cara memberikan kurung di pada proposisi yang ingin didahulukan

Tabel Kebenaran (truth table) konjungsi p 0 0 1 q 0 1 0 p q 0 0 0 1 1 1 P ^ q bernilai benar jika p dan q benar

Contoh p = Harimau adalah binatang buas q = Malang adalah ibukota Jawa Timur p q = Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur p q salah. Perhatikan bahwa tidak perlu ada keterkaitan antara p dan q

Tabel Kebenaran disjungsi (inclusive or) p 0 0 1 q 0 1 0 pvq 0 1 1 1 Contoh: p = Jono seorang mahasiswa q = Mira seorang sarjana hukum p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira seorang sarjana hukum p v q = benar P v q bernilai salah jika p dan q salah

Tabel Kebenaran exclusive or q p 0 0 1 q 0 1 0 p q 0 1 1 0 p q is true only when p is true and q is false, or p is false and q is true. q Example: p = “ani pergi ke Jakarta, q = “ani pergi ke Malang" q p v q = “pilih salah satu, ani pergi ke jakarta atau ani pergi ke malang"

Tabel Kebenaran Negasi Contoh: p p 0 1 1 0 p = Jono seorang mahasiswa p = Jono bukan seorang mahasiswa

Kalimat majemuk compound statements p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple statements) Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti: (p q) r p (q r) ( p) ( q) (p q) ( r) dll

Tabel Kebenaran (p r) q p q r (p r) q 0 0 0 (0 1) 0 = 0 0 0 1 (0 0) 0 = 0 0 1 0 (0 1) 1 = 1 0 1 1 (0 0 1 = 1 1 0 0 (1 1) 0 = 1 1 0 1 (1 0) 0 = 0 1 1 0 (1 1) 1 = 1 1 (1 0) 1 = 1

Implikasi Disebut juga proposisi kondisional (conditional proposition) dan berbentuk “jika p maka q” Notasi simboliknya : p q Contoh: p = " John rajin belajar" q = " John lulus ujian " p q = “If John rajin belajar then John lulus ujian "

Tabel Kebenaran implikasi p q 0 0 1 1 1 P q salah jika p benar q salah

Hipotesa dan konklusi Dalam implikasi p q p disebut anteseden, hipotesa, premis (antecedent, hypothesis, premise) q disebut konsekuensi atau konklusi (consequence, conclusion)

Cara menyebut p q jika p maka q jika p, q q jika p p hanya jika q p mengimplikasikan q if p then q if p, q q if p p only if q p implies q

Perlu dan Cukup Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi. Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa. Perlu = necessary; Cukup = sufficient Contoh: Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa

Ekivalensi Logikal q Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik disebut ekivalen (logically equivalent). q Contoh: p q ekivalen (logically equivalent to) p q p q p q 0 0 1 0 1 1

Konversi dan Inversi Konversi dari p q adalah q p Inversi dari p q adalah p q p q tidak ekivalen q p p q tidak ekivalen p q p 0 0 1 q 0 1 0 p q 1 1 0 q p 1 0 1 p q 1 0 1 1 1

Kontrapositif kontrapositif dari proposisi p q adalah q p. p q dan q p ekivalen p 0 q 0 p q 1 q p 1 0 1 0 1 1 1 1

Ekivalensi Logika lain dapat dilihat di : • (P Q) Ekivalen dengan ( P) v ( Q) • (Pv. Q) Ekivalen dengan ( P) ( Q)

Implikasi Ganda (double implication) dibaca “p jika dan hanya jika q” Notasi simboliknya p q ekivalen dengan (p q)^(q p) p q (p q) (q p) 0 0 1 1 0 0 0 1 1

Tautology Proposisi yang selalu bernilai benar (true) dalam keadaan apapun Contoh: p p v q p pvq 0 0 1 1 1 0 1 1

Kontradiksi Proposisi yang selalu bernilai salah (false) dalam keadaan apapun Contoh : p ( p ) p p ( p) 0 0 1 0

Hukum De Morgan (p q) ekivalen dengan ( p) ( q) Bukti (yang pertama, buktikan yang kedua sendiri): p q p q p q (p q) ( p) ( q) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

Tugas Kalimat “Play it again, Sam” ada dalam film ada apa dengan cinta. 2. Untuk beberapa bil. Bulat n, 19340 = n x 17 3. Setiap bil. Bulat > 4 merupakan penjumlahan dua bilangan prima 4. P = hari ini adalah senin; q = hujan turun; r = hari ini panas. Rumuskan pernyataan simbolik dengan kata 2 : 1. p (q v r) 2. (p q) (r v p) 1. Carilah masing 2 minimal 3 proposisi tautologi dan kontradiksi